2.11 Transformaciones de gráficos

Hasta aquí has estudiado las familias de funciones una por una, cada cual con su gráfico característico. El subtema NM 2.11 cambia de óptica: en lugar de dibujar cada función desde cero, parte de un gráfico ya conocido y lo transforma. Si sabes cómo es y = x², entonces y = (x − 3)² + 1 no es una curva nueva: es la misma parábola movida. Esa es la potencia de las transformaciones.

Hay tres tipos de transformación — traslaciones, simetrías y estiramientos — y todos se entienden a partir de una única función genérica y = f(x). El subtema conecta de lleno con las funciones compuestas del NM 2.5, porque transformar un gráfico es, en el fondo, componer f con funciones sencillas. Lo que cambia entre transformaciones es dónde se toca la fórmula: por fuera de f o por dentro.

Las transformaciones básicas

Traslaciones: mover sin deformar

Una traslación desplaza el gráfico entero sin cambiar su forma ni su tamaño. Hay dos clases, y la regla para distinguirlas es de oro: lo que afecta a f por fuera mueve en vertical y se comporta de forma «intuitiva»; lo que afecta a x por dentro mueve en horizontal y se comporta «al revés».

La traslación horizontal parece ir «al revés» por una razón concreta. Para que f(x − a) tome en un punto el valor que f tomaba antes, la x nueva tiene que ser a unidades mayor — así, al restarle a, dentro de f entra el valor de antes. Por eso el gráfico se desplaza hacia la derecha cuando se resta.

Ejemplo 1 — combinar dos traslaciones. El gráfico de f(x) = x² es una parábola con vértice en (0, 0). Describe el gráfico de g(x) = (x − 4)² + 3.

1. El término (x − 4) actúa dentro de la función: traslación horizontal de 4 unidades a la derecha.
2. El «+ 3» actúa fuera: traslación vertical de 3 unidades hacia arriba.
3. El vértice (0, 0) se mueve a (4, 3). La forma de la parábola no cambia.
4. Comprobación: g(4) = (4 − 4)² + 3 = 0 + 3 = 3, así que (4, 3) está en el gráfico y es su punto más bajo. ✓ Reconocerás aquí la forma del vértice del subtema 2.6.

Simetrías: reflejar en un eje

Una simetría (o reflexión) produce la imagen especular del gráfico respecto a un eje. De nuevo el «dónde» decide el «qué»:

• Reflexión en el eje x: y = −f(x). Se cambia el signo por fuera: cada ordenada y se vuelve −y. El gráfico se da la vuelta arriba-abajo.
• Reflexión en el eje y: y = f(−x). Se cambia el signo de la x, por dentro: lo que estaba a la derecha pasa a la izquierda. El gráfico se da la vuelta izquierda-derecha.

Ejemplo 2 — reflexión de una función. Sea f(x) = e^x, que pasa por (0, 1) y crece hacia la derecha. Describe los gráficos de −f(x) y de f(−x).

1. −f(x) = −e^x: reflexión en el eje x. La curva, antes toda positiva, queda toda negativa; pasa por (0, −1) y la asíntota sigue siendo y = 0, pero ahora se aproxima por abajo.
2. f(−x) = e^−x: reflexión en el eje y. La exponencial creciente se convierte en una decreciente; sigue pasando por (0, 1), pero ahora decrece hacia la derecha. Es, de hecho, el decaimiento exponencial del subtema 2.9.
3. Comprobación del punto fijo: en x = 0 ambas, −e⁰ = −1 y e⁻⁰ = e⁰ = 1, dan los valores anunciados. ✓

Estiramientos: dilatar o comprimir

Un estiramiento dilata o comprime el gráfico respecto a un eje. A diferencia de la traslación, aquí la forma sí cambia. Hay dos:

El estiramiento horizontal vuelve a comportarse «al revés»: un q grande no estira, sino que comprime, porque la razón es 1/q. Es la misma lógica de la traslación horizontal — los cambios por dentro de f invierten el efecto esperado.

Ejemplo 3 — estiramiento vertical. Sea f(x) = x², que pasa por (1, 1) y (2, 4). Describe g(x) = 3x².

1. g(x) = 3·f(x): el 3 multiplica a f por fuera, así que es un estiramiento vertical de razón 3.
2. Cada ordenada se triplica. El punto (1, 1) pasa a (1, 3); el punto (2, 4) pasa a (2, 12).
3. El vértice (0, 0) no se mueve: 3·0 = 0. Los puntos sobre el eje x son los únicos fijos en un estiramiento vertical.
4. El resultado es una parábola más estrecha, más «apretada» contra el eje y. Comprobación: g(2) = 3·2² = 3·4 = 12. ✓

Transformaciones compuestas

Combinar varias transformaciones

Las preguntas más completas del IB encadenan varias transformaciones sobre un mismo gráfico. La fórmula resultante combina cambios por fuera y por dentro a la vez. La estrategia para descomponerla es separar lo vertical de lo horizontal y analizar cada bloque por su lado.

Ejemplo 4 — transformación compuesta. A partir de f(x), describe la cadena de transformaciones que produce g(x) = −2·f(x − 1) + 5.

1. Por dentro aparece (x − 1): traslación horizontal de 1 unidad a la derecha.
2. Por fuera hay tres operaciones. El factor 2: estiramiento vertical de razón 2. El signo menos: reflexión en el eje x. El «+ 5»: traslación vertical de 5 unidades hacia arriba.
3. Orden recomendado para las verticales: primero el estiramiento (×2), después la reflexión (signo −), y por último la traslación (+5). Así, un punto (x₀, y₀) de f va a parar a (x₀ + 1, −2y₀ + 5).
4. Comprobación con un punto: si f pasa por (3, 4), entonces g pasa por (3 + 1, −2·4 + 5) = (4, −3). En efecto, g(4) = −2·f(4 − 1) + 5 = −2·f(3) + 5 = −2·4 + 5 = −3. ✓

El orden importa

En una transformación compuesta, el orden en que se aplican las transformaciones puede cambiar el resultado. Estirar y luego trasladar no es lo mismo que trasladar y luego estirar. La razón es que el estiramiento multiplica también al desplazamiento ya aplicado.

Una observación importante de Nivel Medio: el IB de NM no incluye transformaciones de la forma f(ax + b), es decir, las que combinan un estiramiento y una traslación a la vez dentro de la función. En NM las transformaciones horizontales aparecen siempre por separado: o una traslación f(x − a), o un estiramiento f(qx), nunca las dos juntas dentro del paréntesis. Esa combinación es contenido de Nivel Superior.