Matemáticas AA · Progresiones, series y teorema del binomio

1.9 Teorema del binomio

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Desarrollar (a + b)2 es fácil: a2 + 2ab + b2. Desarrollar (a + b)3 ya cuesta más, y (a + b)10 multiplicando paréntesis uno a uno sería una tortura de varias páginas. El teorema del binomio resuelve el problema de golpe: da una fórmula directa que escupe cualquier potencia de un binomio sin multiplicar nada, apoyándose en un patrón numérico que los matemáticos conocen desde hace siglos.

El subtema NM 1.9 cierra el bloque de álgebra del Tema 1 y conecta con la combinatoria que reaparecerá en probabilidad (Tema 4). En Nivel Medio se trabaja únicamente con exponentes enteros positivos, n ∈ ℕ; la extensión a exponentes negativos o fraccionarios pertenece a Nivel Superior. Aquí aprenderás dos herramientas equivalentes para encontrar los coeficientes —el triángulo de Pascal y la fórmula de nCr— y a usarlas para localizar un término concreto de un desarrollo sin escribirlo entero.

El desarrollo del binomio

El triángulo de Pascal

Si desarrollas a mano las primeras potencias de (a + b) y miras solo los números que multiplican a cada término, aparece un patrón:

PotenciaDesarrolloCoeficientes
(a+b)011
(a+b)1a + b1   1
(a+b)2a2 + 2ab + b21   2   1
(a+b)3a3 + 3a2b + 3ab2 + b31   3   3   1
(a+b)4a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b41   4   6   4   1

Esos coeficientes forman el triángulo de Pascal. La regla de construcción es bellísima: cada número es la suma de los dos que tiene justo encima, y los bordes son siempre 1. Así, la fila siguiente (potencia 5) se obtiene sumando: 1, 1+4=5, 4+6=10, 6+4=10, 4+1=5, 1, es decir 1   5   10   10   5   1.

Observa también el patrón de las potencias: en el desarrollo de (a + b)n, el exponente de a empieza en n y baja de uno en uno hasta 0, mientras el de b empieza en 0 y sube hasta n. En cada término, los dos exponentes suman siempre n. Hay exactamente n + 1 términos.

El teorema del binomio

Para cualquier entero positivo n, la potencia (a + b)n se desarrolla como:

(a+b)n = nC0 an + nC1 an−1b + nC2 an−2b2 + … + nCn bn

El coeficiente del término que contiene br es el coeficiente binomial nCr, que coincide con el número situado en la posición r de la fila n del triángulo de Pascal (contando desde 0).

El coeficiente binomial nCr

El triángulo de Pascal es cómodo para potencias pequeñas, pero para (a + b)20 habría que escribir veinte filas. Por eso se usa una fórmula directa para cada coeficiente, basada en el factorial: n! es el producto 1·2·3·…·n, y por convenio 0! = 1.

Fórmula del coeficiente binomial

nCr = n! / ( r! · (n − r)! )

Cuenta de cuántas maneras se pueden elegir r objetos de un total de n. Cumple la simetría nCr = nCn−r (por eso las filas de Pascal son simétricas) y los extremos nC0 = nCn = 1. Toda calculadora gráfica del IB la tiene como función «nCr».

Ejemplo 1 — calcular un coeficiente binomial. Calcula 6C2.

  1. Aplica la fórmula con n = 6, r = 2: 6C2 = 6! / (2!·(6 − 2)!) = 6! / (2!·4!).
  2. Desarrolla: 6! = 720, 2! = 2, 4! = 24.
  3. Sustituye: 6C2 = 720 / (2·24) = 720 / 48 = 15.
  4. Atajo útil: en la fracción, 6!/4! = 6·5 = 30, así que 6C2 = 30 / 2! = 30 / 2 = 15. Coincide con el número de la fila 6 de Pascal.

Ejemplo 2 — desarrollo completo de un binomio. Desarrolla (2x + 3)4.

  1. Aquí a = 2x, b = 3, n = 4. Los coeficientes de la fila 4 de Pascal son 1, 4, 6, 4, 1.
  2. Escribe los cinco términos con potencias decrecientes de a y crecientes de b:
    1·(2x)4 + 4·(2x)3·3 + 6·(2x)2·32 + 4·(2x)·33 + 1·34.
  3. Evalúa cada uno: (2x)4 = 16x4; 4·(8x3)·3 = 96x3; 6·(4x2)·9 = 216x2; 4·(2x)·27 = 216x; 34 = 81.
  4. Resultado: (2x + 3)4 = 16x4 + 96x3 + 216x2 + 216x + 81.

Error frecuente

Olvidar elevar al exponente todo el término, coeficiente incluido. En (2x + 3)4, el primer término no es 2x4 sino (2x)4 = 16x4: el 2 también se eleva a la cuarta. El descuido se multiplica cuando el binomio lleva un signo menos: en (x − 2)5 hay que escribir b = −2 y respetar el signo en cada potencia, de modo que b2 = 4 (positivo) pero b3 = −8 (negativo). Trata siempre a y b como bloques entre paréntesis antes de elevar.

Hallar un término concreto sin desarrollar todo

El término general del desarrollo

A menudo el examen no pide el desarrollo entero, sino un único término: «el término en x3», «el término independiente», «el coeficiente de x5». Desarrollar las quince líneas de (a + b)15 para quedarse con una sola sería absurdo. Para eso existe el término general.

Término general del binomio

El término que contiene br en el desarrollo de (a + b)n es:

término = nCr · an−r · br

Variando r de 0 a n se recorren los n + 1 términos. Para encontrar el término que pide el enunciado, basta determinar qué valor de r produce la potencia buscada.

Ejemplo 3 — un término concreto. Halla el término en x3 del desarrollo de (x + 2)7.

  1. Aquí a = x, b = 2, n = 7. El término general es 7Cr·x7−r·2r.
  2. La potencia de x es 7 − r. Igualamos a la pedida: 7 − r = 3, luego r = 4.
  3. Sustituye r = 4: término = 7C4·x3·24.
  4. Calcula los factores: 7C4 = 7C3 = 35 (por simetría) y 24 = 16.
  5. Multiplica los números: 35·16 = 560. El término en x3 es 560x3.
💡 Combinatoria y probabilidad: el coeficiente nCr no es solo «el número de Pascal»: cuenta de cuántas maneras se eligen r objetos de n. Ese mismo número reaparece en el Tema 4 al estudiar la distribución binomial, donde nCr indica de cuántas formas pueden darse r éxitos en n intentos. El teorema del binomio y la probabilidad binomial comparten nombre y coeficientes porque, en el fondo, cuentan lo mismo.

Ecuaciones con coeficientes binomiales

El IB plantea a veces el problema al revés: te da el valor de un coeficiente binomial y pide el índice r. Se resuelve usando la fórmula o, más rápido, recorriendo la fila correspondiente del triángulo de Pascal.

Ejemplo 4 — despejar el índice r. Halla el valor de r que cumple 6Cr = 20.

  1. La fila 6 del triángulo de Pascal es 6C0, 6C1, …, 6C6, es decir: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.
  2. Busca dónde aparece el 20: está en la posición central, que corresponde a r = 3.
  3. Comprueba con la fórmula: 6C3 = 6! / (3!·3!) = 720 / (6·6) = 720 / 36 = 20 ✓.
  4. Por tanto, r = 3. Es el único valor: en la fila 6, el 20 aparece una sola vez, justo en el centro.

Error frecuente

Suponer que nCr = k tiene siempre una sola solución. La simetría nCr = nCn−r hace que muchos valores aparezcan dos veces en la fila. Por ejemplo, 6Cr = 15 se cumple para r = 2 y también para r = 4, porque 6C2 = 6C4 = 15. Cuando resuelvas una ecuación de este tipo, recorre la fila entera y comprueba si el valor pedido aparece más de una vez antes de dar la respuesta como única.

Solo exponentes enteros positivos en NM

Conviene tener clara la frontera de nivel. En Nivel Medio, el teorema del binomio se aplica únicamente cuando el exponente n es un entero positivo: en ese caso el desarrollo es finito, con exactamente n + 1 términos, y todos los coeficientes nCr son números naturales que puedes leer en el triángulo de Pascal. La extensión del teorema a exponentes negativos o fraccionarios —donde el desarrollo se vuelve una serie infinita— es contenido exclusivo de Nivel Superior y no entra en el examen de NM.

Para el examen

Para las preguntas de 1.9, fija un guion. Si n es pequeño (hasta 5 o 6), el triángulo de Pascal suele ser más rápido y seguro que la fórmula. Si n es grande o solo piden un término, usa el término general nCr·an−r·br y empieza por plantear la ecuación de los exponentes para hallar r. Tres reflejos que ganan marcas: trata siempre a y b como bloques entre paréntesis antes de elevar (incluido el signo si es negativo); usa la función «nCr» de la calculadora para verificar, pero deja escrito el paso con factoriales que es lo que puntúa; y recuerda que el desarrollo de (a + b)n tiene n + 1 términos, un control rápido para saber si te has dejado alguno.