2.6 La función cuadrática

Una pelota lanzada al aire, el arco de un puente colgante, la trayectoria de un chorro de agua: todos dibujan la misma curva. Esa curva es la parábola, y la regla que la genera es la función cuadrática. Después de las funciones lineales, la cuadrática es la familia más importante del Tema 2: aparece en cinemática, en optimización de áreas, en modelos de ingresos y costes, y es la primera función no lineal que el IB te pide manejar con soltura completa.

El subtema NM 2.6 te pide algo muy concreto: reconocer una función cuadrática en cualquiera de sus tres formas equivalentes — general, factorizada y del vértice —, saber qué información lee cada una de un vistazo y, sobre todo, saber pasar de una a otra. No son tres funciones distintas: son tres maneras de escribir la misma parábola, cada una optimizada para revelar un dato diferente.

La parábola y sus tres formas

La forma general: f(x) = ax² + bx + c

La forma general (o desarrollada) de una función cuadrática es f(x) = ax² + bx + c, con la condición a ≠ 0 (si a fuese 0 la función sería lineal, no cuadrática). Su gráfico es siempre una parábola, y de esta forma se leen de inmediato dos cosas:

• El signo de a decide la orientación. Si a > 0 la parábola se abre hacia arriba (tiene un mínimo); si a < 0 se abre hacia abajo (tiene un máximo). Cuanto mayor es |a|, más estrecha es la curva.
• El término independiente c es la ordenada en el origen: la parábola corta al eje y en el punto (0, c), porque f(0) = a·0 + b·0 + c = c.

El eje de simetría es la recta vertical que parte la parábola en dos mitades especulares. Su ecuación se obtiene de los coeficientes a y b:

Ejemplo 1 — lectura de la forma general. Estudiar la parábola f(x) = 2x² − 12x + 16: orientación, corte con el eje y, eje de simetría y vértice.

1. Coeficientes: a = 2, b = −12, c = 16. Como a = 2 > 0, la parábola se abre hacia arriba (tiene un mínimo).
2. Corte con el eje y: (0, c) = (0, 16).
3. Eje de simetría: x = −b/(2a) = −(−12)/(2·2) = 12/4 = 3.
4. Ordenada del vértice: f(3) = 2·3² − 12·3 + 16 = 2·9 − 36 + 16 = 18 − 36 + 16 = −2.
5. Vértice: (3, −2). Es un mínimo, porque a > 0.

La forma factorizada: f(x) = a(x − p)(x − q)

La forma factorizada se escribe f(x) = a(x − p)(x − q). Su gran virtud es que hace visibles las intersecciones con el eje x: como un producto es cero cuando lo es alguno de sus factores, f(x) = 0 exactamente en x = p y x = q. La parábola corta al eje x en los puntos (p, 0) y (q, 0).

Esto da una propiedad muy útil. Como la parábola es simétrica, el eje de simetría pasa exactamente a medio camino entre las dos raíces. Su ecuación es, por tanto, x = (p + q)/2: el promedio de las dos intersecciones con el eje x. De ahí se obtiene de nuevo el vértice sin más que evaluar la función en ese punto medio.

Ejemplo 2 — lectura de la forma factorizada. Estudiar f(x) = −(x + 1)(x − 5): orientación, raíces, eje de simetría y vértice.

1. Reescribimos los factores en la forma (x − p): x + 1 = x − (−1), así que p = −1 y q = 5. El coeficiente principal es a = −1.
2. Como a = −1 < 0, la parábola se abre hacia abajo (tiene un máximo).
3. Intersecciones con el eje x: (−1, 0) y (5, 0).
4. Eje de simetría: x = (−1 + 5)/2 = 4/2 = 2.
5. Vértice: f(2) = −(2 + 1)(2 − 5) = −(3)(−3) = −(−9) = 9. El vértice es (2, 9), y es un máximo.

La forma del vértice: f(x) = a(x − h)² + k

La forma del vértice se escribe f(x) = a(x − h)² + k. Es la más directa de todas para dibujar la curva: el vértice es el punto (h, k) y el eje de simetría es la recta x = h, sin ningún cálculo. La razón es que el término (x − h)² nunca es negativo: vale 0 en x = h y crece a ambos lados. En x = h la función toma su valor extremo, que es exactamente k.

Esta forma deja ver la parábola como una transformación de la cuadrática básica y = x²: una traslación de h unidades en horizontal y k en vertical, más un estiramiento o reflexión según a. Esa conexión es la que se desarrolla a fondo en el subtema 2.11, sobre transformaciones de gráficos.

Pasar de una forma a otra

El IB no te deja elegir la forma: te da una y te pide datos que se leen mejor en otra. Por eso hay que dominar las conversiones en ambos sentidos. Hay tres traducciones útiles, y conviene tenerlas claras.

De factorizada o del vértice a general: desarrollar

Pasar a la forma general es siempre lo mismo: multiplicar los paréntesis y agrupar términos semejantes. No hay trucos, solo álgebra cuidadosa.

Ejemplo 3 — del vértice a general. Desarrollar f(x) = 3(x − 2)² − 5 a la forma ax² + bx + c.

1. Desarrollar el cuadrado: (x − 2)² = x² − 4x + 4.
2. Multiplicar por 3: 3(x² − 4x + 4) = 3x² − 12x + 12.
3. Restar 5: 3x² − 12x + 12 − 5 = 3x² − 12x + 7.
4. Comprobación: la ordenada en el origen debe ser c = 7. En efecto, f(0) = 3(0 − 2)² − 5 = 3·4 − 5 = 12 − 5 = 7. ✓

De general a del vértice: completar el cuadrado

El camino de la forma general a la del vértice se llama completar el cuadrado. La idea es reconstruir un cuadrado perfecto a partir de los términos en x² y x. Es una técnica clave que reaparecerá en el subtema 2.7 para resolver ecuaciones.

Ejemplo 4 — de general a del vértice completando el cuadrado. Escribir f(x) = x² + 6x + 11 en la forma a(x − h)² + k.

1. Aquí a = 1, así que no hay que sacar factor común. Tomamos el coeficiente de x, que es 6, lo dividimos entre 2 y lo elevamos al cuadrado: (6/2)² = 3² = 9.
2. Sumamos y restamos ese 9 para no alterar la función: f(x) = x² + 6x + 9 − 9 + 11.
3. Los tres primeros términos forman el cuadrado perfecto (x + 3)²: f(x) = (x + 3)² − 9 + 11.
4. Agrupamos los términos sueltos: −9 + 11 = 2. Por tanto f(x) = (x + 3)² + 2.
5. Lectura del vértice: como x + 3 = x − (−3), el vértice es (−3, 2). Verificamos con la fórmula: h = −b/(2a) = −6/2 = −3 y f(−3) = 9 − 18 + 11 = 2. ✓

Cuando a ≠ 1 hay un paso extra: primero se saca a como factor común de los términos en x² y x, se completa el cuadrado dentro del paréntesis y luego se reparte. La estructura es la misma, solo con más álgebra.

La tabla resume qué dato te regala cada forma sin necesidad de calcular: