Matemáticas AA · Ampliación NS · Números complejos

1.13 Forma polar y de Euler de los complejos (solo NS)

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En el leaf anterior representaste cada número complejo como un punto del diagrama de Argand y lo escribiste con sus coordenadas, z = a + bi. Pero un punto del plano se puede localizar de otra manera igual de válida: en lugar de decir «cuánto a la derecha y cuánto hacia arriba», se dice «a qué distancia del origen y en qué dirección». Esa es la idea de las coordenadas polares, y aplicada a los complejos da lugar a la forma polar.

El subtema TANS 1.13 te enseña a moverte con soltura entre tres escrituras del mismo número —cartesiana, polar y de Euler— y, sobre todo, a entender qué operación es «fácil» en cada una. La forma cartesiana es cómoda para sumar; la forma polar y la de Euler son las reinas del producto, el cociente y, como verás en 1.14, las potencias y raíces. Multiplicar complejos dejará de ser un cálculo ciego y pasará a tener un significado geométrico nítido: rotar y escalar.

Las tres formas y cómo convertir entre ellas

De la cartesiana a la polar

Un complejo z ≠ 0 queda determinado por dos datos: su módulo r = |z| (la distancia al origen) y su argumento θ = arg z (el ángulo con el semieje real positivo). Mirando el triángulo rectángulo que z forma en el diagrama de Argand, la trigonometría básica da a = r cos θ y b = r sen θ. Sustituyendo en z = a + bi se obtiene la forma polar.

Forma polar (módulo-argumental)

z = r(cos θ + i sen θ) = r cis θ

donde r = |z| = √(a2 + b2) ≥ 0 es el módulo y θ = arg z es el argumento. La abreviatura cis θ significa exactamente «cos θ + i sen θ»: es una notación cómoda, no una función nueva. El argumento se mide en radianes y el IB toma el argumento principal en (−π, π].

Para hallar el argumento a partir de a y b se usa tan θ = b/a, pero con una precaución imprescindible: la tecla de arcotangente de la calculadora solo devuelve ángulos entre −π/2 y π/2, así que hay que ajustar según el cuadrante en el que esté el punto. Por eso siempre conviene dibujar un esquema rápido del diagrama de Argand antes de fijar el valor de θ.

Ejemplo 1 — convertir de cartesiana a polar. Escribe z = −1 + √3 i en forma polar.

  1. Módulo: r = √((−1)2 + (√3)2) = √(1 + 3) = √4 = 2.
  2. El punto (−1, √3) tiene parte real negativa y parte imaginaria positiva: está en el segundo cuadrante.
  3. Ángulo de referencia: tan−1(√3 / 1) = π/3. Como estamos en el segundo cuadrante, θ = π − π/3 = 2π/3.
  4. Comprobación: 2·cos(2π/3) = 2·(−1/2) = −1 ✓ y 2·sen(2π/3) = 2·(√3/2) = √3 ✓.
  5. Resultado: z = 2(cos(2π/3) + i sen(2π/3)) = 2 cis(2π/3).

De la polar a la cartesiana

El camino inverso es directo: se evalúan el coseno y el seno del argumento y se multiplican por el módulo. a = r cos θ, b = r sen θ.

Ejemplo 2 — convertir de polar a cartesiana. Escribe z = 4 cis(−π/6) en forma cartesiana.

  1. Parte real: a = 4·cos(−π/6) = 4·(√3/2) = 2√3.
  2. Parte imaginaria: b = 4·sen(−π/6) = 4·(−1/2) = −2.
  3. Resultado: z = 2√3 − 2i, que en decimal es aproximadamente 3,46 − 2i.

La forma de Euler

A mediados del siglo XVIII, Leonhard Euler descubrió una de las identidades más profundas de las matemáticas, que conecta la función exponencial con la trigonometría:

Fórmula de Euler y forma exponencial

Fórmula de Euler: eiθ = cos θ + i sen θ.

De ahí, la forma de Euler de un número complejo: z = r·eiθ, con r el módulo y θ el argumento. Es la misma información que la forma polar, escrita de modo aún más compacto: r cis θ y r·eiθ son dos nombres del mismo número.

La forma de Euler no es solo una abreviatura elegante: hace que las operaciones de producto, cociente y potencia se reduzcan a las leyes ordinarias de los exponentes, como verás enseguida. Convertir desde la forma polar es inmediato, porque solo cambia la escritura: 2 cis(2π/3) es lo mismo que 2·ei·2π/3.

FormaEscritura de z = −1 + √3 iMejor para
Cartesiana−1 + √3 iSumar y restar
Polar2 cis(2π/3) = 2(cos(2π/3) + i sen(2π/3))Multiplicar, dividir, interpretar geometría
Euler2·ei·2π/3Potencias, raíces, cálculo formal

Operar en forma polar y de Euler

Producto y cociente: rotar y escalar

Aquí está la gran recompensa del tema. En forma de Euler, multiplicar dos complejos es multiplicar módulos y sumar argumentos, exactamente la ley de exponentes ex·ey = ex+y:

Producto y cociente en forma polar/de Euler

Si z1 = r1 cis θ1 y z2 = r2 cis θ2, entonces:

  • Producto: z1·z2 = r1r2 cis(θ1 + θ2). Los módulos se multiplican; los argumentos se suman.
  • Cociente: z1 ÷ z2 = (r1/r2) cis(θ1 − θ2). Los módulos se dividen; los argumentos se restan.

En forma de Euler se ve la razón: (r1eiθ1)(r2eiθ2) = r1r2·ei(θ1+θ2).

La interpretación geométrica es la idea más bonita del bloque. Multiplicar por un complejo de módulo r y argumento θ equivale a aplicar al diagrama de Argand una transformación combinada: una rotación de ángulo θ alrededor del origen y una homotecia (escalado) de factor r. Si el factor tiene módulo 1, multiplicar solo rota, sin cambiar el tamaño. Multiplicar por i = cis(π/2), por ejemplo, es exactamente girar 90° en sentido antihorario.

Ejemplo 3 — producto en forma polar. Calcula z1·z2 con z1 = 3 cis(π/4) y z2 = 2 cis(π/12).

  1. Multiplicar los módulos: 3·2 = 6.
  2. Sumar los argumentos: π/4 + π/12. Con denominador común 12: 3π/12 + π/12 = 4π/12 = π/3.
  3. Resultado en polar: z1·z2 = 6 cis(π/3).
  4. Si se pide en cartesiana: 6·cos(π/3) = 6·(1/2) = 3 y 6·sen(π/3) = 6·(√3/2) = 3√3, luego z1·z2 = 3 + 3√3 i.

Ejemplo 4 — cociente en forma de Euler. Calcula z1 ÷ z2 con z1 = 10·ei·5π/6 y z2 = 5·ei·π/3.

  1. Dividir los módulos: 10 ÷ 5 = 2.
  2. Restar los argumentos: 5π/6 − π/3 = 5π/6 − 2π/6 = 3π/6 = π/2.
  3. Resultado: z1 ÷ z2 = 2·ei·π/2.
  4. En cartesiana: 2·cos(π/2) + 2·sen(π/2)i = 2·0 + 2·1·i = 2i. El resultado es un imaginario puro, coherente con un argumento de π/2.

Error frecuente

Tres tropiezos habituales. El primero, sumar los módulos en lugar de multiplicarlos al hacer un producto: en forma polar los módulos se multiplican, nunca se suman. El segundo, dejar el argumento del resultado fuera del intervalo principal: si al sumar argumentos obtienes, por ejemplo, 7π/6, conviene reescribirlo como 7π/6 − 2π = −5π/6 para dar el argumento principal. El tercero, mezclar grados y radianes: el examen de NS trabaja en radianes, y la fórmula de Euler eiθ solo es válida con θ en radianes; usar grados ahí es directamente incorrecto.

La identidad de Euler: una conexión TdC

Si en la fórmula de Euler tomamos el valor concreto θ = π, obtenemos algo notable. Como cos π = −1 y sen π = 0:

eiπ = cos π + i sen π = −1 + 0i = −1, y reordenando: eiπ + 1 = 0.

💡 Idea para TdC: la identidad de Euler enlaza en una sola línea las cinco constantes más importantes de las matemáticas —el número e del análisis, la unidad imaginaria i, el número π de la geometría, y el 1 y el 0 de la aritmética— junto con las operaciones de suma, producto y potencia. Muchos matemáticos la consideran la fórmula más bella de la disciplina. Es un ejemplo perfecto para reflexionar en Teoría del Conocimiento sobre el papel de la belleza y la elegancia como criterios de valor en matemáticas: ¿es la simplicidad un indicio de verdad, o solo una preferencia humana?

Para el examen

La regla de oro de 1.13 es elegir la forma adecuada a la operación: si te piden sumar o restar, pasa todo a cartesiana; si te piden multiplicar, dividir o elevar a una potencia, pasa todo a polar o de Euler. Cuando conviertas de cartesiana a polar, calcula primero el módulo y dibuja el cuadrante antes de fijar el argumento; ese esquema vale más que una fórmula memorizada. Da el argumento siempre en radianes y en el intervalo principal (−π, π] salvo que el enunciado pida otra cosa. Y si el problema mezcla formas, no operes a medias: unifica todo a una sola forma antes de empezar.