Notación, símbolos y vocabulario clave del syllabus IB Math: Análisis y Enfoques NM+NS, organizados por sub-bloque
← Volver a Matemáticas AA75 de 75 términos clave del syllabus IB Math AA NM+NS. Cada tarjeta enlaza al subtema donde se introduce el concepto. El glosario crece de forma incremental: si te falta un término, escríbenos.
No hay términos que coincidan con tu búsqueda.
Recta a la que el grafo de una función se aproxima indefinidamente. Vertical x = a cuando lim_{x→a} f(x) = ±∞; horizontal y = L cuando lim_{x→±∞} f(x) = L; oblicua y = m·x + n cuando f(x) − (m·x + n) → 0 al infinito.
Para un móvil con posición s(t): velocidad v(t) = s′(t), aceleración a(t) = v′(t) = s″(t). Recíprocamente: s(t) = ∫ v(t) dt + C₁, v(t) = ∫ a(t) dt + C₂. Las constantes se fijan con las condiciones iniciales.
Circunferencia de radio 1 centrada en el origen. Para todo ángulo θ medido desde el eje X positivo, el punto del círculo correspondiente es (cos θ, sin θ). Permite definir las funciones trigonométricas para cualquier ángulo real, no solo agudos.
Mide la fuerza y el sentido de la asociación lineal entre dos variables cuantitativas. r ∈ [−1, 1]: 1 correlación lineal positiva perfecta, −1 negativa perfecta, 0 ausencia de asociación lineal. Solo válido para relaciones lineales y sensible a valores atípicos.
f es continua en a si lim_{x→a} f(x) = f(a) — es decir, el límite existe, f(a) está definido y ambos coinciden. Continuidad en un intervalo: en cada uno de sus puntos. Una función derivable es continua, pero el recíproco no se cumple (ej. |x| en 0).
f es creciente en un intervalo si f′(x) > 0 en él; decreciente si f′(x) < 0. Los puntos donde f′(x) = 0 o no existe son los puntos críticos: candidatos a máximo o mínimo local.
Técnica de demostración de una afirmación P que asume su negación ¬P y deriva una contradicción lógica. La contradicción obliga a rechazar ¬P, lo que demuestra P. Clásica para irracionalidad de √2.
Argumento que parte de hipótesis o axiomas previamente aceptados y, mediante reglas lógicas válidas, deriva una conclusión. Cada paso debe justificarse con la regla o resultado anterior que lo legitima.
Técnica para demostrar P(n) para todo n ∈ ℕ (n ≥ n₀) en dos pasos: (1) caso base — probar P(n₀); (2) paso inductivo — suponer P(k) y demostrar P(k + 1). De ambos pasos se concluye P(n) para todo n ≥ n₀.
Técnica para obtener dy/dx cuando y está definida implícitamente por una ecuación F(x, y) = 0 sin despejar y. Se deriva ambos miembros respecto a x tratando y como función de x (aplicando regla de la cadena), y se despeja dy/dx.
f′(x) = lim_{h→0} [f(x + h) − f(x)]/h. Mide la pendiente de la recta tangente al grafo en (x, f(x)), o la tasa instantánea de cambio de f en x. Si f es derivable en a, también es continua en a (recíproco falso).
Derivada de la derivada: f″(x) = (f′)′(x). Mide la concavidad del grafo: f″(x) > 0 cóncava hacia arriba; f″(x) < 0 cóncava hacia abajo. Los puntos donde f″ cambia de signo son puntos de inflexión.
Raíz cuadrada de la varianza: σ = √((1/n)·Σ(xᵢ − x̄)²). Mide la dispersión media de los datos respecto a su media. Se expresa en las mismas unidades que los datos originales.
Para a·x² + b·x + c = 0 (a ≠ 0): Δ = b² − 4·a·c. Determina la naturaleza de las raíces: Δ > 0 → dos raíces reales distintas; Δ = 0 → una raíz real doble; Δ < 0 → dos raíces complejas conjugadas (sin solución real).
Número de éxitos en n ensayos independientes de Bernoulli, cada uno con probabilidad de éxito p. P(X = k) = C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ. Media n·p, varianza n·p·(1−p).
Distribución continua simétrica en forma de campana con media μ y varianza σ². Modeliza muchos fenómenos naturales por el teorema central del límite. Regla 68-95-99,7: ese porcentaje de los datos cae a ±1, ±2 y ±3 desviaciones típicas de la media respectivamente.
Conjunto de todos los valores de x para los que f(x) está definida. En contextos sin enunciado explícito, se toma el dominio máximo (todos los reales donde la expresión tiene sentido: denominador no nulo, radicando no negativo, argumento de logaritmo positivo, etc.).
Ecuación de la forma dy/dx = f(x)·g(y) con g(y) ≠ 0. Se resuelve separando variables: ∫ dy/g(y) = ∫ f(x) dx, integrando ambos miembros y despejando y cuando es posible. La constante de integración se fija con la condición inicial.
En ℝ³, una recta que pasa por P con vector director d se describe como r = OP + t·d, t ∈ ℝ. Cada valor de t produce un punto de la recta. Dos rectas pueden ser coincidentes, paralelas, secantes o cruzadas.
Valor medio teórico de una variable aleatoria X. Para X discreta con valores xᵢ y probabilidades pᵢ: E(X) = Σ xᵢ·pᵢ. Es lineal: E(a·X + b) = a·E(X) + b.
Para a > 0 y p/q ∈ ℚ con q > 0: a^(p/q) = (a^(1/q))^p = (a^p)^(1/q), es decir la raíz q-ésima de a elevada a p. Extiende la operación potencia de exponentes enteros a fraccionarios manteniendo las propiedades de las potencias.
Todo complejo no nulo z se escribe como z = r·(cos θ + i·sin θ) = r·e^(iθ), donde r = |z| es el módulo y θ = arg(z) es el argumento. La fórmula de Euler e^(iθ) = cos θ + i·sin θ conecta análisis y trigonometría.
sin(A ± B) = sin A·cos B ± cos A·sin B; cos(A ± B) = cos A·cos B ∓ sin A·sin B. De ellas se derivan las del ángulo doble, del medio y los productos/sumas.
sin(2θ) = 2·sin θ·cos θ; cos(2θ) = cos²θ − sin²θ = 1 − 2·sin²θ = 2·cos²θ − 1. Útiles para simplificar expresiones y resolver ecuaciones trigonométricas.
Descomposición de una función racional p(x)/q(x) (con grado(p) < grado(q)) como suma de fracciones más simples cuyos denominadores son los factores irreducibles de q(x). Facilita derivación e integración.
Relación f: A → B que asigna a cada elemento x ∈ A exactamente un elemento f(x) ∈ B. El conjunto A es el dominio y B el codominio; el conjunto {f(x) : x ∈ A} es el recorrido o imagen.
(f ∘ g)(x) = f(g(x)) aplica primero g y después f. Solo está definida si el recorrido de g está contenido en el dominio de f. En general f ∘ g ≠ g ∘ f.
Función de la forma f(x) = a·x² + b·x + c con a ≠ 0. Su gráfico es una parábola con eje de simetría x = −b/(2a) y vértice en (−b/(2a), f(−b/(2a))). Abre hacia arriba si a > 0 y hacia abajo si a < 0.
Para una variable aleatoria continua X, función f tal que P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx. Debe cumplir f(x) ≥ 0 para todo x y ∫_{−∞}^{∞} f(x) dx = 1. P(X = a) = 0 para cualquier a concreto.
Función de la forma f(x) = a^x con a > 0, a ≠ 1. Si a > 1 es estrictamente creciente; si 0 < a < 1, decreciente. La base e ≈ 2,71828 es la natural y da la única exponencial cuya derivada coincide con la función.
Función que cumple f(−x) = −f(x) para todo x del dominio. Su grafo es simétrico respecto al origen. Ejemplos: x³, sin(x), tan(x).
Si f es biyectiva, su inversa f⁻¹ deshace su acción: f⁻¹(f(x)) = x y f(f⁻¹(y)) = y. Gráficamente, los grafos de f y f⁻¹ son simétricos respecto a la recta y = x. El dominio de f⁻¹ coincide con el recorrido de f.
f(x) = log_b(x), inversa de la exponencial de base b. Su dominio es (0, ∞), su recorrido es ℝ, tiene asíntota vertical en x = 0 y pasa por (1, 0). Crece si b > 1; decrece si 0 < b < 1.
Función que cumple f(−x) = f(x) para todo x del dominio. Su grafo es simétrico respecto al eje Y. Ejemplos: x², cos(x), |x|.
sin²θ + cos²θ = 1, válida para todo θ ∈ ℝ. Es consecuencia directa del teorema de Pitágoras aplicado al círculo unidad. De ella se derivan 1 + tan²θ = sec²θ y 1 + cot²θ = csc²θ.
∫ u dv = u·v − ∫ v du. Recíproco de la regla del producto: útil cuando el integrando es un producto de una función polinómica (u) por una exponencial, trigonométrica o logarítmica (dv).
Si u = g(x) con g′ continua y F es primitiva de f: ∫ f(g(x))·g′(x) dx = F(g(x)) + C. Recíproco de la regla de la cadena: simplifica la integral expresándola en la nueva variable u.
∫_a^b f(x) dx es el área (con signo) entre el grafo de f y el eje X en el intervalo [a, b]. Teorema fundamental del cálculo: si F es una primitiva de f continua en [a, b], entonces ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a).
∫ f(x) dx denota el conjunto de todas las primitivas de f: funciones F tales que F′(x) = f(x). Si F es una primitiva, todas son de la forma F(x) + C con C constante de integración arbitraria.
Modelo de crecimiento del capital en el que los intereses generados en cada periodo se añaden al capital y generan intereses en periodos posteriores. Fórmula: A = P·(1 + r/n)^(n·t), con P capital inicial, r tasa anual, n periodos por año, t años.
lim_{x→a} f(x) = L significa que f(x) puede acercarse arbitrariamente a L tomando x suficientemente cerca de a (sin igualarlo). No exige que f esté definida en a. Si los límites laterales discrepan, el límite no existe.
log_b(x) es el exponente al que hay que elevar la base b > 0 (b ≠ 1) para obtener x > 0. Equivale a la inversa de la exponencial: log_b(x) = y ⇔ bʸ = x. Bases especiales: log₁₀ (decimal) y ln (base e).
Para una muestra de n datos: x̄ = (1/n)·Σ xᵢ. Es la medida de centro más usada, pero es sensible a valores atípicos. Para datos agrupados se usan las marcas de clase ponderadas por frecuencias.
Valor que ocupa la posición central de los datos ordenados. Si n es impar, es el dato en posición (n+1)/2; si n es par, la media de los dos centrales. Robusta frente a valores atípicos: no se ve arrastrada por extremos.
Esquema numérico para aproximar la solución de dy/dx = f(x, y) con y(x₀) = y₀. Avanza con paso h: x_{n+1} = xₙ + h, y_{n+1} = yₙ + h·f(xₙ, yₙ). Su error local por paso es de orden h² y el error global acumulado tras n pasos es de orden h (precisión lineal).
Representación de un número en la forma a × 10ᵏ con 1 ≤ a < 10 y k entero. Hace manejable la escritura de cantidades muy grandes o muy pequeñas. Ejemplo: 6,022 × 10²³ (número de Avogadro).
Número de la forma z = a + b·i con a, b ∈ ℝ e i² = −1. La parte real es Re(z) = a y la parte imaginaria es Im(z) = b. El conjunto de los complejos se denota ℂ y contiene a los reales como subconjunto (b = 0).
Determinación de los valores extremos de una función en un dominio dado. Pasos: (1) identificar la magnitud a optimizar y la restricción; (2) expresar la magnitud en función de una variable; (3) derivar e igualar a cero; (4) verificar con f″ o cambios de signo de f′ que el candidato es el extremo buscado.
P(A | B) es la probabilidad de A sabiendo que B ha ocurrido: P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B), definida cuando P(B) > 0. En general P(A | B) ≠ P(B | A) — confundirlas es la falacia del fiscal.
Para u, v ∈ ℝ³: u · v = u₁·v₁ + u₂·v₂ + u₃·v₃ = |u|·|v|·cos θ, con θ el ángulo entre ambos. Es nulo si y solo si los vectores son perpendiculares (u, v ≠ 0). Devuelve un escalar.
Para u, v ∈ ℝ³: u × v es un vector perpendicular a ambos, con módulo |u|·|v|·sin θ y sentido dado por la regla de la mano derecha. Es nulo si y solo si u y v son paralelos (u, v ≠ 0).
Sucesión en la que cada término se obtiene sumando una constante d (diferencia común) al anterior: aₙ = a₁ + (n − 1)·d. La suma de los n primeros términos es Sₙ = n·(a₁ + aₙ)/2.
Sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante r (razón común): aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹. La suma de los n primeros términos es Sₙ = a₁·(rⁿ − 1)/(r − 1) cuando r ≠ 1.
Unidad angular igual al ángulo central que abarca un arco de longitud igual al radio. Conversión: 180° = π rad, así que 1 rad ≈ 57,2958°. Las fórmulas de longitud de arco s = r·θ y área de sector A = (1/2)·r²·θ requieren θ en radianes.
Las razones trigonométricas inversas: csc θ = 1/sin θ (cosecante), sec θ = 1/cos θ (secante) y cot θ = 1/tan θ = cos θ/sin θ (cotangente). Definidas allí donde el denominador no se anula.
Conjunto de todos los valores f(x) que toma la función al recorrer su dominio. Para funciones reales se determina estudiando crecimiento, decrecimiento, asíntotas y extremos.
Recta y = a + b·x que minimiza la suma de los cuadrados de las distancias verticales entre los datos observados y la recta. Predicciones fiables solo dentro del rango de los datos (interpolación); extrapolar fuera es arriesgado.
Recta perpendicular a la tangente en (a, f(a)). Cuando f′(a) ≠ 0, su pendiente es −1/f′(a). Si f′(a) = 0, la tangente es horizontal y la normal es vertical (x = a).
Recta que toca al grafo de f en el punto (a, f(a)) con pendiente f′(a). Ecuación: y − f(a) = f′(a)·(x − a). Aproxima la función localmente: f(x) ≈ f(a) + f′(a)·(x − a) para x cerca de a.
Si lim_{x→a} f(x)/g(x) presenta una indeterminación 0/0 o ∞/∞ y f, g son derivables en un entorno reducido de a con g′(x) ≠ 0, entonces lim_{x→a} f(x)/g(x) = lim_{x→a} f′(x)/g′(x), si el segundo límite existe.
Si y = f(g(x)) con f y g derivables, entonces dy/dx = f′(g(x))·g′(x). Es la herramienta para derivar funciones compuestas: derivada de la función externa por la de la interna.
(f/g)′(x) = [f′(x)·g(x) − f(x)·g′(x)] / g(x)², válida donde g(x) ≠ 0. Se deduce de la regla del producto y de la derivada del recíproco.
(f·g)′(x) = f′(x)·g(x) + f(x)·g′(x). Permite derivar productos sin desarrollar previamente. Generalizable a tres o más factores aplicando la regla iterativamente.
Caso particular de la serie de Taylor centrada en 0: f(x) = Σ_{n=0}^{∞} f⁽ⁿ⁾(0)·xⁿ/n!. Permite aproximar funciones suaves cerca del origen por polinomios. Series notables: eˣ, sin x, cos x, ln(1 + x), 1/(1 − x).
Suma a₁ + a₁·r + a₁·r² + … de infinitos términos en progresión geométrica. Converge si |r| < 1 y su suma vale S∞ = a₁/(1 − r); diverge si |r| ≥ 1.
A y B son independientes si la ocurrencia de uno no afecta a la probabilidad del otro. Caracterización: P(A ∩ B) = P(A)·P(B), equivalente a P(A | B) = P(A). Independencia ≠ incompatibilidad (mutuamente excluyentes).
P(A | B) = [P(B | A)·P(A)] / P(B), con P(B) > 0. Permite invertir condicionales: actualizar la probabilidad de A a la luz de la evidencia B. Base del razonamiento estadístico bayesiano.
Para todo n ∈ ℤ: (cos θ + i·sin θ)ⁿ = cos(n·θ) + i·sin(n·θ). Permite calcular potencias y raíces n-ésimas de complejos en forma polar con facilidad.
Desarrollo (a + b)ⁿ = Σ_{k=0}^{n} C(n,k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ para n entero no negativo, donde C(n,k) = n!/(k!·(n−k)!) es el coeficiente binomial. En NS se extiende a exponentes racionales y negativos como serie infinita.
En todo triángulo: c² = a² + b² − 2·a·b·cos C (y análogas para a², b²). Generaliza Pitágoras (caso C = 90°). Útil para resolver triángulos LLL y LAL.
En todo triángulo de lados a, b, c y ángulos opuestos A, B, C: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2·R, con R el radio de la circunferencia circunscrita. Permite resolver triángulos conocidos ALA, AAL y el caso ALL (ambiguo, con 0, 1 o 2 soluciones según los datos).
Transformación que convierte una variable X ∼ N(μ, σ²) en la normal estándar Z ∼ N(0, 1) mediante z = (x − μ)/σ. Permite usar tablas o invNorm independientemente de los parámetros originales.
Operaciones que modifican el grafo de y = f(x). Traslación: y = f(x − a) + b desplaza a unidades a la derecha y b hacia arriba. Reflexión: y = −f(x) refleja sobre el eje X; y = f(−x) sobre el eje Y. Escalado: y = p·f(x) estira vertical; y = f(q·x) comprime horizontal (si |q| > 1).
Magnitud con módulo, dirección y sentido. En componentes: v = (v₁, v₂, v₃) en ℝ³. Su módulo es |v| = √(v₁² + v₂² + v₃²). Dos vectores son iguales si tienen las mismas componentes, independientemente de su punto de aplicación.
Sólido generado al girar la región limitada por y = f(x), el eje X y x = a, x = b una vuelta completa alrededor del eje X. Su volumen es V = π·∫_a^b [f(x)]² dx. Existe fórmula análoga para giros sobre el eje Y o sobre rectas paralelas.