Si guardas 5 000 € en una cuenta que rinde un 4 % anual, al cabo de un año tienes 5 200 €. Pero el segundo año el 4 % ya no se aplica sobre 5 000, sino sobre 5 200: los intereses generan intereses. Ese pequeño matiz —que el interés se calcule sobre el saldo y no sobre el capital de partida— es lo que separa el interés simple del interés compuesto, y a largo plazo la diferencia es enorme. El interés compuesto es, literalmente, una progresión geométrica disfrazada de extracto bancario.
El subtema NM 1.4 aplica todo lo aprendido en 1.3 al terreno donde más se nota: el dinero. Aquí verás cómo el valor de una inversión, la deuda de un préstamo o el precio de un coche de segunda mano siguen un patrón geométrico predecible. El IB no te pide demostrar las fórmulas: te pide usarlas con criterio, distinguir cuándo crece y cuándo decrece, y entender por qué un dato como la inflación cambia por completo la respuesta.
El interés compuesto
Del interés simple al compuesto
Conviene partir del interés simple, que ya conoces de 1.2. En el interés simple, los intereses de cada periodo se calculan siempre sobre el capital inicial, así que se suma cada año la misma cantidad: el saldo crece de forma aritmética. En el interés compuesto, en cambio, los intereses se reinvierten: cada periodo se aplica el porcentaje sobre el saldo acumulado. Como cada año se multiplica por el mismo factor, el saldo crece de forma geométrica.
| Aspecto | Interés simple | Interés compuesto |
|---|---|---|
| Base del cálculo | Capital inicial, fijo | Saldo acumulado, creciente |
| Tipo de crecimiento | Aritmético (suma constante) | Geométrico (factor constante) |
| Progresión asociada | Aritmética (1.2) | Geométrica (1.3) |
| Resultado a largo plazo | Lineal | Se dispara |
Fórmula del valor futuro con interés compuesto
El capital acumulado tras n años, cuando los intereses se capitalizan k veces al año, es:
FV = PV · (1 + r/(100k))kn
donde PV es el valor actual (capital inicial), FV el valor futuro, r el tipo de interés nominal anual en porcentaje, k el número de capitalizaciones por año y n el número de años. Si la capitalización es anual, k = 1 y la fórmula se reduce a FV = PV·(1 + r/100)n.
Reconoce la estructura: FV = PV·(factor)exponente es exactamente el término general de una progresión geométrica un = u1·rn−1. El valor actual hace de primer término y el factor 1 + r/(100k) hace de razón común.
Capitalización anual
Ejemplo 1 — interés compuesto anual. Inviertes 5 000 € en una cuenta que ofrece un 4 % anual capitalizado una vez al año. ¿Cuánto tendrás al cabo de 6 años?
- Identifica los datos: PV = 5 000, r = 4, k = 1, n = 6.
- Sustituye en FV = PV·(1 + r/(100k))kn: FV = 5 000·(1 + 4/100)1·6.
- El factor es 1,04 y el exponente es 6: FV = 5 000·1,046.
- Calcula 1,046 ≈ 1,265319. Multiplica: 5 000·1,265319 ≈ 6 326,60 €.
Capitalización más frecuente que la anual
Muchos productos financieros capitalizan los intereses varias veces al año: semestral (k = 2), trimestral (k = 4) o mensual (k = 12). Cuanto más a menudo se capitalice, antes empiezan los intereses a generar intereses, así que el valor futuro es algo mayor para el mismo tipo nominal.
Ejemplo 2 — capitalización mensual. Depositas 8 000 € a un 6 % nominal anual capitalizado mensualmente. ¿Cuánto tendrás al cabo de 5 años?
- Datos: PV = 8 000, r = 6, k = 12, n = 5.
- El factor mensual es 1 + r/(100k) = 1 + 6/(100·12) = 1 + 0,005 = 1,005.
- El exponente es kn = 12·5 = 60. Entonces FV = 8 000·1,00560.
- Calcula 1,00560 ≈ 1,348850. Multiplica: 8 000·1,348850 ≈ 10 790,80 €.
Ejemplo 3 — capitalización trimestral. Una empresa coloca 12 000 € en un depósito al 3,5 % nominal anual con capitalización trimestral durante 8 años. ¿Cuál es el valor futuro?
- Datos: PV = 12 000, r = 3,5, k = 4, n = 8.
- Factor trimestral: 1 + 3,5/(100·4) = 1 + 0,00875 = 1,00875.
- Exponente: kn = 4·8 = 32. FV = 12 000·1,0087532.
- Calcula 1,0087532 ≈ 1,321519. Multiplica: 12 000·1,321519 ≈ 15 858,23 €.
La calculadora gráfica del IB incluye un resolvedor financiero (TVM) —menú «Finance» o «TVM Solver»— que calcula PV, FV, tipo o número de periodos cuando se conocen los demás. Es perfectamente válido en la Prueba 2: introduce los valores con el convenio de signos del menú (el dinero que sale es negativo, el que entra es positivo) y deja en blanco la incógnita. Aun así, en la Prueba 1, sin calculadora con TVM, debes saber escribir y sustituir la fórmula FV = PV·(1 + r/(100k))kn a mano: practica las dos vías.
Depreciación e inflación
La depreciación: una progresión geométrica decreciente
Muchos bienes —un coche, un ordenador, una máquina— pierden valor con el tiempo. Cuando esa pérdida es un porcentaje fijo del valor cada año, hablamos de depreciación a tasa constante, y se modela con la misma fórmula que el interés compuesto, pero con un factor menor que 1: una bajada del p % anual da razón común r = 1 − p/100.
Valor tras la depreciación
Si un bien de valor inicial PV se deprecia un p % cada año, su valor al cabo de n años es:
Valor = PV · (1 − p/100)n
El factor 1 − p/100 está entre 0 y 1, así que la progresión geométrica decrece: el valor se acerca a 0 pero, matemáticamente, nunca lo alcanza.
Ejemplo 4 — depreciación de un coche. Un coche cuesta hoy 24 000 € y se deprecia un 15 % cada año. ¿Cuánto valdrá al cabo de 7 años?
- Datos: PV = 24 000, p = 15, n = 7.
- El factor anual es 1 − 15/100 = 0,85.
- Sustituye: Valor = 24 000·0,857.
- Calcula 0,857 ≈ 0,320577. Multiplica: 24 000·0,320577 ≈ 7 693,85 €.
Error frecuente
Restar el porcentaje en lugar de multiplicar por el factor año a año. Quien razona «un 15 % de 24 000 son 3 600 €, así que en 7 años pierde 7·3 600 = 25 200 €» obtiene un valor negativo, algo imposible. Ese cálculo aplicaría el 15 % siempre sobre el valor inicial: eso es depreciación lineal (aritmética), no la depreciación geométrica del enunciado. En la depreciación a tasa fija, cada año el 15 % se calcula sobre el valor del año anterior, que es cada vez menor; por eso hay que multiplicar por 0,85 repetidamente, nunca restar una cantidad fija.
El valor real de una inversión: descontar la inflación
Ganar un 5 % en una cuenta suena bien, pero si los precios suben un 2 % ese mismo año, tu dinero compra menos de lo que su cifra sugiere. El valor real de una inversión mide su poder adquisitivo: lo que de verdad puedes comprar con ella, descontado el efecto de la inflación. Para obtenerlo se divide el valor futuro nominal entre el factor de inflación acumulado.
Ejemplo 5 — valor real frente a valor nominal. Inviertes 10 000 € durante 4 años a un 5 % anual de interés compuesto. Durante esos 4 años la inflación es del 2 % anual. ¿Cuál es el valor real de tu inversión al final?
- Calcula primero el valor futuro nominal: FV = 10 000·(1 + 5/100)4 = 10 000·1,054.
- 1,054 ≈ 1,215506, así que FV ≈ 12 155,06 € (el saldo que verás en la cuenta).
- El factor de inflación acumulado en 4 años es 1,024 ≈ 1,082432.
- El valor real es el nominal dividido por ese factor: 12 155,06 ÷ 1,082432 ≈ 11 229,40 €.
- Interpretación: aunque la cuenta marca 12 155,06 €, su poder de compra equivale a 11 229,40 € de hoy. La inflación se ha «comido» parte de la rentabilidad.
Por qué no se pide derivar la fórmula
El IB es explícito en que en NM 1.4 no se pide deducir la fórmula del interés compuesto, sino aplicarla. El motivo es pedagógico: la deducción es simplemente reconocer que repetir «multiplica por el factor» kn veces produce una potencia, algo que ya quedó establecido en 1.3 al estudiar el término general de una progresión geométrica. Lo que el examen valora aquí es el criterio: identificar correctamente PV, r, k y n; distinguir crecimiento de depreciación por el signo del porcentaje; y saber que la inflación se descuenta dividiendo, no restando.