Una función puede entenderse de dos maneras complementarias. Una es algebraica: la fórmula y = f(x) que dice cómo calcular la salida. La otra es visual: el gráfico, el conjunto de todos los puntos del plano cuyas coordenadas cumplen esa ecuación. El gráfico convierte una regla abstracta en una forma que el ojo capta de golpe: dónde sube, dónde baja, dónde corta los ejes.
El subtema NM 2.3 te pide saber moverte entre las dos representaciones y, sobre todo, distinguir entre dos tareas que el IB nombra con verbos distintos: dibujar con precisión y bosquejar. Confundirlas hace perder marcas innecesarias en el examen. También verás cómo la calculadora gráfica te ayuda a representar funciones —incluidas sumas y diferencias de funciones— y cómo trasladar con fidelidad lo que ves en la pantalla al papel.
El gráfico de una función
Qué es el gráfico y cómo se lee
El gráfico de una función f es el conjunto de todos los puntos (x, y) del plano que satisfacen y = f(x). Cada punto del gráfico cuenta una pequeña historia: «cuando la entrada vale x, la salida vale y». Leer un gráfico es, por tanto, leer simultáneamente todas esas historias.
Para evaluar f(3) sobre un gráfico te sitúas en x = 3 en el eje horizontal, subes (o bajas) hasta tocar la curva y miras a qué altura estás: esa altura es f(3). El recorrido inverso —dado un valor de y, hallar las x que lo producen— consiste en cruzar el gráfico con una recta horizontal y leer las abscisas de los cortes.
La prueba de la recta vertical
No toda curva del plano representa una función. Para que lo haga, cada entrada debe tener una sola salida. Esto se traduce en un criterio visual inmediato:
Una curva es el gráfico de una función si, y solo si, ninguna recta vertical la corta en más de un punto.
Si una recta vertical cortara la curva en dos puntos, ese valor de x tendría dos salidas distintas y la regla de la función se rompería. Por eso una circunferencia completa no es el gráfico de una función, pero una parábola del tipo y = x2 sí lo es.
Dibujar con precisión frente a bosquejar
El IB usa dos verbos distintos, y cada uno exige un trabajo diferente. Dibujar con precisión (en inglés, draw) significa representar la función sobre ejes a escala, calculando puntos concretos y situándolos con exactitud; el resultado debe poder medirse. Bosquejar (en inglés, sketch) significa dibujar la forma correcta de la curva, mostrando sus rasgos importantes, sin obsesionarse con la precisión punto a punto.
| Aspecto | Dibujar con precisión | Bosquejar |
|---|---|---|
| Verbo del IB | «Dibuja» (draw) | «Bosqueja» (sketch) |
| Soporte | Ejes a escala, papel cuadriculado | Ejes a mano alzada, sin escala estricta |
| Exigencia | Puntos exactos, escala medible | Forma correcta y rasgos clave bien situados |
| Qué se valora | Precisión de cada punto | Cortes, máximos/mínimos, asíntotas, tendencia |
Ejemplo 1 — bosquejo de una recta a partir de su ecuación. Bosqueja la recta y = 2x − 4 marcando sus cortes con los ejes.
- Corte con el eje y: hacemos x = 0, entonces y = 2(0) − 4 = −4. Punto (0, −4).
- Corte con el eje x: hacemos y = 0, entonces 0 = 2x − 4, luego x = 2. Punto (2, 0).
- Se marcan ambos puntos y se traza la recta que los une, prolongada en los dos sentidos.
- Como la pendiente es 2 (positiva), la recta sube de izquierda a derecha: el bosquejo lo refleja con esa inclinación ascendente.
Bosquejar a partir de un contexto y con tecnología
Construir un bosquejo a partir de información dada
A veces el examen no da una fórmula, sino una descripción: «la curva pasa por el origen, tiene un máximo en (2, 5) y desciende hacia la derecha». La tarea es traducir esas frases a un dibujo coherente. La estrategia es marcar primero todos los datos como puntos o rasgos sobre los ejes, y luego unirlos con una curva suave que respete cada uno de ellos.
Ejemplo 2 — bosquejo a partir de características descritas. Bosqueja una función continua que corte el eje x en x = −1 y x = 3, tenga un mínimo en (1, −4) y crezca sin límite a ambos lados.
- Marca los dos cortes con el eje x: los puntos (−1, 0) y (3, 0).
- Marca el mínimo: el punto (1, −4), situado por debajo del eje horizontal.
- Observa que el mínimo está justo a media distancia entre los dos cortes: la curva es simétrica respecto a la recta vertical x = 1.
- Une los puntos con una curva en forma de U: baja desde arriba hasta el mínimo y vuelve a subir, pasando por los dos cortes. El resultado es el bosquejo de una parábola.
Modelizar desde una situación real
Un bosquejo también puede nacer de un contexto físico, sin números explícitos. Si te describen el llenado de un depósito a caudal constante, sabes que la altura del agua frente al tiempo es una recta que sube; si el grifo se cierra poco a poco, la subida se va aplanando. Saber traducir una situación a la forma de una curva es una destreza que el IB valora especialmente en los problemas de modelización.
Ejemplo 3 — bosquejo de un modelo de enfriamiento. Una taza de café a 80 °C se deja en una habitación a 20 °C. Bosqueja la temperatura del café en función del tiempo.
- En el instante inicial (t = 0) la temperatura es 80 °C: marca el punto (0, 80).
- El café se enfría, así que la curva desciende; pero se enfría más deprisa al principio, cuando la diferencia con la habitación es mayor.
- La curva nunca baja de 20 °C: la temperatura de la habitación actúa como una barrera horizontal (una asíntota) que la curva se acerca pero no cruza.
- El bosquejo es, por tanto, una curva decreciente que parte de (0, 80), cae con pendiente cada vez más suave y tiende a aplanarse hacia la altura 20.
Error frecuente
Al bosquejar una curva que tiende a una asíntota, muchos alumnos la dibujan tocando o incluso cruzando la recta límite. En el ejemplo del café, la curva debe acercarse a la altura 20 sin llegar a alcanzarla en el dibujo. Una asíntota es una línea a la que la curva se aproxima indefinidamente: represéntala como una guía que la curva persigue, nunca como un punto de contacto.
De la pantalla de la calculadora al papel
La calculadora gráfica del IB representa cualquier función al instante, pero el examen se entrega en papel: hay que saber transferir lo que ves en la pantalla a tu hoja. Ese paso no es una copia mecánica; es una traducción que conserva lo importante.
El procedimiento recomendado: primero ajusta la ventana de la calculadora para que se vean los rasgos relevantes; después dibuja en el papel los ejes etiquetados con su escala; marca los puntos clave (cortes, máximos, mínimos) con sus coordenadas; y por último une esos puntos respetando la forma que muestra la pantalla. Un bosquejo transferido sin ejes etiquetados ni rasgos marcados no recibe marcas, aunque la forma sea correcta.
La tecnología también permite representar sumas y diferencias de funciones. La función (f + g)(x) = f(x) + g(x) se obtiene sumando, para cada x, las alturas de las dos curvas; (f − g)(x) las resta. Introducir las dos funciones por separado en la calculadora y luego graficar su suma es la forma rápida de ver el resultado.
Ejemplo 4 — evaluar una suma de funciones. Sean f(x) = x2 y g(x) = 2x + 1. Halla (f + g)(3) y (f − g)(3).
- Evaluar cada función en x = 3: f(3) = 32 = 9 y g(3) = 2(3) + 1 = 7.
- (f + g)(3) = f(3) + g(3) = 9 + 7 = 16.
- (f − g)(3) = f(3) − g(3) = 9 − 7 = 2.
- Gráficamente: en x = 3, la curva suma pasa por la altura 16, que es la suma de las alturas de las dos curvas originales (9 y 7).
Cuando bosquejes a partir de la calculadora, dedica los primeros segundos a ajustar bien la ventana: si un máximo o un corte queda fuera de pantalla, lo dibujarás mal. En el papel, etiqueta siempre los ejes con su escala y marca con coordenadas los puntos que el enunciado considere clave. Y recuerda la regla de oro de los verbos: «bosqueja» pide forma y rasgos; «dibuja» pide precisión a escala. Adaptar el esfuerzo al verbo es ahorrar tiempo sin perder marcas.