2.4 Características clave del gráfico

Un gráfico contiene muchísima información, pero no toda tiene el mismo peso. Hay unos pocos rasgos —dónde corta los ejes, dónde alcanza sus cimas y sus valles, hacia dónde se dispara— que resumen el comportamiento esencial de la función. El subtema NM 2.4 te enseña a identificar esas características clave y a extraerlas con la ayuda de la calculadora gráfica.

Dominar estas características tiene una doble utilidad. Por un lado, son lo que debe aparecer en cualquier bosquejo bien hecho, como viste en 2.3. Por otro, son la respuesta directa a una gran parte de las preguntas de examen: «halla los ceros», «escribe las coordenadas del vértice», «da la ecuación de la asíntota». Esta página recorre cada rasgo, explica qué significa y muestra cómo obtenerlo con tecnología.

Cortes, picos y simetría

Intersecciones con los ejes y ceros

Los cortes con los ejes son los puntos donde la curva cruza las líneas de referencia del plano. El corte con el eje y se obtiene haciendo x = 0: como mucho hay uno, porque una función tiene una sola salida para la entrada 0. Los cortes con el eje x se obtienen haciendo y = 0, es decir, resolviendo f(x) = 0; puede haber varios, uno o ninguno.

Esos valores de x donde f(x) = 0 reciben dos nombres según el contexto. Vistos como propiedad de la función, son sus ceros; vistos como solución de la ecuación f(x) = 0, son sus raíces. Es el mismo número con dos etiquetas: un cero de la función f(x) = x² − 9 es también una raíz de la ecuación x² − 9 = 0.

Ejemplo 1 — cortes con los ejes de una parábola. Halla los cortes con los dos ejes de f(x) = x² − 2x − 8.

1. Corte con el eje y: f(0) = 0² − 2(0) − 8 = −8. Punto (0, −8).
2. Cortes con el eje x: resolver x² − 2x − 8 = 0. Factorizando: (x − 4)(x + 2) = 0.
3. Las raíces son x = 4 y x = −2. Cortes en (4, 0) y (−2, 0).
4. Comprobación: (−2)² − 2(−2) − 8 = 4 + 4 − 8 = 0. ✓

Máximos, mínimos y vértice

Los máximos y mínimos son los puntos donde la curva deja de subir para bajar, o al revés: las cimas y los valles. En una parábola hay un único punto de giro, y se le da un nombre propio, el vértice. Si la parábola abre hacia arriba, su vértice es un mínimo; si abre hacia abajo, es un máximo.

El vértice está siempre sobre el eje de simetría de la parábola, la recta vertical que la divide en dos mitades especulares. Por eso, si conoces los dos cortes con el eje x, la abscisa del vértice es justo el punto medio entre ellos.

Ejemplo 2 — vértice por simetría. Usando los cortes del ejemplo anterior, halla el vértice de f(x) = x² − 2x − 8.

1. Los cortes con el eje x están en x = −2 y x = 4.
2. La abscisa del vértice es el punto medio: x = (−2 + 4) / 2 = 1.
3. La ordenada del vértice: f(1) = 1² − 2(1) − 8 = 1 − 2 − 8 = −9.
4. El vértice es (1, −9). Como el coeficiente de x² es positivo, la parábola abre hacia arriba: el vértice es un mínimo.

Asíntotas e intersecciones con tecnología

Asíntotas verticales y horizontales

Algunas funciones, sobre todo las racionales, tienen rectas a las que el gráfico se aproxima indefinidamente sin llegar a tocarlas: son las asíntotas. Hay dos tipos en NM.

Una asíntota vertical es una recta x = a cerca de la cual la función se dispara hacia +∞ o −∞. Aparece donde el denominador de una función racional se anula sin que el numerador lo haga: ese valor de x no pertenece al dominio, y junto a él la curva «trepa» por la recta vertical. Una asíntota horizontal es una recta y = b a la que la curva se acerca cuando x se hace muy grande o muy negativo; describe el comportamiento de la función «en los extremos».

Ejemplo 3 — asíntotas de una función racional. Halla las asíntotas vertical y horizontal de f(x) = (3x) / (x − 2).

1. Asíntota vertical: el denominador se anula cuando x − 2 = 0, es decir x = 2. Asíntota vertical x = 2.
2. Asíntota horizontal: cuando x se hace enorme, el «−2» del denominador pesa cada vez menos frente a x, así que f(x) se parece a 3x/x = 3.
3. Comprobación numérica: para x = 1002, f(x) = 3006/1000 = 3,006, muy cerca de 3. Asíntota horizontal y = 3.
4. El gráfico se parte en dos ramas a ambos lados de x = 2 y, a izquierda y derecha lejanas, se aplana hacia la altura 3.

Hallar intersecciones de dos curvas con la calculadora

Encontrar dónde se cortan dos curvas —o una curva y una recta— es resolver el sistema formado por sus dos ecuaciones. En NM, la herramienta esperada para los casos no inmediatos es la calculadora gráfica: se introducen las dos funciones, se representan, y se usa la función de intersección (en la TI suele llamarse intersect; en la Casio, G-Solv → ISCT) para leer las coordenadas de cada punto de corte.

El punto de intersección es importante porque sus coordenadas satisfacen las dos ecuaciones a la vez: es el valor de x donde las dos funciones producen la misma salida. Esto resuelve, por ejemplo, problemas del tipo «¿en qué momento las dos tarifas cuestan lo mismo?».

Ejemplo 4 — intersección de una recta y una parábola. Halla los puntos de corte de y = x² − 1 e y = x + 1.

1. En un punto de corte las dos y son iguales: x² − 1 = x + 1.
2. Pasar todo a un lado: x² − x − 2 = 0. Factorizar: (x − 2)(x + 1) = 0.
3. Las soluciones son x = 2 y x = −1. (La calculadora gráfica daría exactamente estas dos abscisas con la función intersect.)
4. Las ordenadas, sustituyendo en y = x + 1: para x = 2, y = 3; para x = −1, y = 0. Los cortes son (2, 3) y (−1, 0).
5. Comprobación en la parábola: para x = 2, x² − 1 = 4 − 1 = 3 ✓; para x = −1, 1 − 1 = 0 ✓.