Durante toda la educación obligatoria has trabajado dentro de los números reales, y ahí una ecuación tan inocente como x2 + 1 = 0 simplemente «no tiene solución»: ningún número real elevado al cuadrado puede dar −1. Los matemáticos del Renacimiento se toparon con ese muro al resolver ecuaciones cúbicas y, en lugar de rendirse, inventaron una salida: postular un número nuevo, i, cuyo cuadrado vale exactamente −1. De esa decisión audaz nace todo el conjunto de los números complejos, ℂ.
El subtema TANS 1.12 te presenta los complejos en su forma más operativa, la forma cartesiana z = a + bi. Aprenderás a sumarlos, restarlos, multiplicarlos y dividirlos, a representarlos como puntos del plano y a medir su tamaño y su orientación. No es una curiosidad abstracta: la ingeniería eléctrica modela con complejos las corrientes alternas, y sin ellos buena parte de la física moderna sería intratable. Es además el cimiento de los dos leaves siguientes, dedicados a la forma polar y al teorema de De Moivre.
El número i y la forma cartesiana
La unidad imaginaria
Todo arranca de una sola definición. La unidad imaginaria i es el número que cumple
Definición de la unidad imaginaria
i2 = −1.
A partir de aquí, las potencias de i se repiten en un ciclo de longitud cuatro:
- i1 = i
- i2 = −1
- i3 = i2 · i = −i
- i4 = i2 · i2 = (−1)(−1) = 1
Después el patrón se reinicia: i5 = i, i6 = −1, y así sucesivamente. Para calcular in basta dividir n entre 4 y quedarse con el resto.
Un número complejo en forma cartesiana se escribe z = a + bi, donde a y b son números reales. El número a es la parte real, que se denota Re(z), y b es la parte imaginaria, que se denota Im(z). Conviene fijar bien que la parte imaginaria es el coeficiente b, un número real, y no la expresión bi.
Los números reales son un caso particular: cuando b = 0, queda z = a, un real corriente. Cuando a = 0 y b ≠ 0, el número z = bi se llama imaginario puro. Dos complejos son iguales si, y solo si, coinciden a la vez su parte real y su parte imaginaria: a + bi = c + di equivale a a = c y b = d. Esta «igualdad por componentes» es una herramienta de cálculo potente, porque convierte una ecuación compleja en dos ecuaciones reales.
El diagrama de Argand
Como un complejo está determinado por dos números reales, se le puede asignar de forma natural un punto del plano. El plano complejo, también llamado diagrama de Argand en honor a Jean-Robert Argand, representa z = a + bi mediante el punto de coordenadas (a, b): la parte real se lleva sobre el eje horizontal (eje real) y la parte imaginaria sobre el eje vertical (eje imaginario).
Esta imagen geométrica es la clave para entender el resto del bloque. El módulo de z, escrito |z|, es la distancia del origen al punto z; por el teorema de Pitágoras vale |z| = √(a2 + b2). El argumento de z, escrito arg z, es el ángulo que el segmento del origen a z forma con el semieje real positivo. El conjugado z* = a − bi es la reflexión de z respecto del eje real.
Ejemplo 1 — partes, módulo, conjugado y representación. Sea z = −3 + 4i. Identifica sus partes, calcula |z| y z*, y sitúalo en el diagrama de Argand.
- Parte real: Re(z) = −3. Parte imaginaria: Im(z) = 4.
- Módulo: |z| = √((−3)2 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5.
- Conjugado: z* = −3 − 4i.
- En el diagrama de Argand, z es el punto (−3, 4), situado en el segundo cuadrante; z* es el punto (−3, −4), su reflejo sobre el eje real, en el tercer cuadrante.
Suma, resta y producto en forma cartesiana
Las operaciones con complejos en forma cartesiana siguen las reglas del álgebra ordinaria, con una única norma extra: cada vez que aparezca i2, se sustituye por −1.
| Operación | Regla | Idea |
|---|---|---|
| Suma | (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i | Se suman partes reales con reales e imaginarias con imaginarias. |
| Resta | (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i | Igual que la suma, restando componente a componente. |
| Producto | (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i | Se aplica la propiedad distributiva y luego i2 = −1. |
No conviene memorizar la fórmula del producto como una caja negra: es preferible aplicar la distributiva cada vez, porque el riesgo de error es menor y el proceso es transparente.
Ejemplo 2 — producto en forma cartesiana. Calcula z·w siendo z = 3 + 2i y w = 4 − 5i.
- Distribuir: (3 + 2i)(4 − 5i) = 3·4 + 3·(−5i) + 2i·4 + 2i·(−5i).
- Operar término a término: 12 − 15i + 8i − 10i2.
- Sustituir i2 = −1: el término −10i2 se convierte en −10·(−1) = +10.
- Agrupar: parte real 12 + 10 = 22; parte imaginaria −15 + 8 = −7.
- Resultado: z·w = 22 − 7i.
El conjugado, la división y una aplicación
El conjugado y por qué es tan útil
El conjugado tiene una propiedad que lo convierte en la herramienta central de la división. Al multiplicar un complejo por su conjugado, el resultado es siempre un número real no negativo:
El producto z·z*
(a + bi)(a − bi) = a2 − (bi)2 = a2 − b2i2 = a2 + b2.
Es decir, z·z* = |z|2: el producto de un complejo por su conjugado es el cuadrado de su módulo, un real sin parte imaginaria. Esta es la identidad que «limpia» el denominador en una división.
Otras propiedades del conjugado que conviene tener a mano: el conjugado de una suma es la suma de conjugados, (z + w)* = z* + w*; el conjugado de un producto es el producto de conjugados, (z·w)* = z*·w*; y un número es real si, y solo si, coincide con su conjugado, z = z*.
División usando el conjugado
Dividir dos complejos exige reescribir el cociente con un denominador real. La técnica es multiplicar numerador y denominador por el conjugado del denominador: como w·w* es real, el cociente queda en forma cartesiana limpia.
Ejemplo 3 — división con la técnica del conjugado. Calcula (5 + i) ÷ (2 − 3i).
- El conjugado del denominador es 2 + 3i. Multiplicamos arriba y abajo por él.
- Denominador: (2 − 3i)(2 + 3i) = 22 + 32 = 4 + 9 = 13. Real, como esperábamos.
- Numerador: (5 + i)(2 + 3i) = 10 + 15i + 2i + 3i2 = 10 + 17i − 3 = 7 + 17i.
- Reunir el cociente: (7 + 17i) / 13 = 7/13 + (17/13)i.
- En decimal, z ≈ 0,538 + 1,308i. Comprobación: multiplicando este resultado por 2 − 3i debe devolver 5 + i, y así ocurre.
Error frecuente
Multiplicar solo el numerador por el conjugado, o multiplicar por el conjugado del numerador en lugar del denominador. La regla es estricta: numerador y denominador, ambos, por el conjugado del denominador. Otro fallo típico es olvidar que (a − bi)(a + bi) = a2 + b2 (con signo más): el alumno escribe a2 − b2 arrastrando la fórmula de diferencia de cuadrados sin tener en cuenta el i2 = −1. Recuerda: el producto de conjugados nunca tiene parte imaginaria y siempre da un real positivo (salvo z = 0).
Una aplicación: la impedancia en ingeniería eléctrica
Los números complejos no son un juego formal. En el análisis de circuitos de corriente alterna, la oposición que un componente ofrece al paso de la corriente se modela como una magnitud compleja llamada impedancia, Z, medida en ohmios. La parte real de Z es la resistencia (lo que disipa energía) y la parte imaginaria es la reactancia (debida a bobinas y condensadores, que almacenan y devuelven energía). El módulo |Z| da la oposición total y el argumento arg Z indica el desfase entre tensión e intensidad.
La gran ventaja es que, escritas como complejos, las impedancias en serie se suman igual que las resistencias ordinarias.
Ejemplo 4 — impedancia total de un circuito en serie. Un circuito tiene una resistencia que aporta una impedancia Z1 = 30 + 0i Ω y una bobina que aporta Z2 = 0 + 40i Ω. Calcula la impedancia total Z y su módulo.
- Impedancias en serie: se suman. Z = Z1 + Z2 = (30 + 0) + (0 + 40)i = 30 + 40i Ω.
- Módulo: |Z| = √(302 + 402) = √(900 + 1600) = √2500 = 50 Ω.
- Interpretación: aunque resistencia y reactancia valen 30 y 40 Ω, la oposición total no es 70 Ω sino 50 Ω, porque ambas magnitudes actúan «en perpendicular» en el diagrama de Argand. La forma cartesiana captura ese hecho físico de manera natural.
En las pruebas de NS, las preguntas de 1.12 suelen pedir tres cosas que dan marcas casi gratis si se hacen con orden. Primero, al dividir, escribe explícitamente la multiplicación por el conjugado del denominador: el examinador busca ese paso. Segundo, al usar la igualdad por componentes para resolver ecuaciones del tipo (x + yi)(...) = ..., separa siempre en dos ecuaciones reales antes de despejar. Tercero, cuando calcules un módulo o un argumento, marca el cuadrante con un pequeño esquema del diagrama de Argand: te evita el error de signo más común del tema. Y nunca dejes una respuesta con i2, i3 o i4 sin simplificar.