Matemáticas AA · Ampliación NS · Conteo, álgebra y demostración

1.11 Fracciones parciales (solo NS)

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Sumar dos fracciones es una operación que dominas desde primaria: buscas denominador común y combinas. Las fracciones parciales hacen el camino contrario. Parten de una fracción racional ya combinada —algo como (2x + 1)/(x2 + x − 2)— y la desmontan en la suma de fracciones simples de la que procedía. Es una operación de "ingeniería inversa" sobre el álgebra de fracciones.

¿Por qué molestarse en deshacer una suma? Porque muchas operaciones que son difíciles —o imposibles— sobre la fracción combinada se vuelven inmediatas sobre cada trozo simple. El caso estrella aparece en cálculo integral: una integral como ∫ (2x + 1)/(x2 + x − 2) dx no tiene primitiva evidente, pero, descompuesta, se convierte en una suma de logaritmos. Por eso TANS 1.11 es prerrequisito directo del subtema TANS 5.15 sobre técnicas de integración.

El método de descomposición

Qué se puede descomponer y qué no

El nivel AA NS acota el alcance de este subtema con dos condiciones que debes verificar antes de empezar:

Condiciones del subtema TANS 1.11

  • El denominador tiene como mucho dos factores lineales distintos. Es decir, Q(x) = (a1x + b1)(a2x + b2) con los dos factores diferentes.
  • La fracción es propia: el grado del numerador es estrictamente menor que el del denominador.

Bajo esas condiciones, la descomposición tiene la forma:

P(x) / [(a1x + b1)(a2x + b2)] = A / (a1x + b1) + B / (a2x + b2),

donde A y B son constantes que hay que determinar. Cada factor lineal del denominador genera exactamente una fracción de numerador constante.

💡 Por qué numerador constante: si la fracción es propia, cada trozo también debe serlo. Un denominador lineal (grado 1) solo admite por encima un numerador de grado 0, es decir, una constante. Esa es la lógica detrás de la forma A/(...) + B/(...).

El procedimiento, paso a paso

Para descomponer una fracción racional propia con denominador de dos factores lineales se siguen siempre los mismos cuatro pasos:

PasoAcción
1. FactorizarEscribir el denominador como producto de sus dos factores lineales.
2. PlantearIgualar la fracción a A/(factor 1) + B/(factor 2) con A, B incógnitas.
3. Eliminar denominadoresMultiplicar ambos lados por el denominador completo; queda una identidad entre numeradores.
4. Resolver A y BSustituir raíces estratégicas (o igualar coeficientes) para despejar las constantes.

Ejemplo desarrollado al detalle

Ejemplo 1 — el caso del syllabus. Descompón (2x + 1) / (x2 + x − 2) en fracciones parciales.

  1. Comprobar que es propia. Grado del numerador: 1. Grado del denominador: 2. Como 1 < 2, la fracción es propia: podemos descomponer directamente.
  2. Factorizar el denominador. Buscamos dos números que sumen +1 y multipliquen −2: son +2 y −1. Así, x2 + x − 2 = (x + 2)(x − 1).
  3. Plantear la descomposición. (2x + 1)/[(x + 2)(x − 1)] = A/(x + 2) + B/(x − 1).
  4. Eliminar denominadores. Multiplicamos los dos lados por (x + 2)(x − 1):
    2x + 1 = A(x − 1) + B(x + 2).   (identidad válida para todo x)
  5. Resolver B sustituyendo x = 1 (anula el factor x − 1, eliminando A):
    2(1) + 1 = A(0) + B(1 + 2) → 3 = 3B → B = 1.
  6. Resolver A sustituyendo x = −2 (anula el factor x + 2, eliminando B):
    2(−2) + 1 = A(−2 − 1) + B(0) → −3 = −3A → A = 1.
  7. Escribir el resultado: (2x + 1)/(x2 + x − 2) = 1/(x + 2) + 1/(x − 1).
  8. Verificar. Recombinamos: 1/(x + 2) + 1/(x − 1) = [(x − 1) + (x + 2)] / [(x + 2)(x − 1)] = (2x + 1)/(x2 + x − 2). ✓
💡 El truco de la sustitución (método de cobertura): sustituir x por la raíz de cada factor anula a la otra constante de golpe, así que cada incógnita se despeja sola en una sola línea. Es mucho más rápido que igualar coeficientes y resolver un sistema. Úsalo siempre que el denominador tenga factores lineales distintos.

Variantes, comprobación y aplicación

El método alternativo: igualar coeficientes

La sustitución de raíces es la vía rápida, pero conviene conocer también el método de igualar coeficientes, porque es el que generaliza a casos más complejos. Retomando la identidad del ejemplo, 2x + 1 = A(x − 1) + B(x + 2), se desarrolla el lado derecho:

A(x − 1) + B(x + 2) = (A + B)x + (−A + 2B).

Para que dos polinomios sean idénticos, los coeficientes de cada potencia deben coincidir:

  • Coeficiente de x:   A + B = 2.
  • Término independiente:   −A + 2B = 1.

Sumando las dos ecuaciones: 3B = 3 → B = 1, y entonces A = 2 − 1 = 1. Se obtienen las mismas constantes, A = 1 y B = 1, como debía ser.

Un segundo ejemplo: numerador y coeficientes distintos

Ejemplo 2 — denominador sin término lineal. Descompón (5x − 7) / (x2 − 9).

  1. Es propia: grado 1 sobre grado 2.
  2. Factorizar: x2 − 9 = (x − 3)(x + 3), diferencia de cuadrados.
  3. Plantear: (5x − 7)/[(x − 3)(x + 3)] = A/(x − 3) + B/(x + 3).
  4. Eliminar denominadores: 5x − 7 = A(x + 3) + B(x − 3).
  5. x = 3:   5(3) − 7 = A(6) → 8 = 6A → A = 8/6 = 4/3.
  6. x = −3:   5(−3) − 7 = B(−6) → −22 = −6B → B = 22/6 = 11/3.
  7. Resultado: (5x − 7)/(x2 − 9) = 4/[3(x − 3)] + 11/[3(x + 3)].
  8. Comprobación rápida en x = 0: lado izquierdo = −7/−9 = 7/9. Lado derecho = 4/(3·(−3)) + 11/(3·3) = −4/9 + 11/9 = 7/9. ✓

Un tercer ejemplo: coeficiente principal distinto de 1

Ejemplo 3 — factores con coeficiente principal ≠ 1. Descompón (7x + 4) / (2x2 + x − 1).

  1. Es propia: grado 1 sobre grado 2.
  2. Factorizar 2x2 + x − 1. Las raíces son x = 1/2 y x = −1, luego 2x2 + x − 1 = (2x − 1)(x + 1). Comprobación del producto: (2x − 1)(x + 1) = 2x2 + 2x − x − 1 = 2x2 + x − 1. ✓
  3. Plantear: (7x + 4)/[(2x − 1)(x + 1)] = A/(2x − 1) + B/(x + 1).
  4. Eliminar denominadores: 7x + 4 = A(x + 1) + B(2x − 1).
  5. x = 1/2 (anula 2x − 1):   7(1/2) + 4 = A(1/2 + 1) → 7,5 = A(3/2) → A = 7,5 ÷ 1,5 = 5.
  6. x = −1 (anula x + 1):   7(−1) + 4 = B(2(−1) − 1) → −3 = B(−3) → B = 1.
  7. Resultado: (7x + 4)/(2x2 + x − 1) = 5/(2x − 1) + 1/(x + 1).
  8. Comprobación en x = 0: lado izquierdo = 4/−1 = −4. Lado derecho = 5/(−1) + 1/1 = −5 + 1 = −4. ✓

Error frecuente

Intentar descomponer una fracción impropia directamente, como (x2 + 3x)/(x2 − 1). Aquí numerador y denominador tienen el mismo grado (2): la forma A/(...) + B/(...) no puede reproducir el comportamiento de la fracción cuando x → ∞. Antes de descomponer hay que hacer la división de polinomios para extraer la parte entera: (x2 + 3x)/(x2 − 1) = 1 + (3x + 1)/(x2 − 1), y solo entonces se descompone el resto propio (3x + 1)/(x2 − 1). Comprueba SIEMPRE los grados en el primer paso.

Para qué sirve: el puente a la integración

El motivo de fondo de TANS 1.11 es preparar el terreno para integrar funciones racionales (TANS 5.15). Una integral como ∫ (2x + 1)/(x2 + x − 2) dx parece intratable, pero, usando la descomposición del Ejemplo 1, se reescribe el integrando como suma de dos términos sencillos:

∫ (2x + 1)/(x2 + x − 2) dx = ∫ 1/(x + 2) dx + ∫ 1/(x − 1) dx = ln|x + 2| + ln|x − 1| + C.

Cada trozo es de la forma ∫ 1/(x + k) dx, una integral inmediata que da un logaritmo natural. Lo que era un obstáculo se convierte en dos pasos rutinarios. Esa es, en una frase, la utilidad de las fracciones parciales.

Para el examen

Cuatro hábitos que rinden marcas: (i) comprueba los grados antes de nada —si la fracción es impropia, divide primero—; (ii) factoriza el denominador con cuidado, es la fuente más común de error; (iii) usa la sustitución de raíces para despejar A y B en una línea cada una; (iv) verifica el resultado dando un valor sencillo a x (a menudo x = 0): si los dos lados no coinciden, hay un error que aún puedes corregir. Esa verificación cuesta diez segundos y salva la pregunta entera.