Sumar infinitos números y obtener un resultado finito suena a contradicción. Sin embargo, ocurre constantemente. Si recorres la mitad de una habitación, luego la mitad de lo que queda, luego la mitad de lo que queda… nunca «terminas» de dar pasos, pero la distancia total que recorres es exactamente la anchura de la habitación. Esa suma —1/2 + 1/4 + 1/8 + …— es una serie geométrica infinita, y su valor finito es uno de los resultados más elegantes de toda la matemática del Diploma.
El subtema NM 1.8 retoma la serie geométrica de 1.3 y se hace una pregunta nueva: ¿qué pasa si no nos detenemos en el término n, sino que sumamos para siempre? La respuesta depende por completo de la razón común. Bajo una condición precisa, la suma se estabiliza en un número concreto; fuera de esa condición, crece sin límite. Entender exactamente dónde está la frontera es el objetivo de esta página.
Cuándo una serie geométrica infinita tiene suma finita
Sumas parciales: la idea de convergencia
Recuerda de 1.3 que la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica es Sn = u1(1 − rn) / (1 − r). A esa Sn se la llama suma parcial: es la suma «hasta cierto punto». La pregunta de 1.8 es qué le pasa a Sn cuando n se hace cada vez más grande, tendiendo a infinito.
Todo depende del término rn. Si la razón cumple −1 < r < 1, entonces al elevarla a potencias cada vez mayores, rn se vuelve cada vez más pequeño y se acerca a 0. Por ejemplo, 0,510 ≈ 0,001 y 0,520 ≈ 0,000001. Cuando rn → 0, la fórmula de Sn se simplifica y las sumas parciales se acercan a un número fijo: decimos que la serie converge.
En cambio, si |r| ≥ 1, la potencia rn no se va a cero: o crece sin límite, o se mantiene del mismo tamaño cambiando de signo. Las sumas parciales no se estabilizan en ningún número: la serie diverge y no tiene suma finita.
Suma de una serie geométrica infinita
Una serie geométrica infinita de primer término u1 y razón común r converge si, y solo si, |r| < 1. En ese caso, su suma es:
S∞ = u1 / (1 − r)
La fórmula sale de Sn = u1(1 − rn) / (1 − r) sin más que sustituir rn por 0, lo que es legítimo precisamente porque |r| < 1. Si |r| ≥ 1, la serie no tiene suma: la fórmula no se puede aplicar.
Ejemplo 1 — una suma infinita básica. Halla la suma de la serie geométrica infinita 20 + 5 + 1,25 + …
- Identifica el primer término: u1 = 20.
- Halla la razón dividiendo términos consecutivos: r = 5 ÷ 20 = 0,25. Comprueba: 1,25 ÷ 5 = 0,25 ✓.
- Como |0,25| < 1, la serie converge: puedes aplicar la fórmula.
- Sustituye en S∞ = u1 / (1 − r): S∞ = 20 / (1 − 0,25) = 20 / 0,75 = 26,67 (más exactamente, 80/3).
Ejemplo 2 — decidir si converge. Para cada serie, di si tiene suma finita: (a) 4 + 6 + 9 + …; (b) 18 + 12 + 8 + …
- Serie (a): la razón es r = 6 ÷ 4 = 1,5. Como |1,5| ≥ 1, la serie diverge: sus términos crecen y la suma no es finita.
- Serie (b): la razón es r = 12 ÷ 18 = 2/3 ≈ 0,667. Comprueba: 8 ÷ 12 = 2/3 ✓.
- Como |2/3| < 1, la serie (b) converge. Su suma es S∞ = 18 / (1 − 2/3) = 18 / (1/3) = 18·3 = 54.
Error frecuente
Aplicar la fórmula S∞ = u1/(1 − r) sin comprobar antes que |r| < 1. Si un alumno la usa con r = 1,5 obtiene S∞ = u1/(1 − 1,5) = u1/(−0,5): un número negativo para una suma de términos positivos crecientes. El resultado es absurdo y delata el error. La regla es innegociable: primero calcula r, después verifica |r| < 1, y solo entonces aplica la fórmula. Si la condición falla, la respuesta correcta es «la serie diverge», no un número.
Hallar datos a partir de la suma infinita
El examen también plantea el problema al revés: te da la suma infinita y alguno de los parámetros, y pide el otro. Basta despejar en S∞ = u1/(1 − r).
Ejemplo 3 — hallar la razón conocida la suma. Una serie geométrica infinita tiene primer término 9 y suma infinita 12. Halla la razón común.
- Plantea la fórmula con los datos: 12 = 9 / (1 − r).
- Multiplica ambos lados por (1 − r): 12·(1 − r) = 9.
- Despeja: 1 − r = 9 / 12 = 0,75, luego r = 1 − 0,75 = 0,25.
- Verifica que la solución es coherente: |0,25| < 1, así que la serie efectivamente converge ✓.
El infinito como herramienta: aplicaciones y reflexión
Fracciones generadas por decimales periódicos
Una aplicación clásica y muy elegante de las series infinitas es convertir un decimal periódico en una fracción exacta. Un número como 0,4444… es en realidad la suma de una serie geométrica: 0,4 + 0,04 + 0,004 + …
Ejemplo 4 — un decimal periódico es una serie geométrica. Expresa 0,4444… como fracción.
- Escribe el número como suma: 0,4 + 0,04 + 0,004 + …
- Es una serie geométrica con u1 = 0,4 y razón r = 0,04 ÷ 0,4 = 0,1.
- Como |0,1| < 1, converge. Aplica la fórmula: S∞ = 0,4 / (1 − 0,1) = 0,4 / 0,9.
- Simplifica: 0,4 / 0,9 = 4/9. Por tanto, 0,4444… = 4/9. (Comprueba dividiendo: 4 ÷ 9 = 0,444…)
Un área finita con perímetro infinito
Las series infinitas esconden paradojas geométricas fascinantes. Imagina que partes de un triángulo equilátero y, en cada lado, le añades un triángulo más pequeño; repites el proceso indefinidamente sobre cada lado nuevo. La figura límite —conocida como copo de nieve de Koch— tiene una propiedad sorprendente: su perímetro es infinito, porque en cada paso se multiplica por un factor mayor que 1 (serie divergente), pero su área es finita, porque el área añadida en cada paso forma una serie geométrica convergente que suma un valor concreto.
La lección es profunda: «infinito» no significa «infinitamente grande». Una cantidad puede crecer sin límite (el perímetro) mientras otra, construida con infinitos sumandos, se mantiene acotada (el área). La condición |r| < 1 es exactamente la línea que separa los dos comportamientos.
Por qué la condición es estricta
Conviene insistir en que la desigualdad es estricta: |r| < 1, no |r| ≤ 1. Los dos casos frontera lo justifican. Si r = 1, todos los términos son iguales a u1 y sumarlos infinitas veces da ±∞: diverge. Si r = −1, los términos alternan entre u1 y −u1, y las sumas parciales oscilan entre u1 y 0 sin estabilizarse nunca: tampoco converge. Solo cuando r está estrictamente dentro del intervalo (−1, 1) la potencia rn se desvanece y la suma se estabiliza.
| Razón común | ¿Converge? | Comportamiento |
|---|---|---|
| |r| < 1 | Sí | Suma finita: S∞ = u1/(1 − r). |
| r = 1 | No | Las sumas parciales crecen sin límite. |
| r = −1 | No | Las sumas parciales oscilan sin estabilizarse. |
| |r| > 1 | No | Los términos crecen; la suma no es finita. |
Ante cualquier pregunta de 1.8, el primer gesto debe ser siempre el mismo: calcula la razón r y comprueba |r| < 1 antes de tocar la fórmula. Si la pregunta usa la palabra «converge» o el símbolo S∞, el examinador a menudo da una marca solo por enunciar correctamente la condición |r| < 1. Cuando te den la suma infinita y pidan un parámetro, despeja con cuidado en S∞ = u1/(1 − r) y verifica al final que el r obtenido cumple la condición: si no la cumple, el problema no tiene solución válida. Y recuerda que un decimal periódico siempre se puede atacar como serie geométrica si no recuerdas el método algebraico clásico.