2.7 Ecuaciones e inecuaciones cuadráticas y discriminante

Resolver una ecuación cuadrática es contestar a la pregunta: ¿para qué valores de x la parábola y = ax² + bx + c vale cero, es decir, corta al eje x? El subtema NM 2.7 reúne las tres técnicas que el IB espera que domines — factorización, completar el cuadrado y la fórmula cuadrática — y añade una herramienta de diagnóstico que, sin resolver nada, te dice de antemano cuántas soluciones reales tendrás: el discriminante.

El discriminante es una de las preguntas favoritas del examen, sobre todo en su versión con parámetro: «halla los valores de k para que la ecuación tenga dos soluciones». Por eso este subtema cierra con un ejemplo de ese tipo, resuelto paso a paso. Antes hay que tener firmes los métodos de resolución y la lectura del signo de Δ.

Resolver ecuaciones cuadráticas

Las raíces y la conexión con la gráfica

Una ecuación cuadrática es cualquier igualdad reducible a la forma ax² + bx + c = 0 con a ≠ 0. Sus soluciones reciben dos nombres equivalentes: raíces o ceros de la ecuación. Geométricamente son las abscisas de los puntos donde la parábola corta al eje x. Una cuadrática puede tener dos raíces reales, una sola (doble) o ninguna real, y eso es justo lo que mide el discriminante.

Método 1: descomposición en factores

Cuando la cuadrática se factoriza con números enteros sencillos, la factorización es la vía más rápida. Se reescribe ax² + bx + c como un producto de dos factores lineales y se aplica que un producto es cero solo si lo es alguno de sus factores.

Ejemplo 1 — resolución por factorización. Resolver x² − 7x + 12 = 0.

1. Buscamos dos números que multiplicados den +12 (el término independiente) y sumados den −7 (el coeficiente de x). Son −3 y −4: (−3)·(−4) = 12 y (−3) + (−4) = −7.
2. Factorizamos: x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4) = 0.
3. El producto es cero cuando x − 3 = 0 o x − 4 = 0, es decir, x = 3 o x = 4.
4. Las raíces son x = 3 y x = 4. Comprobación con x = 3: 9 − 21 + 12 = 0. ✓

Método 2: completar el cuadrado

Cuando la cuadrática no factoriza fácilmente, completar el cuadrado la reescribe en la forma del vértice a(x − h)² + k = 0, desde la que se despeja x aislando el cuadrado y tomando raíz. Es la misma técnica del subtema 2.6, ahora puesta a resolver.

Ejemplo 2 — resolución completando el cuadrado. Resolver x² − 6x + 2 = 0.

1. Tomamos el coeficiente de x, que es −6, lo dividimos entre 2 y elevamos al cuadrado: (−6/2)² = (−3)² = 9.
2. Sumamos y restamos 9: x² − 6x + 9 − 9 + 2 = 0, o sea (x − 3)² − 7 = 0.
3. Aislamos el cuadrado: (x − 3)² = 7.
4. Tomamos raíz cuadrada en ambos lados, sin olvidar el doble signo: x − 3 = ±√7.
5. Despejamos: x = 3 ± √7. Las raíces son x = 3 + √7 ≈ 5,646 y x = 3 − √7 ≈ 0,354.

Método 3: la fórmula cuadrática

La fórmula cuadrática resuelve cualquier ecuación de grado 2, factorice o no. Es, de hecho, el resultado de completar el cuadrado en la forma general una sola vez y para siempre.

Ejemplo 3 — resolución con la fórmula cuadrática. Resolver 2x² + 5x − 3 = 0.

1. Identificamos: a = 2, b = 5, c = −3.
2. Discriminante: Δ = b² − 4ac = 5² − 4·2·(−3) = 25 + 24 = 49.
3. Como √49 = 7, la fórmula da x = (−5 ± 7) / (2·2) = (−5 ± 7) / 4.
4. Las dos soluciones: x = (−5 + 7)/4 = 2/4 = 1/2 y x = (−5 − 7)/4 = −12/4 = −3.
5. Comprobación con x = 1/2: 2·(1/4) + 5·(1/2) − 3 = 0,5 + 2,5 − 3 = 0. ✓

El discriminante y las inecuaciones

El discriminante: cuántas raíces reales hay

El discriminante Δ = b² − 4ac es la parte de la fórmula cuadrática que vive bajo la raíz. Como no se puede sacar la raíz cuadrada real de un número negativo, su signo decide la naturaleza de las raíces sin necesidad de resolver la ecuación:

Un problema de tipo IB: el discriminante con parámetro

Ejemplo 4 — valores de un parámetro. La ecuación 3kx² + 2x + k = 0 tiene k como parámetro real. Halla los valores de k para que la ecuación tenga: (a) dos raíces reales distintas; (b) una raíz doble; (c) ninguna raíz real.

1. Para que sea de verdad cuadrática se necesita a ≠ 0, es decir, 3k ≠ 0, luego k ≠ 0. Trabajamos con esa condición presente.
2. Identificamos los coeficientes: a = 3k, b = 2, c = k.
3. Discriminante: Δ = b² − 4ac = 2² − 4·(3k)·(k) = 4 − 12k².
4. (a) Dos raíces distintas: Δ > 0 ⇔ 4 − 12k² > 0 ⇔ 12k² < 4 ⇔ k² < 1/3. Tomando raíz, |k| < √(1/3) = 1/√3 = √3/3 ≈ 0,577. La solución es −√3/3 < k < √3/3, con k ≠ 0.
5. (b) Raíz doble: Δ = 0 ⇔ 4 − 12k² = 0 ⇔ k² = 1/3 ⇔ k = ±√3/3. Ambos valores cumplen k ≠ 0, así que los dos son válidos.
6. (c) Sin raíces reales: Δ < 0 ⇔ 4 − 12k² < 0 ⇔ k² > 1/3. La solución es k < −√3/3 o k > √3/3.

Inecuaciones cuadráticas

Una inecuación cuadrática sustituye el «= 0» por una desigualdad: ax² + bx + c > 0, < 0, ≥ 0 o ≤ 0. Su solución no es un puñado de números, sino uno o dos intervalos. La estrategia más segura es geométrica:

1. Resuelve primero la ecuación asociada ax² + bx + c = 0 para hallar las raíces; ellas marcan dónde la parábola cruza el eje x.
2. Mira el signo de a para saber si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo.
3. Decide en qué tramos la parábola está por encima del eje (valores positivos) o por debajo (valores negativos), según lo que pida la desigualdad.

Ejemplo 5 — resolución de una inecuación. Resolver x² − 7x + 12 < 0.

1. Las raíces de x² − 7x + 12 = 0 ya las hallamos en el Ejemplo 1: x = 3 y x = 4.
2. El coeficiente de x² es a = 1 > 0, así que la parábola se abre hacia arriba.
3. Una parábola hacia arriba está por debajo del eje x (toma valores negativos) solo entre sus dos raíces.
4. Por tanto, x² − 7x + 12 < 0 se cumple en 3 < x < 4. (Si la desigualdad fuese «> 0», la solución serían los dos tramos exteriores: x < 3 o x > 4.)