2.10 Resolución de ecuaciones gráfica y analítica

Resolver una ecuación es encontrar los valores de la incógnita que la hacen cierta. A lo largo del Tema 2 has aprendido a hacerlo con familias concretas — lineales, cuadráticas, exponenciales —, pero el subtema NM 2.10 da un paso atrás y plantea la pregunta general: ante una ecuación cualquiera, ¿cómo se resuelve? La respuesta del IB es que hay dos vías y un buen matemático sabe cuándo usar cada una.

La vía analítica manipula la ecuación con álgebra exacta hasta despejar la incógnita; da soluciones precisas, pero solo funciona cuando la ecuación tiene una estructura abordable. La vía gráfica busca cortes de gráficos con la calculadora; funciona siempre, incluso cuando ninguna técnica algebraica sirve, a cambio de dar valores aproximados. Este subtema te enseña a manejar ambas y, sobre todo, a reconocer cuál toca.

Resolución analítica

El cambio de variable: ecuaciones de tipo cuadrático

Muchas ecuaciones que no parecen cuadráticas lo son por debajo. La pista está en su estructura: tres términos cuyos exponentes van en progresión, con el del medio a mitad de camino. Un cambio de variable bien elegido las convierte en cuadráticas de libro, que ya sabes resolver con el subtema 2.7.

La idea es bautizar la expresión repetida con una letra nueva. Si llamamos u a esa expresión, la ecuación se reescribe en términos de u, se resuelve, y al final se deshace el cambio para volver a la incógnita original.

Ejemplo 1 — ecuación exponencial de tipo cuadrático. Resolver e^2x − 5e^x + 4 = 0.

1. Observamos la estructura: aparece e^x y aparece e^2x. Por las propiedades de las potencias, e^2x = (e^x)². La ecuación es cuadrática en e^x.
2. Cambio de variable: llamamos u = e^x. Entonces e^2x = u², y la ecuación se vuelve u² − 5u + 4 = 0.
3. Resolvemos la cuadrática factorizando: buscamos dos números que multiplicados den 4 y sumados den −5; son −1 y −4. Así, (u − 1)(u − 4) = 0, de donde u = 1 o u = 4.
4. Deshacemos el cambio. Caso u = 1: e^x = 1, y como e⁰ = 1, sale x = 0. Caso u = 4: e^x = 4, y aplicando ln a ambos lados, x = ln 4 ≈ 1,386.
5. Comprobación de validez: como e^x siempre es positivo, ambos valores de u (1 y 4) eran admisibles. Las soluciones son x = 0 y x = ln 4 ≈ 1,386.

Aislar la incógnita del exponente: los logaritmos

Cuando la incógnita está atrapada en un exponente y no hay estructura cuadrática, la herramienta es el logaritmo. Aplicar un logaritmo a ambos lados de la ecuación «baja» el exponente y deja la incógnita despejable, gracias a las relaciones inversas del subtema 2.9.

Ejemplo 2 — ecuación exponencial con logaritmos. Resolver 3 · 2^x = 96.

1. Aislamos la potencia dividiendo entre 3: 2^x = 96/3 = 32.
2. Tomamos logaritmo neperiano en ambos lados: ln(2^x) = ln 32.
3. Por la propiedad del logaritmo de una potencia, ln(2^x) = x · ln 2. Queda x · ln 2 = ln 32.
4. Despejamos: x = ln 32 / ln 2 = 5. (Comprobación directa: 2⁵ = 32. ✓)
5. La solución es x = 5, y verifica la ecuación original: 3 · 2⁵ = 3 · 32 = 96. ✓

Resolución gráfica y aplicaciones

Cuándo la tecnología es imprescindible

No toda ecuación tiene una salida algebraica. Hay ecuaciones que mezclan familias incompatibles, y para ellas no existe un método analítico apropiado de NM. En esos casos el IB espera que uses la calculadora gráfica, y lo dice de forma explícita en la guía. Dos ejemplos clásicos:

• e^x = sen x — iguala una exponencial con una función trigonométrica. No hay álgebra que despeje x; sus soluciones solo se obtienen viendo dónde se cruzan los dos gráficos.
• x⁴ + 5x − 6 = 0 — es una ecuación polinómica de grado 4. Aunque x = 1 se ve a simple vista (1 + 5 − 6 = 0), la raíz negativa no es un número sencillo y se localiza con la calculadora.

El procedimiento gráfico es siempre el mismo. Para resolver una ecuación de la forma f(x) = g(x):

1. Introduce f(x) y g(x) como dos funciones en la calculadora.
2. Representa ambas y localiza los puntos de intersección.
3. La abscisa x de cada intersección es una solución de la ecuación.

Alternativamente, se pasa todo a un lado, f(x) − g(x) = 0, y se buscan los cortes con el eje x (los ceros) de esa única función. Las dos rutas son equivalentes; usa la que tu modelo de calculadora ejecute con más comodidad.

Aplicaciones a situaciones de la vida real

El verdadero motivo de estudiar todo esto es que las ecuaciones modelan el mundo. El IB enmarca el subtema 2.10 en contextos reales, y la pregunta de examen típica te da un modelo y te pide resolver una ecuación dentro de él. Estos son los escenarios recurrentes:

Ejemplo 3 — desintegración radiactiva. Una muestra radiactiva de 80 mg decae según M(t) = 80 · (0,5)^t/6, con t en años. ¿Cuántos años tardan en quedar 20 mg?

1. Planteamos la ecuación: 80 · (0,5)^t/6 = 20.
2. Aislamos la potencia dividiendo entre 80: (0,5)^t/6 = 20/80 = 0,25.
3. Como 0,25 = 0,5², la ecuación es 0,5^t/6 = 0,5². Igualando exponentes: t/6 = 2.
4. Despejamos: t = 12. La muestra tarda 12 años en reducirse a 20 mg.
5. Tiene sentido: el periodo de semivida es 6 años (cada 6 años se reduce a la mitad); de 80 a 40 mg en 6 años, de 40 a 20 mg en otros 6, total 12 años. ✓

Ejemplo 4 — distancia de frenado. La distancia de frenado de un coche, en metros, se modela como d(v) = 0,01v² + 0,2v, donde v es la velocidad en km/h. ¿A qué velocidad la distancia de frenado es de 24 m?

1. Planteamos: 0,01v² + 0,2v = 24, es decir 0,01v² + 0,2v − 24 = 0.
2. Multiplicamos toda la ecuación por 100 para quitar los decimales: v² + 20v − 2400 = 0.
3. Aplicamos la fórmula cuadrática con a = 1, b = 20, c = −2400. Discriminante: Δ = 20² − 4·1·(−2400) = 400 + 9600 = 10 000, y √10 000 = 100.
4. Soluciones: v = (−20 ± 100)/2. Da v = 80/2 = 40 o v = −120/2 = −60.
5. La velocidad no puede ser negativa, así que v = −60 es una solución extraña y se descarta por el contexto. La respuesta es v = 40 km/h.