2.12 Funciones polinómicas (solo NS)

En Nivel Medio te has movido sobre todo con polinomios de grado 1 y 2: rectas y parábolas. El Nivel Superior abre la puerta a grados más altos —cúbicas, cuárticas y, en principio, cualquier grado— y, sobre todo, a una pregunta nueva: dada una ecuación polinómica, ¿qué podemos decir de sus raíces sin resolverla? La respuesta es uno de los resultados más elegantes del Tema 2: los coeficientes de un polinomio guardan, escondidas a plena vista, la suma y el producto de todas sus raíces.

El subtema TANS 2.12 reúne tres herramientas que se apoyan unas en otras. El teorema del resto evalúa un polinomio de forma rápida; el teorema del factor traduce ese resultado en información sobre factores y raíces; y las fórmulas de Vieta cierran el círculo relacionando raíces y coeficientes. Juntas convierten la factorización de polinomios de grado alto en un proceso sistemático en lugar de un ejercicio de prueba y error.

Funciones polinómicas, ceros y factorización

La forma general y su gráfico

Una función polinómica de grado n se escribe como f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀, con aₙ ≠ 0 y coeficientes reales. El grado y el signo del coeficiente principal aₙ controlan la forma global de la curva: cuando n es par, los dos extremos del gráfico apuntan en la misma dirección; cuando n es impar, apuntan en direcciones opuestas. El número de "ondas" (cambios de monotonía) nunca supera n − 1.

Los puntos donde la curva corta el eje x son los ceros o raíces reales del polinomio: los valores de x que cumplen f(x) = 0. La intersección con el eje y es siempre f(0) = a₀, el término independiente. Localizar estos puntos es el primer paso para esbozar cualquier gráfico polinómico a mano.

El teorema del resto

Cuando divides un polinomio P(x) entre un binomio lineal (x − k), obtienes un cociente Q(x) y un resto R que es una constante, de modo que P(x) = (x − k)·Q(x) + R. Si sustituyes x = k en esa identidad, el primer término se anula y queda P(k) = R. Esa es la idea entera del teorema del resto: el resto de dividir P(x) entre (x − k) es simplemente P(k).

Ejemplo 1 — hallar un resto sin dividir. Halla el resto de dividir P(x) = 2x³ − 5x² + 3x − 7 entre (x − 2).

1. El divisor es (x − 2), así que k = 2.
2. Por el teorema del resto, el resto es P(2).
3. P(2) = 2·(2)³ − 5·(2)² + 3·(2) − 7 = 2·8 − 5·4 + 6 − 7.
4. P(2) = 16 − 20 + 6 − 7 = −5.
5. El resto es −5. Como no es cero, (x − 2) no es factor de P(x).

El teorema del factor

El teorema del factor es el caso particular del teorema del resto cuando el resto vale cero: (x − k) es un factor de P(x) si y solo si P(k) = 0. Es la herramienta para factorizar polinomios de grado 3 o más: si encuentras un valor k que anula el polinomio, ya tienes un factor lineal; dividiendo el polinomio entre ese factor reduces el grado y repites el proceso.

Ejemplo 2 — factorizar una cúbica. Factoriza por completo P(x) = x³ − 4x² + x + 6.

1. Los candidatos a raíz entera dividen al término independiente 6: ±1, ±2, ±3, ±6.
2. Prueba x = −1: P(−1) = (−1)³ − 4·(−1)² + (−1) + 6 = −1 − 4 − 1 + 6 = 0. Por tanto (x + 1) es factor.
3. Divide P(x) entre (x + 1). El cociente es x² − 5x + 6.
4. Comprobación de la división: (x + 1)(x² − 5x + 6) = x³ − 5x² + 6x + x² − 5x + 6 = x³ − 4x² + x + 6. ✓
5. Factoriza la cuadrática: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
6. Resultado: P(x) = (x + 1)(x − 2)(x − 3), con raíces −1, 2 y 3.

Las fórmulas de Vieta: raíces y coeficientes

Suma y producto de las raíces

Hasta aquí hemos buscado raíces para deducir factores. Las fórmulas de Vieta recorren el camino inverso: leen información sobre las raíces directamente en los coeficientes, sin resolver nada. Para la ecuación polinómica general Σ_r=0ⁿ aᵣx^r = 0, es decir aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₀ = 0, se cumplen estas dos relaciones clave.

De dónde sale esto se ve sin esfuerzo en el caso cuadrático. Si x² + bx + c = 0 tiene raíces α y β, entonces el polinomio se factoriza como (x − α)(x − β) = x² − (α + β)x + αβ. Comparando coeficientes término a término: α + β = −b y αβ = c. Las fórmulas de Vieta no son más que esta misma comparación llevada a cualquier grado.

Aplicar las fórmulas en la práctica

Ejemplo 3 — comprobar Vieta con raíces conocidas. En el Ejemplo 2 obtuvimos que x³ − 4x² + x + 6 = 0 tiene raíces −1, 2 y 3. Verifica las fórmulas de Vieta.

1. Coeficientes: aₙ = 1 (coeficiente de x³), aₙ₋₁ = −4, a₀ = 6, grado n = 3.
2. Suma según Vieta: −aₙ₋₁/aₙ = −(−4)/1 = 4. Suma real de las raíces: −1 + 2 + 3 = 4. ✓
3. Producto según Vieta: (−1)³·a₀/aₙ = (−1)·6/1 = −6. Producto real: (−1)·2·3 = −6. ✓

Ejemplo 4 — hallar un coeficiente desconocido. La ecuación 2x³ + kx² − 14x + 12 = 0 tiene tres raíces reales cuya suma es 3. Halla k y el producto de las raíces.

1. Identifica los coeficientes: aₙ = 2, aₙ₋₁ = k, a₀ = 12, grado n = 3.
2. Suma de las raíces = −aₙ₋₁/aₙ = −k/2. El enunciado dice que esa suma vale 3.
3. Resuelve: −k/2 = 3 ⇒ k = −6.
4. Producto de las raíces = (−1)³·a₀/aₙ = (−1)·12/2 = −6.
5. Comprobación: con k = −6 la ecuación es 2x³ − 6x² − 14x + 12 = 0, que equivale a x³ − 3x² − 7x + 6 = 0; su suma de raíces es −(−3)/1 = 3 ✓ y su producto es (−1)·6/1 = −6 ✓.

Conexión con las raíces complejas

Las fórmulas de Vieta se aplican a todas las raíces de la ecuación, también las complejas. Esto enlaza directamente con TANS 1.14: si un polinomio tiene coeficientes reales, sus raíces complejas aparecen siempre en pares conjugados. Por ejemplo, si una cúbica de coeficientes reales tiene una raíz compleja z = 2 + 3i, entonces 2 − 3i también es raíz; la tercera raíz debe ser real, porque el grado impar exige un número impar de raíces reales.

La suma de un par conjugado, (2 + 3i) + (2 − 3i) = 4, es siempre real, y su producto, (2 + 3i)(2 − 3i) = 2² + 3² = 13, también lo es. Por eso la suma y el producto de todas las raíces que dan las fórmulas de Vieta resultan ser números reales aunque algunas raíces individuales sean complejas: las partes imaginarias se cancelan al sumar conjugados y desaparecen al multiplicarlos.