Matemáticas AA · Ampliación NS · Conteo, álgebra y demostración

1.10 Conteo y binomio con índices fraccionarios y negativos (solo NS)

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El conteo combinatorio responde a una pregunta engañosamente simple: ¿de cuántas maneras? ¿De cuántas maneras se pueden sentar ocho invitados alrededor de una mesa redonda? ¿De cuántas formas distintas se reparte una mano de cinco cartas? El subtema TANS 1.10 reúne las herramientas que contestan esas preguntas —permutaciones, combinaciones, permutaciones circulares— y, a partir de ellas, da un salto que sorprende a casi todo el alumnado: el teorema del binomio, que en Nivel Medio solo servía para desarrollar potencias enteras como (a + b)5, se extiende a exponentes fraccionarios y negativos.

Esa extensión no es una curiosidad: es la puerta de entrada a las series de potencias. Cuando escribes √2 como (1 + 1)1/2 y lo desarrollas, obtienes una suma infinita que aproxima el valor irracional con tantas cifras como sumandos quieras incluir. Es el mismo mecanismo que tu calculadora usa por dentro, y conecta de forma directa con los desarrollos en serie de Maclaurin que verás en TANS 5.19.

Reglas de conteo

El principio multiplicativo

Toda la combinatoria descansa sobre una idea única, el principio multiplicativo: si una tarea se realiza en etapas sucesivas e independientes, y la primera etapa admite n1 resultados, la segunda n2, y así hasta la última, entonces el número total de resultados de la tarea completa es el producto n1 · n2 · ... · nk. Por ejemplo, formar una contraseña de tres caracteres con las 26 letras del alfabeto, pudiendo repetir, da 26 · 26 · 26 = 17 576 posibilidades.

Cuando los objetos no se pueden repetir, cada etapa dispone de una opción menos que la anterior, y el producto se convierte en un factorial. Ordenar las cinco letras de la palabra LIBRO sin repetir ninguna da 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5! = 120 ordenaciones distintas.

Permutaciones: cuando el orden importa

Una permutación es una disposición ordenada de objetos. Si de un conjunto de n objetos distintos eliges r y los colocas en fila, el número de permutaciones es:

Permutaciones de r objetos entre n

nPr = n! / (n − r)!

El numerador n! ordena los n objetos por completo; el denominador (n − r)! descarta el orden de los n − r objetos que no se eligen. El orden de los seleccionados sí cuenta: ABC y CBA son permutaciones distintas. Casos límite: nPn = n! y nP0 = 1.

Ejemplo 1 — un podio. En una carrera compiten 9 atletas. ¿De cuántas formas pueden repartirse las medallas de oro, plata y bronce?

  1. El orden importa: ser primero no es lo mismo que ser tercero. Es una permutación de r = 3 objetos entre n = 9.
  2. Aplicamos la fórmula: 9P3 = 9! / (9 − 3)! = 9! / 6!.
  3. Simplificamos sin calcular los factoriales completos: 9! / 6! = 9 · 8 · 7 = 504.
  4. Hay 504 podios posibles. Comprobación por el principio multiplicativo: 9 candidatos al oro, 8 a la plata, 7 al bronce → 9 · 8 · 7 = 504. ✓

Combinaciones: cuando el orden no importa

Una combinación es una selección en la que el orden es irrelevante. Elegir un comité de 3 personas entre 9 no distingue quién se nombró primero: solo importa quiénes forman el comité. El número de combinaciones se obtiene dividiendo las permutaciones entre r!, que es exactamente cuántas veces se ha contado cada selección al ordenarla:

Combinaciones de r objetos entre n

nCr = n! / (r! · (n − r)!) = nPr / r!

También se escribe como el coeficiente binomial C(n, r). Propiedad de simetría: nCr = nCn−r, porque elegir r objetos equivale a descartar los n − r restantes.

Ejemplo 2 — un comité. De los 9 atletas del ejemplo anterior se quiere formar un comité de 3 que represente al club, sin jerarquía. ¿Cuántos comités distintos hay?

  1. El orden no importa: es una combinación de r = 3 entre n = 9.
  2. 9C3 = 9! / (3! · 6!) = (9 · 8 · 7) / (3 · 2 · 1) = 504 / 6 = 84.
  3. Hay 84 comités. Observa la relación con el ejemplo 1: cada comité de 3 personas se puede ordenar de 3! = 6 maneras, y 504 ÷ 6 = 84. La combinación cuenta cada selección una sola vez.
AspectoPermutación (nPr)Combinación (nCr)
¿Importa el orden?SíNo
Fórmulan! / (n − r)!n! / (r!·(n − r)!)
Ejemplo típicoPodio, código, rankingComité, mano de cartas, subconjunto
RelaciónnPr = r! · nCr: siempre hay más permutaciones que combinaciones (salvo r = 0, 1).

Permutaciones circulares

Cuando los objetos se disponen alrededor de un círculo —comensales en una mesa redonda, cuentas de un collar abierto— ya no hay una "primera" posición absoluta: solo importan las posiciones relativas. Cualquiera de las n rotaciones de una misma disposición circular representa la misma colocación. Por eso el número de permutaciones circulares de n objetos distintos es n! dividido entre n:

Permutaciones circulares

Disposiciones circulares de n objetos distintos = n! / n = (n − 1)!

La forma intuitiva de verlo: fija un objeto en una posición de referencia para "romper" la simetría rotacional; los n − 1 restantes se ordenan libremente en (n − 1)! formas.

💡 Matiz: si además de rotar se puede dar la vuelta a la mesa (reflexión), como ocurre con un collar que se puede voltear, cada disposición se cuenta dos veces más, y el total pasa a ser (n − 1)! / 2. El IB suele indicar de forma explícita si las reflexiones se consideran iguales; lee el enunciado con cuidado.

Ejemplo 3 — la mesa redonda. Ocho invitados se sientan alrededor de una mesa circular. (a) ¿De cuántas formas pueden sentarse? (b) ¿Y si dos de ellos, una pareja, deben ir siempre juntos?

  1. (a) Permutaciones circulares de n = 8: (8 − 1)! = 7! = 5040 disposiciones.
  2. (b) Tratamos a la pareja como un único "bloque". Quedan 7 elementos para repartir en círculo: (7 − 1)! = 6! = 720 disposiciones.
  3. Dentro del bloque, la pareja se ordena entre sí de 2! = 2 maneras (cada miembro a la izquierda del otro).
  4. Por el principio multiplicativo: 720 · 2 = 1440 disposiciones con la pareja junta.

Error frecuente

Aplicar n! en vez de (n − 1)! a un problema circular. Para 8 comensales en mesa redonda, 8! = 40 320 cuenta ocho veces cada disposición: las ocho rotaciones de la misma colocación. La respuesta correcta es 7! = 5040. Pregúntate siempre: ¿existe una posición de referencia fija (una silla numerada, un sitio "presidencial")? Si la hay, el problema es lineal y se usa n!; si no la hay, es circular y se usa (n − 1)!.

El teorema del binomio con índices fraccionarios y negativos

De potencia entera a serie infinita

En Nivel Medio el teorema del binomio desarrolla (a + b)n para n entero positivo como una suma finita de n + 1 términos. La razón de que termine es que el coeficiente C(n, r) escrito como n(n−1)(n−2)···(n−r+1)/r! contiene, en cuanto r supera a n, el factor (n − n) = 0, y todo se anula.

¿Qué ocurre si n es, por ejemplo, 1/2 o −3? El numerador n(n−1)(n−2)··· nunca alcanza el cero: jamás aparece un factor nulo. La suma no termina nunca: se convierte en una serie infinita. Esa es la idea central de la generalización del binomio.

Teorema del binomio generalizado

Para cualquier n ∈ ℚ y |x| < 1:

(1 + x)n = 1 + n x + [n(n−1)/2!] x2 + [n(n−1)(n−2)/3!] x3 + ...

El coeficiente general de xr es n(n−1)···(n−r+1) / r!. La condición |x| < 1 es imprescindible: fuera de ese intervalo la serie diverge y la igualdad deja de tener sentido.

Para desarrollar (a + b)n con a ≠ 1 se reescribe sacando factor común an:

(a + b)n = [a(1 + b/a)]n = an(1 + b/a)n,

y se aplica la serie a (1 + b/a)n. El desarrollo es válido solo cuando |b/a| < 1, es decir, cuando el segundo término del binomio es, en valor absoluto, menor que el primero.

Ejemplo 4 — un índice negativo. Desarrolla (1 + x)−2 hasta el término en x3 e indica para qué valores de x es válido.

  1. Aquí n = −2. Término en x0: 1.
  2. Término en x1: n x = (−2)x = −2x.
  3. Término en x2: [n(n−1)/2!] x2 = [(−2)(−3)/2] x2 = (6/2) x2 = 3x2.
  4. Término en x3: [n(n−1)(n−2)/3!] x3 = [(−2)(−3)(−4)/6] x3 = (−24/6) x3 = −4x3.
  5. Resultado: (1 + x)−2 ≈ 1 − 2x + 3x2 − 4x3, válido para |x| < 1.
  6. Comprobación: como (1 + x)−2 es la derivada de −(1 + x)−1, y la serie geométrica da (1 + x)−1 = 1 − x + x2 − x3 + ..., derivar término a término reproduce 1 − 2x + 3x2 − 4x3. ✓

Aproximar √2 con el binomio

El uso más vistoso de la serie binomial es aproximar raíces. Una raíz cuadrada es una potencia de índice 1/2: √(1 + x) = (1 + x)1/2. Si elegimos un x pequeño, unos pocos términos bastan para una buena aproximación.

Ejemplo 5 — aproximación de √2. Estima √2 con la serie binomial.

  1. Escribir √2 como (1 + 1)1/2 usaría x = 1, justo en el borde |x| < 1: la serie converge muy despacio. Conviene elegir x pequeño. El truco es escribir 2 = (49/25)·(50/49), de donde √2 = (7/5)·√(50/49) = (7/5)·√(1 + 1/49).
  2. Ahora x = 1/49 ≈ 0,020408, claramente dentro de |x| < 1. Desarrollamos (1 + x)1/2 con n = 1/2:
  3. Término en x0: 1. Término en x1: (1/2)x.
  4. Término en x2: [(1/2)(−1/2)/2] x2 = (−1/8) x2.
  5. Sustituimos x = 1/49: (1 + 1/49)1/2 ≈ 1 + (1/2)(0,020408) − (1/8)(0,020408)2 = 1 + 0,010204 − 0,000052 = 1,010152.
  6. Multiplicamos por 7/5 = 1,4: √2 ≈ 1,4 · 1,010152 = 1,414213.
  7. El valor real es √2 = 1,414214 (a seis decimales): con solo tres términos el error es de aproximadamente una millonésima.
💡 La idea de fondo: truncar la serie tras unos pocos términos sustituye la raíz por un polinomio, mucho más fácil de evaluar. Cuanto más pequeño es x, más rápido decrecen los términos y mejor es la aproximación. Es exactamente el principio que enlaza con los desarrollos en serie de Maclaurin de TANS 5.19.
Para el examen

Tres reflejos rentables en preguntas de binomio generalizado: (i) siempre escribe la condición de validez |x| < 1 (o |b/a| < 1 tras reescribir): el esquema de calificación reserva una marca para ella; (ii) si el binomio es (a + b)n con a ≠ 1, saca factor an ANTES de aplicar la serie —olvidarlo es el error más penalizado—; (iii) calcula los coeficientes como fracciones exactas y simplifica antes de pasar a decimales, así evitas arrastrar errores de redondeo.