En NM 2.8 estudiaste la función racional más sencilla: el cociente de dos expresiones lineales, f(x) = (ax + b)/(cx + d), cuya gráfica es una hipérbola con una asíntota vertical y una horizontal. El Nivel Superior amplía esa familia subiendo el grado de uno de los dos polinomios, y con ello aparece un tipo de asíntota nuevo: la asíntota oblicua, una recta inclinada que la curva persigue en el infinito.
El subtema TANS 2.13 se concentra en dos formas concretas que el IB pide saber analizar y dibujar: f(x) = (ax + b)/(cx2 + dx + e), con cuadrática abajo, y f(x) = (ax2 + bx + c)/(dx + e), con cuadrática arriba. Esbozar bien sus gráficos exige un protocolo fijo: encontrar todas las asíntotas —verticales, horizontales y oblicuas— y todas las intersecciones con los ejes.
Las dos familias y sus asíntotas
Familia A: lineal entre cuadrática
La forma f(x) = (ax + b)/(cx2 + dx + e) tiene el numerador de grado 1 y el denominador de grado 2. Las asíntotas verticales aparecen donde se anula el denominador: resuelves cx2 + dx + e = 0, lo que puede dar dos asíntotas, una (raíz doble) o ninguna (raíces complejas).
La asíntota horizontal se decide comparando grados. Como el numerador tiene grado menor que el denominador, al hacer x → ±∞ el cociente tiende a 0: la recta y = 0 es asíntota horizontal de toda función de esta familia. No hay asíntota oblicua, porque para que la haya el numerador tendría que superar al denominador exactamente en un grado.
Familia B: cuadrática entre lineal
La forma f(x) = (ax2 + bx + c)/(dx + e) tiene el numerador de grado 2 y el denominador de grado 1. Hay una única asíntota vertical, en el valor que anula dx + e, es decir x = −e/d. En cambio no hay asíntota horizontal: como el numerador tiene mayor grado, el cociente crece sin límite cuando x → ±∞.
Lo que sí aparece —y es la novedad del subtema— es una asíntota oblicua. El grado del numerador supera en exactamente 1 al del denominador, que es justo la condición para que la curva se aproxime a una recta inclinada en el infinito.
¿Cuándo hay cada tipo de asíntota?
Sea f(x) = P(x)/Q(x) una función racional ya simplificada. Comparando los grados:
- grado(P) < grado(Q): asíntota horizontal y = 0.
- grado(P) = grado(Q): asíntota horizontal y = (coef. principal de P)/(coef. principal de Q).
- grado(P) = grado(Q) + 1: asíntota oblicua, no horizontal.
- grado(P) > grado(Q) + 1: ni horizontal ni oblicua (la curva se acerca a una parábola u otra curva).
Las asíntotas verticales son independientes de esto: están donde Q(x) = 0 sin que P(x) se anule a la vez.
Cómo se obtiene una asíntota oblicua
La asíntota oblicua de una función racional de la familia B se obtiene dividiendo el numerador entre el denominador. La división de polinomios permite escribir f(x) = C(x) + R(x)/Q(x), donde C(x) es el cociente y R(x) el resto, de grado menor que Q(x). Cuando x → ±∞, el término R(x)/Q(x) tiende a 0, así que la curva se confunde con la recta y = C(x). Si el numerador supera al denominador en un grado, ese cociente C(x) es lineal: y = mx + c, la asíntota oblicua.
Ejemplo 1 — obtener una asíntota oblicua por división. Halla la asíntota oblicua de f(x) = (x2 + 3x − 4)/(x − 2).
- Divide x2 + 3x − 4 entre x − 2. Primer término del cociente: x2 ÷ x = x.
- x·(x − 2) = x2 − 2x; resta: (x2 + 3x − 4) − (x2 − 2x) = 5x − 4.
- Siguiente término: 5x ÷ x = 5. 5·(x − 2) = 5x − 10; resta: (5x − 4) − (5x − 10) = 6.
- Resultado de la división: f(x) = x + 5 + 6/(x − 2).
- Cuando x → ±∞, el término 6/(x − 2) → 0, así que la asíntota oblicua es y = x + 5.
- De paso, la asíntota vertical es x = 2 (anula el denominador).
Esbozar el gráfico completo
El protocolo de las cinco preguntas
El IB es muy exigente con el esbozo de funciones racionales: la consigna oficial pide que el gráfico incluya todas las asíntotas y todas las intersecciones con los ejes. Conviene seguir siempre el mismo protocolo.
| Paso | Qué buscar | Cómo |
|---|---|---|
| 1 | Asíntotas verticales | Resolver denominador = 0 (sin que se anule el numerador). |
| 2 | Asíntota horizontal u oblicua | Comparar grados; si grado(P) = grado(Q) + 1, dividir. |
| 3 | Intersección con el eje y | Calcular f(0). |
| 4 | Intersecciones con el eje x | Resolver numerador = 0. |
| 5 | Comportamiento entre asíntotas | Probar un valor en cada intervalo para fijar el signo. |
Ejemplo 2 — analizar una función de la familia A. Estudia f(x) = (2x − 6)/(x2 − x − 6) para esbozar su gráfico.
- Asíntotas verticales: x2 − x − 6 = 0 ⇒ (x − 3)(x + 2) = 0 ⇒ x = 3 o x = −2.
- El numerador 2x − 6 se anula en x = 3, igual que el denominador. El factor (x − 3) se cancela: f(x) = 2(x − 3) / [(x − 3)(x + 2)] = 2/(x + 2) para x ≠ 3.
- Por tanto en x = 3 no hay asíntota, sino un hueco (discontinuidad evitable). La única asíntota vertical es x = −2.
- Asíntota horizontal: grado del numerador (1) < grado del denominador (2), luego y = 0.
- Corte con el eje y: f(0) = 2/(0 + 2) = 1. Pasa por (0, 1).
- Cortes con el eje x: la forma simplificada 2/(x + 2) nunca se anula ⇒ no corta el eje x.
- Hueco en x = 3: f tiende a 2/(3 + 2) = 0,4, así que el punto (3, 0,4) está vacío en la gráfica.
Error frecuente
Marcar una asíntota vertical en todo cero del denominador sin comprobar el numerador. En el Ejemplo 2, x = 3 anula los dos polinomios: el factor común se cancela y lo que queda es un hueco, no una asíntota. La regla precisa es: hay asíntota vertical en x = a solo cuando, tras simplificar la fracción todo lo posible, el denominador sigue anulándose en x = a. Simplifica antes de declarar asíntotas.
Una función de la familia B paso a paso
Ejemplo 3 — esbozo completo de la familia B. Esboza f(x) = (x2 − x − 2)/(x + 1).
- Asíntota vertical: x + 1 = 0 ⇒ x = −1. Comprueba el numerador en x = −1: (−1)2 − (−1) − 2 = 1 + 1 − 2 = 0. Otra vez se cancela.
- Factoriza el numerador: x2 − x − 2 = (x − 2)(x + 1). Entonces f(x) = (x − 2)(x + 1)/(x + 1) = x − 2 para x ≠ −1.
- La función es en realidad la recta y = x − 2 con un hueco en x = −1. El punto vacío es (−1, −3), pues −1 − 2 = −3. No hay asíntotas propiamente dichas en este caso degenerado.
- Corte con el eje y: f(0) = −2. Corte con el eje x: x − 2 = 0 ⇒ x = 2.
Ejemplo 4 — familia B con asíntota oblicua genuina. Analiza f(x) = (x2 + 1)/(x − 1).
- Asíntota vertical: x − 1 = 0 ⇒ x = 1. El numerador en x = 1 vale 12 + 1 = 2 ≠ 0, así que x = 1 es asíntota vertical genuina.
- Asíntota oblicua: divide x2 + 1 entre x − 1. x2 ÷ x = x; x(x − 1) = x2 − x; resta: x + 1. Luego x ÷ x = 1; 1·(x − 1) = x − 1; resta: 2.
- Resultado: f(x) = x + 1 + 2/(x − 1). Asíntota oblicua: y = x + 1.
- Corte con el eje y: f(0) = (0 + 1)/(0 − 1) = −1.
- Cortes con el eje x: x2 + 1 = 0 no tiene solución real ⇒ la curva no corta el eje x.
- Signo del resto: 2/(x − 1) > 0 para x > 1 (curva sobre la asíntota) y < 0 para x < 1 (curva bajo la asíntota).
En la Prueba 1 de NS (sin calculadora) las preguntas de 2.13 piden esbozar la curva con todas sus asíntotas e intersecciones rotuladas; cada elemento omitido cuesta una marca. Tres reflejos: (i) simplifica la fracción primero —un factor común convierte una supuesta asíntota en un simple hueco—; (ii) para la oblicua, la división de polinomios es obligatoria, no hay atajo; (iii) etiqueta cada asíntota con su ecuación (x = a, y = b o y = mx + c) en el propio dibujo. En la Prueba 2 puedes confirmar el esbozo con la calculadora gráfica, pero el análisis algebraico de las asíntotas debe figurar igualmente en el papel.