2.5 Funciones compuestas e inversas

Las funciones se pueden combinar como piezas de un mecanismo. En 2.3 viste que se pueden sumar y restar; ahora aprenderás dos operaciones más profundas. La composición encadena dos funciones, de modo que la salida de una se convierte en la entrada de la otra. La inversión construye, a partir de una función, la que deshace su efecto. Ambas son centrales en el resto de la asignatura.

El subtema NM 2.5 cierra los fundamentos de funciones formalizando dos ideas que ya rondaban: la composición (f∘g)(x) = f(g(x)) y el cálculo explícito de la función inversa f⁻¹(x). Verás cómo se relacionan entre sí, por qué la función identidad es el puente que las une, y reencontrarás la simetría respecto a la recta y = x que ya se anunció en 2.2.

Composición de funciones

Qué significa componer y cómo se calcula

Componer dos funciones es aplicarlas en cadena: tomas un número, lo pasas por la primera función, y el resultado lo pasas por la segunda. La composición de f con g se escribe (f∘g)(x) y se define como f(g(x)). Se lee «f compuesta con g».

El detalle crucial es el orden. En f(g(x)) la función que actúa primero es g, la de dentro del paréntesis; f actúa después, sobre lo que g ha producido. Para calcular (f∘g)(x) se sustituye toda la expresión de g(x) allí donde la fórmula de f tenga su variable.

Definición de función compuesta

Dadas dos funciones f y g, la función compuesta de f con g es

(f∘g)(x) = f(g(x))

Para que esté definida en un valor x, hacen falta dos cosas: que x esté en el dominio de g, y que la salida g(x) esté en el dominio de f. La función de dentro del paréntesis actúa primero; la de fuera, después.

Ejemplo 1 — calcular una composición. Sean f(x) = x² + 1 y g(x) = 3x − 2. Halla (f∘g)(x) y evalúala en x = 4.

(f∘g)(x) = f(g(x)) = f(3x − 2): se sustituye 3x − 2 donde f tiene su variable.
f(3x − 2) = (3x − 2)² + 1.
Desarrollar: (3x − 2)² = 9x² − 12x + 4, luego (f∘g)(x) = 9x² − 12x + 5.
En x = 4: g(4) = 3(4) − 2 = 10, y f(10) = 10² + 1 = 101. Comprobación con la fórmula: 9(16) − 12(4) + 5 = 144 − 48 + 5 = 101. ✓

El orden importa: la composición no es conmutativa

A diferencia de la suma o el producto de números, la composición no es conmutativa: en general (f∘g)(x) ≠ (g∘f)(x). Cambiar el orden de las dos funciones cambia normalmente el resultado, y un error de orden es uno de los fallos más penalizados en este subtema.

Ejemplo 2 — comprobar que el orden cambia el resultado. Con las mismas f(x) = x² + 1 y g(x) = 3x − 2, halla (g∘f)(x) y compárala con (f∘g)(x).

(g∘f)(x) = g(f(x)) = g(x² + 1): se sustituye x² + 1 en la fórmula de g.
g(x² + 1) = 3(x² + 1) − 2 = 3x² + 3 − 2 = 3x² + 1.
Comparar: (f∘g)(x) = 9x² − 12x + 5 frente a (g∘f)(x) = 3x² + 1. Son funciones distintas.
Verificación en x = 4: (g∘f)(4) = 3(16) + 1 = 49, mientras que (f∘g)(4) = 101. Confirma que el orden importa.

Error frecuente

Leer (f∘g)(x) de izquierda a derecha y aplicar f primero. Es al revés: en f(g(x)), la función g —la de dentro— actúa primero. Una regla mnemotécnica: «de dentro hacia fuera». Otro fallo habitual es multiplicar las funciones en lugar de sustituir una en la otra; componer no es multiplicar.

La función identidad

Entre todas las funciones hay una que no hace nada: la función identidad, I(x) = x, que devuelve cada entrada tal cual. Es el elemento neutro de la composición: componer cualquier función con la identidad la deja inalterada. Su gráfica es la recta y = x, la misma diagonal que aparecerá como eje de simetría de las inversas. La identidad es importante porque es justo lo que se obtiene al componer una función con su inversa.

Funciones inversas

Hallar la inversa f⁻¹(x) algebraicamente

En 2.2 viste la inversa como idea: la función que deshace el efecto de f. Ahora la calcularás. El método tiene tres pasos limpios: escribir y = f(x); intercambiar x e y (porque la inversa cambia los papeles de entrada y salida); y despejar y, que será la fórmula de f⁻¹(x).

Ejemplo 3 — hallar la función inversa. Halla la inversa de f(x) = (2x + 6) / 5.

Escribir y = (2x + 6) / 5.
Intercambiar x e y: x = (2y + 6) / 5.
Despejar y: multiplicar por 5, 5x = 2y + 6; restar 6, 5x − 6 = 2y; dividir por 2, y = (5x − 6) / 2.
Por tanto f⁻¹(x) = (5x − 6) / 2.
Comprobación: f(2) = (4 + 6)/5 = 2, y f⁻¹(2) = (10 − 6)/2 = 2. Como f envía 2 a 2, su inversa devuelve 2 a 2. Probemos otro: f(7) = (14 + 6)/5 = 4, y f⁻¹(4) = (20 − 6)/2 = 7. ✓

La relación f∘f⁻¹ = f⁻¹∘f = identidad

Componer una función con su inversa, en cualquier orden, devuelve la función identidad. Esta es la definición algebraica precisa de qué significa «deshacer».

Función inversa y composición

Si f⁻¹ es la inversa de f, entonces para todo x de los dominios correspondientes

(f∘f⁻¹)(x) = (f⁻¹∘f)(x) = x

Es decir, aplicar f y luego f⁻¹ (o al revés) deja el número exactamente como estaba. Esta igualdad es la mejor herramienta para comprobar que has calculado bien una inversa.

Ejemplo 4 — verificar una inversa por composición. Comprueba que f⁻¹(x) = (5x − 6)/2 es realmente la inversa de f(x) = (2x + 6)/5 del ejemplo anterior.

Calcular (f∘f⁻¹)(x) = f(f⁻¹(x)) = f((5x − 6)/2).
Sustituir en f: f((5x − 6)/2) = (2·(5x − 6)/2 + 6) / 5 = ((5x − 6) + 6) / 5 = 5x / 5 = x. ✓
Calcular (f⁻¹∘f)(x) = f⁻¹((2x + 6)/5) = (5·(2x + 6)/5 − 6) / 2 = ((2x + 6) − 6) / 2 = 2x / 2 = x. ✓
Las dos composiciones dan la identidad x: la inversa es correcta.

La inversa solo existe si f es inyectiva, y es simétrica respecto a y = x

El método de los tres pasos solo produce una función inversa cuando f es inyectiva: entradas distintas con salidas distintas, sin repeticiones. Si f no lo es —como f(x) = x² en todos los reales—, al intercambiar y despejar aparece una ambigüedad (un ±) que impide tener una salida única, y la inversa no existe como función.

Pregunta	Composición	Inversa
¿Qué hace?	Encadena dos funciones	Deshace una función
Notación	(f∘g)(x) = f(g(x))	f⁻¹(x)
¿Conmutativa / siempre existe?	No conmutativa	Solo si f es inyectiva
Relación entre ambas	(f∘f⁻¹)(x) = (f⁻¹∘f)(x) = x

Y aquí se cierra el círculo abierto en 2.2. Como la inversa intercambia entrada y salida, cada punto (a, b) del gráfico de f se corresponde con (b, a) del de f⁻¹. Esos dos puntos son reflejos uno del otro respecto a la diagonal: la gráfica de f⁻¹ es la de f reflejada en la recta y = x. La recta y = x no es otra que la gráfica de la función identidad, lo que conecta las dos mitades de esta página: componer f con su inversa da la identidad, y reflejar f en la gráfica de la identidad da la inversa.

💡 Una comprobación visual gratuita: si dibujas f y f⁻¹ en los mismos ejes, deben quedar como imágenes especulares respecto a la diagonal y = x. Si no se ven simétricas, hay un error en el cálculo de la inversa. Además, los puntos donde f corta esa diagonal son fijos: f y f⁻¹ coinciden en ellos.

Para el examen

En las preguntas de 2.5, mantén separadas las dos operaciones. Para componer: «de dentro hacia fuera», y nunca confundir f(g(x)) con un producto. Para invertir: y = f(x), intercambiar x e y, despejar; y verifica con (f∘f⁻¹)(x) = x, que es una comprobación que el examinador valora. Recuerda que la inversa solo existe si f es inyectiva, y que su gráfica es la de f reflejada en y = x: ese hecho geométrico aparece tanto en preguntas de cálculo como de bosquejo.