Hasta ahora has trabajado con rectas, que son un caso particular de un objeto mucho más general: la función. Una función es, sencillamente, una máquina de procesar: metes un número, ella aplica una regla, y devuelve otro número. Lo que la convierte en un objeto matemático respetable —y no en un capricho de notación— es una exigencia estricta: a cada entrada le corresponde una y solo una salida. Esa unicidad es lo que permite hablar de «la imagen de 3» sin ambigüedad.
El subtema NM 2.2 te pide tres cosas: entender qué es una función y para qué sirve su notación, saber determinar su dominio (qué entradas son legales) y su recorrido (qué salidas produce), y captar la idea informal de función inversa, una operación que deshace lo que la función hizo. Esos tres conceptos son el andamio sobre el que se construye todo el Tema 2.
Qué es una función y cómo se nombra
La función como máquina de una sola salida
Imagina una máquina expendedora: pulsas un botón y sale exactamente un producto. Si pulsando el mismo botón pudieran salir a veces un refresco y a veces un zumo, la máquina sería inútil. Una función matemática funciona igual: la regla f toma un valor de entrada x y le asocia un único valor de salida. Por eso y = x2 es una función (cada x da un solo cuadrado), pero la relación «y es un número cuyo cuadrado es x» no lo es: para x = 9 valdrían tanto 3 como −3.
Una función como modelo matemático aparece en todas partes. La distancia que recorre un coche en función del tiempo, el coste de fabricar un número dado de unidades, la temperatura de una taza de café según los minutos transcurridos: en cada caso una magnitud queda determinada por otra mediante una regla. Modelizar consiste precisamente en encontrar esa regla.
Notación de funciones: f(x), v(t), C(n)
Para nombrar una función se usa una letra y, entre paréntesis, la variable de entrada. La más habitual es f(x), que se lee «f de x» y significa «la salida de la función f cuando la entrada es x». La letra elegida suele recordar el contexto: v(t) sugiere una velocidad que depende del tiempo, C(n) un coste que depende del número de unidades, A(r) un área que depende de un radio.
Evaluar una función es sustituir la variable por un número concreto. Si C(n) = 4n + 30 es el coste en euros de imprimir n carteles, entonces C(10) = 4(10) + 30 = 70: imprimir diez carteles cuesta 70 €. La notación C(10) es mucho más precisa que decir «el coste cuando hago diez»: nombra a la vez la función y la entrada.
Dominio y recorrido
El dominio de una función es el conjunto de entradas para las que la regla produce un resultado real. No todo número es siempre una entrada legal: dividir por cero no da resultado, y la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real. El recorrido (o rango) es el conjunto de todas las salidas que efectivamente se obtienen al recorrer el dominio entero.
Las dos restricciones de dominio más frecuentes en NM
- Denominadores: ningún denominador puede valer cero. Hay que excluir del dominio los valores de x que lo anulan.
- Raíces de índice par: lo que hay bajo una raíz cuadrada (o cuarta, etc.) debe ser mayor o igual que cero, porque no existe la raíz par real de un número negativo.
Cuando una función no tiene denominadores ni raíces pares —por ejemplo, cualquier polinomio—, su dominio es todo el conjunto de los números reales, ℝ.
Ejemplo 1 — dominio y recorrido de una función con raíz. Considera f(x) = √(2 − x). Halla su dominio y su recorrido.
- El contenido de la raíz debe ser mayor o igual que cero: 2 − x ≥ 0.
- Despejar: 2 ≥ x, es decir x ≤ 2. El dominio es x ≤ 2.
- La raíz cuadrada nunca devuelve un número negativo, así que las salidas cumplen f(x) ≥ 0.
- El valor 0 se alcanza (con x = 2) y la salida puede ser tan grande como se quiera (tomando x muy negativo). El recorrido es f(x) ≥ 0.
Ejemplo 2 — dominio de una función racional. Halla el dominio de g(x) = (x + 1) / (x − 3).
- El único peligro es que el denominador valga cero: x − 3 = 0 cuando x = 3.
- Hay que excluir ese valor. El dominio es todos los reales excepto x = 3.
- El numerador no impone restricción: una fracción puede valer cero sin problema (ocurre en x = −1, que sí pertenece al dominio).
Error frecuente
Confundir cuándo se anula el numerador con cuándo se anula el denominador. El denominador en cero es lo que rompe la función y debe excluirse del dominio. El numerador en cero solo hace que la función valga cero, lo cual es perfectamente legal. En g(x) = (x + 1)/(x − 3) se excluye x = 3, no x = −1.
La idea de función inversa
Deshacer el efecto de una función
Si una función es una máquina que transforma entradas en salidas, su función inversa es la máquina que hace el camino contrario: toma la salida y recupera la entrada original. La inversa de f se escribe f−1 (se lee «f inversa», no «f elevado a menos uno»). Si f convierte 5 en 17, entonces f−1 convierte 17 de vuelta en 5.
Un ejemplo cotidiano: si una función pasa grados Celsius a Fahrenheit, su inversa pasa Fahrenheit a Celsius. La inversa no es una función nueva e independiente; es la misma relación leída en sentido contrario.
La inversa solo existe si la función es inyectiva
No toda función tiene inversa. Para que f−1 exista como función, f debe ser inyectiva: entradas distintas tienen que dar salidas distintas, sin repeticiones. La razón es clara: si dos entradas distintas, a y b, dieran la misma salida c, la máquina inversa recibiría c y no sabría si devolver a o b; se rompería la regla de la salida única.
El caso clásico de función no inyectiva es f(x) = x2: tanto 3 como −3 dan 9, así que no podría tener inversa en todos los reales. (En NS y en el bachillerato se resuelve restringiendo el dominio, pero esa es una idea posterior.)
| Concepto | Para f | Para f⁻¹ |
|---|---|---|
| Dominio | Entradas de f | Coincide con el recorrido de f |
| Recorrido | Salidas de f | Coincide con el dominio de f |
| Efecto sobre un par | Convierte a en b | Convierte b en a |
La tabla recoge una propiedad importante: el dominio y el recorrido se intercambian al pasar a la inversa. Lo que para f eran entradas, para f−1 son salidas, y viceversa.
Ejemplo 3 — inversa informal de una función lineal. Una función f multiplica la entrada por 3 y luego suma 2. Describe su inversa.
- El efecto de f sobre 4: 4 × 3 = 12, y 12 + 2 = 14. Es decir, f(4) = 14.
- La inversa debe deshacer esos pasos en orden contrario: primero restar 2, luego dividir por 3.
- Comprobación: aplicando la inversa a 14, primero 14 − 2 = 12, luego 12 ÷ 3 = 4. Recupera la entrada original. ✓
- Por tanto f−1(14) = 4: la inversa intercambia los papeles de entrada y salida.
La inversa como simetría respecto a la recta y = x
Hay una imagen geométrica muy potente de la inversa. Como f convierte el par (a, b) en un punto de su gráfica y f−1 tiene los papeles intercambiados, cada punto (a, b) de la gráfica de f se corresponde con el punto (b, a) de la gráfica de f−1. Y el punto (b, a) es exactamente el reflejo de (a, b) respecto a la recta y = x.
Conclusión: la gráfica de f−1 es la gráfica de f reflejada en el espejo de la recta y = x. Si dibujas una función y luego doblas el papel por la diagonal, la curva que ves al trasluz es su inversa. Esta idea reaparecerá con todo detalle en el subtema 2.5, donde aprenderás a calcular f−1(x) algebraicamente.
En las preguntas de 2.2, escribir bien el dominio y el recorrido vale marcas que muchos alumnos pierden por descuido. Recuerda: el dominio se halla buscando restricciones (denominadores ≠ 0, contenido de raíces pares ≥ 0). El recorrido suele deducirse del comportamiento de la función o de su gráfica en la calculadora. Y cuando una pregunta mencione f−1, ten presente que solo existe si f es inyectiva, y que su dominio es el recorrido de f: ese intercambio es un punto que el IB pregunta con frecuencia.