1.14 Raíces complejas y teorema de De Moivre (solo NS)

En el leaf anterior viste que multiplicar dos complejos en forma polar se reduce a multiplicar módulos y sumar argumentos. ¿Qué ocurre si multiplicas un complejo por sí mismo varias veces? Cada producto vuelve a sumar el mismo argumento y a multiplicar por el mismo módulo, así que el patrón se acumula de forma muy regular. Esa observación, llevada hasta el final, es el teorema de De Moivre, una de las herramientas más potentes del bloque de complejos.

El subtema TANS 1.14 cierra el sub-bloque de números complejos con tres ideas conectadas: cómo las raíces complejas de los polinomios reales viajan siempre en pareja, cómo elevar un complejo a una potencia entera o racional con De Moivre, y cómo extraer las n raíces n-ésimas de un complejo, que se reparten con sorprendente simetría sobre una circunferencia. También verás la demostración por inducción del teorema, un ejemplo modelo del rigor que el IB espera en NS.

Raíces complejas de polinomios y el teorema de De Moivre

Las raíces complejas van de dos en dos

Cuando una ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0 con coeficientes reales tiene discriminante negativo, sus dos soluciones no son reales. La fórmula general muestra qué aspecto tienen: aparece √(número negativo), que se reescribe con i, y el resultado son dos complejos que solo se diferencian en el signo de la parte imaginaria. Es decir, son conjugados uno del otro.

Este hecho es muy útil para reconstruir polinomios: si conoces una raíz compleja, conoces gratis su pareja, y el producto de los dos factores correspondientes es siempre un cuadrático real. En efecto, si las raíces son a ± bi, el factor cuadrático es (x − (a + bi))(x − (a − bi)) = x² − 2ax + (a² + b²).

Ejemplo 1 — reconstruir un polinomio a partir de raíces. Un polinomio cúbico tiene coeficientes reales, una raíz en x = 2 y otra raíz en x = 3 − i. Halla el polinomio.

1. Como los coeficientes son reales y 3 − i es raíz, su conjugado 3 + i también lo es. Ya tenemos las tres raíces: 2, 3 − i, 3 + i.
2. El par conjugado da el factor cuadrático real: x² − 2(3)x + (3² + 1²) = x² − 6x + 10.
3. La raíz real 2 da el factor (x − 2).
4. Multiplicar: (x − 2)(x² − 6x + 10) = x³ − 6x² + 10x − 2x² + 12x − 20.
5. Agrupar: P(x) = x³ − 8x² + 22x − 20. Todos los coeficientes son reales, como debía ser.

El teorema de De Moivre

Para elevar un complejo a una potencia, la forma polar es insuperable. El teorema de De Moivre lo formaliza:

El teorema no es un truco aislado, sino la consecuencia directa de la regla del producto en forma polar: elevar a n es multiplicar n veces el mismo número, y cada multiplicación suma el mismo argumento θ y vuelve a multiplicar por el mismo módulo r.

Ejemplo 2 — potencia con De Moivre. Calcula (1 + i)⁸.

1. Pasar 1 + i a forma polar. Módulo: r = √(1² + 1²) = √2. Argumento: el punto (1, 1) está en el primer cuadrante, θ = tan⁻¹(1/1) = π/4.
2. Aplicar De Moivre con n = 8: (√2 cis(π/4))⁸ = (√2)⁸ cis(8·π/4).
3. Módulo elevado: (√2)⁸ = (2^1/2)⁸ = 2⁴ = 16. Argumento: 8·π/4 = 2π.
4. Resultado: 16 cis(2π) = 16(cos 2π + i sen 2π) = 16(1 + 0i) = 16.
5. El resultado es un número real positivo: tiene sentido, porque 2π es una vuelta completa y deja el número sobre el eje real positivo.

Demostración por inducción para n ∈ ℤ⁺

El IB admite, y valora, la demostración del teorema de De Moivre por inducción matemática para exponentes enteros positivos. Es un ejercicio modelo que conviene saber reproducir.

Caso base (n = 1). Hay que comprobar que [r cis θ]¹ = r¹ cis(1·θ). El lado izquierdo es r cis θ y el derecho también: la igualdad es trivialmente cierta para n = 1.

Paso inductivo. Suponemos que la fórmula vale para n = k (hipótesis de inducción): [r cis θ]^k = r^k cis(kθ). Queremos probar que entonces vale para n = k + 1.

1. Escribimos la potencia k + 1 como producto: [r cis θ]^k+1 = [r cis θ]^k · [r cis θ].
2. Aplicamos la hipótesis de inducción al primer factor: = r^k cis(kθ) · r cis θ.
3. Usamos la regla del producto en forma polar (módulos se multiplican, argumentos se suman): = r^k·r · cis(kθ + θ).
4. Simplificamos: r^k·r = r^k+1 y kθ + θ = (k + 1)θ. Queda = r^k+1 cis((k + 1)θ).
5. Eso es exactamente la fórmula para n = k + 1. Como el caso base se cumple y el paso inductivo es válido, por el principio de inducción el teorema vale para todo entero positivo n. ∎

Raíces n-ésimas de un número complejo

La fórmula de las raíces n-ésimas

Resolver zⁿ = w significa encontrar todos los complejos cuya potencia n-ésima es w. La clave es que el argumento de w no es único: se le puede sumar cualquier múltiplo de 2π sin cambiar el número. Aprovechando esa libertad aparecen exactamente n soluciones distintas.

Ejemplo 3 — raíces cúbicas de un complejo. Resuelve z³ = 8i.

1. Pasar 8i a forma polar. Módulo: R = 8. Argumento: el punto (0, 8) está sobre el semieje imaginario positivo, φ = π/2.
2. Módulo de las raíces: R^1/3 = 8^1/3 = 2 (común a las tres).
3. Argumentos: (π/2 + 2πk) / 3 para k = 0, 1, 2.
4. k = 0: argumento (π/2)/3 = π/6. Raíz: 2 cis(π/6) = 2(√3/2 + (1/2)i) = √3 + i.
5. k = 1: argumento (π/2 + 2π)/3 = (5π/2)/3 = 5π/6. Raíz: 2 cis(5π/6) = 2(−√3/2 + (1/2)i) = −√3 + i.
6. k = 2: argumento (π/2 + 4π)/3 = (9π/2)/3 = 3π/2, que en el intervalo principal es −π/2. Raíz: 2 cis(−π/2) = 2(0 − i) = −2i.
7. Las tres soluciones son √3 + i,  −√3 + i,  −2i. Sus argumentos π/6, 5π/6 y −π/2 distan exactamente 2π/3 entre sí: forman un triángulo equilátero inscrito en la circunferencia de radio 2.

Ejemplo 4 — raíces cuartas de la unidad. Resuelve z⁴ = 1.

1. Forma polar de 1: módulo R = 1, argumento φ = 0.
2. Módulo de las raíces: 1^1/4 = 1 (todas sobre la circunferencia unidad).
3. Argumentos: (0 + 2πk)/4 = πk/2 para k = 0, 1, 2, 3, es decir 0, π/2, π, 3π/2.
4. k = 0: cis 0 = 1.  k = 1: cis(π/2) = i.  k = 2: cis π = −1.  k = 3: cis(3π/2) = −i.
5. Las cuatro raíces de la unidad son 1, i, −1, −i: los vértices de un cuadrado inscrito en la circunferencia de radio 1.