2.9 Funciones exponenciales y logarítmicas

En todas las funciones vistas hasta aquí la variable x ocupaba la base: x², 1/x, ax + b. La función exponencial da la vuelta a esa idea y coloca la variable en el exponente: f(x) = a^x. Ese cambio aparentemente menor produce el crecimiento más rápido de todo el Tema 2 y es la herramienta matemática detrás del interés compuesto, el crecimiento de poblaciones, la desintegración radiactiva y el enfriamiento de un cuerpo.

El subtema NM 2.9 presenta esa familia y su inversa, la función logarítmica. Exponencial y logaritmo son las dos caras de la misma moneda: una construye exponentes, la otra los recupera. Entender esa relación de inversas — ya esbozada en el subtema 2.5 — es la clave del subtema y la base para resolver ecuaciones exponenciales en el 2.10.

Funciones exponenciales

La forma f(x) = aˣ y su gráfico

Una función exponencial es f(x) = a^x, donde la base a es un número positivo (a > 0) y normalmente a ≠ 1. La variable es el exponente. Todas las exponenciales comparten rasgos:

• Pasan por (0, 1): sea cual sea la base, a⁰ = 1, así que el gráfico siempre corta al eje y en (0, 1).
• Son siempre positivas: a^x > 0 para todo x. El gráfico vive entero por encima del eje x; nunca lo corta.
• Tienen una asíntota horizontal en y = 0: el eje x es asíntota por el extremo en el que la función tiende a 0 (hacia x → −∞ si a > 1, hacia x → +∞ si 0 < a < 1).
• Dominio: todos los reales. Recorrido: todos los reales positivos, y > 0.

El comportamiento depende de la base. Si a > 1, la función crece (crecimiento exponencial): por ejemplo, 2^x pasa de 1 a 2, a 4, a 8... Si 0 < a < 1, la función decrece (decaimiento exponencial): por ejemplo, (1/2)^x pasa de 1 a 0,5, a 0,25...

Ejemplo 1 — valores de una exponencial. Construye una tabla de valores de f(x) = 3^x y comprueba sus rasgos.

1. f(−2) = 3⁻² = 1/9 ≈ 0,111;   f(−1) = 3⁻¹ = 1/3 ≈ 0,333.
2. f(0) = 3⁰ = 1;   f(1) = 3;   f(2) = 9;   f(3) = 27.
3. Todos los valores son positivos, lo que confirma el recorrido y > 0 y que no hay corte con el eje x.
4. Al avanzar x hacia −∞ los valores se aplastan hacia 0 (asíntota y = 0); al avanzar hacia +∞ se disparan. El corte con el eje y es (0, 1).

Modelar con exponenciales: crecimiento y decaimiento

La función exponencial es la función del cambio multiplicativo: aquella en la que cada paso de tiempo multiplica la cantidad por un factor fijo. Un capital al 5 % anual se multiplica cada año por 1,05; una sustancia radiactiva se reduce a la mitad cada periodo de semivida. Ambos fenómenos se escriben como exponenciales, y por eso este subtema conecta de forma directa con las aplicaciones financieras del subtema NM 1.4 (interés compuesto) y con todo modelo de crecimiento o decaimiento de población.

Un modelo de crecimiento exponencial típico tiene la forma P(t) = P₀ · k^t, donde P₀ es la cantidad inicial (en t = 0) y k el factor de crecimiento por unidad de tiempo: si k > 1 hay crecimiento, si 0 < k < 1 hay decaimiento.

Ejemplo 2 — crecimiento de una población. Una colonia de bacterias parte de 500 individuos y se multiplica por 2 cada hora. Modela la población y calcula cuántas bacterias hay a las 4 horas.

1. Cantidad inicial P₀ = 500; factor por hora k = 2. El modelo es P(t) = 500 · 2^t, con t en horas.
2. A las 4 horas: P(4) = 500 · 2⁴ = 500 · 16 = 8000 bacterias.
3. Comprobación de la lógica del modelo: P(0) = 500 · 2⁰ = 500 · 1 = 500, la población inicial. ✓

Funciones logarítmicas

El logaritmo como inversa de la exponencial

La función logarítmica f(x) = log_a x responde a una pregunta inversa: «¿a qué exponente hay que elevar la base a para obtener x?». Es decir, log_a x = y significa exactamente lo mismo que a^y = x. Por eso la logarítmica es la función inversa de la exponencial: una construye exponentes, la otra los recupera.

Esta relación tiene consecuencias inmediatas sobre el gráfico. Como invertir una función equivale a reflejarla en la recta y = x, el gráfico de log_a x es la imagen especular del de a^x. De ahí salen sus rasgos:

• Dominio: solo los reales positivos, x > 0. No existe el logaritmo de 0 ni de un número negativo, porque ninguna potencia de una base positiva da esos valores.
• Recorrido: todos los reales.
• Pasa por (1, 0): log_a 1 = 0, porque a⁰ = 1.
• Tiene asíntota vertical x = 0: el eje y es asíntota (reflejo de la asíntota horizontal de la exponencial).

Las relaciones que conectan exponencial y logaritmo

La condición de ser funciones inversas se traduce en dos identidades que conviene tener grabadas, porque son la maquinaria para resolver ecuaciones exponenciales en el subtema 2.10.

Primera relación. Cualquier exponencial puede reescribirse con base e:

a^x = e^{x ln a}

Tiene sentido: como e^{ln a} = a (la exponencial deshace el logaritmo), elevar a x da a^x = (e^{ln a})^x = e^{x ln a}. Esta identidad permite pasar cualquier base a la base natural, que es la única que el cálculo de NM maneja con comodidad.

Segunda relación. El logaritmo deshace la exponencial de su misma base:

log_a(a^x) = x    (para a > 0, a ≠ 1)

Y en el otro orden, a^{log_a x} = x para x > 0. En particular, con la base natural: ln(e^x) = x y e^{ln x} = x. Esta es la propiedad que «despeja» la incógnita cuando está atrapada en un exponente.

Ejemplo 3 — aplicar las relaciones inversas. Simplifica las siguientes expresiones usando que exponencial y logaritmo son inversas.

1. ln(e⁷) = 7, porque ln deshace la exponencial natural.
2. e^{ln 5} = 5, por la misma razón en el orden contrario (válido porque 5 > 0).
3. log₃(3⁴) = 4, porque el logaritmo en base 3 deshace 3^x.
4. Escribir 5^x en base e: aplicando la primera relación, 5^x = e^{x ln 5}. Como ln 5 ≈ 1,609, esto es e^1,609x.

Ejemplo 4 — lectura de un logaritmo y comprobación. Calcula log₂ 32 y ln(e³), y comprueba cada resultado.

1. log₂ 32 pregunta: ¿a qué exponente hay que elevar 2 para obtener 32? Como 2⁵ = 32, la respuesta es 5.
2. Comprobación: 2⁵ = 2·2·2·2·2 = 32. ✓
3. ln(e³) = 3 por la relación inversa: el logaritmo neperiano deshace e^x.
4. Comprobación numérica: e³ ≈ 20,086 y ln(20,086) ≈ 3,000. ✓