2.8 Función recíproca y funciones racionales

Hasta ahora todas las funciones del Tema 2 estaban definidas para cualquier número real. La función recíproca f(x) = 1/x rompe esa comodidad: no se puede dividir entre cero, así que x = 0 queda fuera de su dominio. Esa única exclusión cambia por completo la forma del gráfico, que deja de ser una curva continua y pasa a ser una hipérbola: dos ramas separadas que se aproximan a dos rectas invisibles sin llegar nunca a tocarlas.

El subtema NM 2.8 estudia esa función y su generalización natural, las funciones racionales del tipo f(x) = (ax + b)/(cx + d). Lo central aquí es aprender a bosquejarlas con todos sus elementos: las dos asíntotas y los cortes con los ejes. Una hipérbola dibujada sin sus asíntotas es una respuesta incompleta para el IB.

La función recíproca f(x) = 1/x

El gráfico: una hipérbola con dos asíntotas

La función recíproca es f(x) = 1/x, definida para todo x ≠ 0. Su gráfico tiene dos ramas, una en el primer cuadrante y otra en el tercero, y revela dos comportamientos límite:

• Cuando x se acerca a 0, el cociente 1/x se dispara: si x es un positivo diminuto, 1/x es enorme y positivo; si es un negativo diminuto, 1/x es enorme y negativo. La curva se pega a la recta x = 0 (el eje y): es la asíntota vertical.
• Cuando x crece sin límite hacia +∞ o −∞, el cociente 1/x se hace cada vez más pequeño, acercándose a 0 sin alcanzarlo. La curva se pega a la recta y = 0 (el eje x): es la asíntota horizontal.

Una función que es su propia inversa

La función recíproca tiene una propiedad notable: coincide con su propia inversa. Recuerda del subtema 2.5 que la inversa f⁻¹ deshace lo que hace f. Para invertir y = 1/x se intercambian las variables, x = 1/y, y se despeja y: multiplicando ambos lados por y queda xy = 1, y por tanto y = 1/x. La inversa es la misma función de partida.

Una función con esta propiedad se llama autoinversa: aplicarla dos veces devuelve el punto original. En efecto, f(f(x)) = 1/(1/x) = x. Gráficamente esto significa que la hipérbola y = 1/x es simétrica respecto a la recta y = x, que es justo el eje de reflexión que relaciona toda función con su inversa.

Ejemplo 1 — lectura de valores de la recíproca. Comprueba el comportamiento de f(x) = 1/x cerca y lejos del origen.

1. Cerca de 0 por la derecha: f(0,1) = 1/0,1 = 10; f(0,01) = 1/0,01 = 100. El valor crece sin tope: confirma la asíntota vertical x = 0.
2. Cerca de 0 por la izquierda: f(−0,1) = −10; f(−0,01) = −100. Se dispara hacia −∞.
3. Lejos del origen: f(10) = 0,1; f(100) = 0,01; f(1000) = 0,001. El valor se aplasta hacia 0: confirma la asíntota horizontal y = 0.
4. El punto (1, 1) y el punto (−1, −1) están en la curva, y son los más cercanos al origen en cada rama.

Funciones racionales (ax + b)/(cx + d)

Forma, dominio y asíntotas

Una función racional es un cociente de polinomios. En NM 2.8 se estudia el caso más simple: f(x) = (ax + b)/(cx + d), con c ≠ 0. Su gráfico es una hipérbola, igual que la recíproca, pero trasladada: las asíntotas ya no son los ejes, sino dos rectas desplazadas.

Para bosquejar la hipérbola hacen falta dos cosas más, los cortes con los ejes:

• Corte con el eje y: se hace x = 0 y se calcula f(0) = b/d. El punto es (0, b/d).
• Corte con el eje x: se resuelve f(x) = 0. Una fracción es cero solo si su numerador lo es, así que ax + b = 0, de donde x = −b/a. El punto es (−b/a, 0).

Bosquejar una función racional paso a paso

Ejemplo 2 — bosquejo completo. Bosqueja f(x) = (2x + 4)/(x − 1), indicando asíntotas y cortes con los ejes.

1. Identificamos los coeficientes: a = 2, b = 4, c = 1, d = −1.
2. Asíntota vertical: el denominador x − 1 se anula en x = 1. Asíntota vertical x = 1.
3. Asíntota horizontal: y = a/c = 2/1 = y = 2.
4. Corte con el eje y: f(0) = (2·0 + 4)/(0 − 1) = 4/(−1) = −4. Punto (0, −4).
5. Corte con el eje x: numerador 2x + 4 = 0 ⇒ x = −2. Punto (−2, 0).
6. Bosquejo: dos ramas de hipérbola, una a cada lado de la asíntota vertical x = 1, ambas acercándose a la horizontal y = 2. La rama izquierda pasa por (−2, 0) y (0, −4).

Ejemplo 3 — coeficientes negativos. Halla las asíntotas y cortes de f(x) = (3x − 6)/(2x + 8).

1. Coeficientes: a = 3, b = −6, c = 2, d = 8.
2. Asíntota vertical: 2x + 8 = 0 ⇒ x = −8/2 = −4. (Coincide con la fórmula −d/c = −8/2 = −4.)
3. Asíntota horizontal: y = a/c = 3/2 = 1,5.
4. Corte con el eje y: f(0) = (3·0 − 6)/(2·0 + 8) = −6/8 = −0,75. Punto (0, −0,75).
5. Corte con el eje x: 3x − 6 = 0 ⇒ x = 2. Punto (2, 0).

Por qué la racional es una hipérbola trasladada

Toda función (ax + b)/(cx + d) puede reescribirse, dividiendo, en la forma y = (un número)/(x − h) + k. Esa estructura deja claro que se trata de la hipérbola básica 1/x trasladada h unidades en horizontal y k en vertical, justo el lenguaje de transformaciones del subtema 2.11. La asíntota vertical pasa de x = 0 a x = h, y la horizontal de y = 0 a y = k.

Ejemplo 4 — la recíproca como caso particular. Comprueba que f(x) = 1/x encaja en la fórmula general (ax + b)/(cx + d).

1. Escribimos 1/x como (0·x + 1)/(1·x + 0): así a = 0, b = 1, c = 1, d = 0.
2. Asíntota vertical: x = −d/c = −0/1 = 0. ✓ Coincide con el eje y.
3. Asíntota horizontal: y = a/c = 0/1 = 0. ✓ Coincide con el eje x.
4. Cortes: el numerador 0·x + 1 = 1 nunca es cero, así que no hay corte con el eje x; y d = 0 hace que f(0) no exista, así que tampoco corta al eje y. Todo concuerda con lo que ya sabíamos de la recíproca.