Cuando observas el gráfico de una parábola y = x2, notas algo de inmediato: las dos ramas son idénticas, una el espejo de la otra a ambos lados del eje vertical. El gráfico de y = x3, en cambio, no tiene esa simetría especular, pero sí otra distinta: si lo giras media vuelta alrededor del origen vuelve a quedar igual. El Nivel Superior pone nombre y prueba algebraica a esas dos clases de simetría —funciones pares e impares— y las une al estudio de la función inversa.
El subtema TANS 2.14 tiene dos mitades complementarias. La primera clasifica funciones según su simetría: par, impar o ninguna de las dos, incluyendo el caso de las funciones periódicas. La segunda profundiza en la inversa: cómo hallar f⁻¹(x), por qué a veces hay que restringir el dominio para que la inversa exista, y qué funciones tienen la curiosa propiedad de ser su propia inversa.
Funciones pares, impares y periódicas
La definición algebraica de la simetría
La simetría de un gráfico no es algo que haya que "ver": se comprueba con una ecuación. Una función es par cuando f(−x) = f(x) para todo x del dominio. Eso significa que cambiar el signo de la entrada no cambia la salida, y geométricamente equivale a que el gráfico sea simétrico respecto al eje y.
Una función es impar cuando f(−x) = −f(x) para todo x del dominio: cambiar el signo de la entrada cambia el signo de la salida. Geométricamente, el gráfico tiene simetría central respecto al origen —una rotación de 180° lo deja invariante—. Hay muchas funciones que no son ni una cosa ni la otra; "ni par ni impar" es perfectamente legítimo.
Funciones pares e impares
Para una función f con dominio simétrico respecto a 0:
- Par: f(−x) = f(x). Simetría respecto al eje y. Ejemplos: x2, x4, cos x, |x|.
- Impar: f(−x) = −f(x). Simetría central respecto al origen. Ejemplos: x, x3, sen x, 1/x.
La nomenclatura no es casual: una potencia xn es par si n es par e impar si n es impar. Una función impar que esté definida en x = 0 cumple necesariamente f(0) = 0, porque f(0) = −f(0) obliga a f(0) = 0.
Ejemplo 1 — clasificar una función por su paridad. Determina si f(x) = x4 − 3x2 + 5 es par, impar o ninguna de las dos.
- Calcula f(−x) sustituyendo x por −x: f(−x) = (−x)4 − 3(−x)2 + 5.
- Simplifica las potencias: (−x)4 = x4 y (−x)2 = x2, así que f(−x) = x4 − 3x2 + 5.
- Eso es exactamente f(x). Como f(−x) = f(x), la función es par.
- Coherente con la regla: todos los exponentes que aparecen (4, 2, y el 0 del término constante) son pares.
Ejemplo 2 — una función impar. Comprueba que f(x) = 2x3 − x es impar.
- f(−x) = 2(−x)3 − (−x) = 2(−x3) + x = −2x3 + x.
- Calcula ahora −f(x) = −(2x3 − x) = −2x3 + x.
- f(−x) coincide con −f(x), así que f es impar. Y, en efecto, f(0) = 0.
Funciones periódicas
Dentro de este subtema el IB sitúa también las funciones periódicas: aquellas que repiten sus valores a intervalos regulares. Una función es periódica de periodo p > 0 si f(x + p) = f(x) para todo x del dominio; el periodo es el menor valor positivo de p que cumple esa igualdad. Las funciones trigonométricas son los ejemplos por excelencia: sen x y cos x tienen periodo 2π, y tan x tiene periodo π.
Periodicidad y paridad son propiedades independientes que pueden coexistir: cos x es par y periódica a la vez, mientras que sen x es impar y periódica. Saber que una función es periódica permite deducir todo su comportamiento a partir de un único intervalo de longitud p.
La función inversa
Hallar f⁻¹(x)
La función inversa f⁻¹ deshace lo que hace f: si f manda a a b, entonces f⁻¹ manda b a a. Para hallar la expresión de la inversa se sigue siempre el mismo procedimiento: escribir y = f(x), intercambiar x e y, y despejar la nueva y. El gráfico de f⁻¹ es el reflejo del de f respecto a la recta y = x; además, el dominio de f⁻¹ es el recorrido de f, y el recorrido de f⁻¹ es el dominio de f.
Ejemplo 3 — hallar la inversa de una función racional. Halla la inversa de f(x) = (2x + 1)/(x − 3), con x ≠ 3.
- Escribe y = (2x + 1)/(x − 3).
- Intercambia x e y: x = (2y + 1)/(y − 3).
- Multiplica en cruz: x(y − 3) = 2y + 1, es decir xy − 3x = 2y + 1.
- Agrupa los términos con y a un lado: xy − 2y = 3x + 1, o sea y(x − 2) = 3x + 1.
- Despeja: y = (3x + 1)/(x − 2). Por tanto f⁻¹(x) = (3x + 1)/(x − 2), con x ≠ 2.
- Comprobación con un valor: f(4) = (8 + 1)/(4 − 3) = 9. Y f⁻¹(9) = (27 + 1)/(9 − 2) = 28/7 = 4. ✓
Restringir el dominio para que exista la inversa
No toda función tiene inversa. Para que f⁻¹ exista, f debe ser inyectiva: cada valor de salida debe proceder de una sola entrada. Gráficamente esto se comprueba con la regla de la recta horizontal: si alguna recta horizontal corta el gráfico en más de un punto, la función no es inyectiva y no admite inversa tal cual.
La función f(x) = x2 es el caso clásico: como f(3) = f(−3) = 9, no es inyectiva en todo ℝ. La solución es restringir el dominio a una mitad donde sí lo sea. Si limitamos el dominio a x ≥ 0, la función pasa la regla de la recta horizontal y su inversa es f⁻¹(x) = √x. Esta es exactamente la razón por la que la raíz cuadrada se define solo con el valor positivo.
| Función original | Dominio restringido | Inversa resultante |
|---|---|---|
| f(x) = x2 | x ≥ 0 | f⁻¹(x) = √x |
| f(x) = sen x | −π/2 ≤ x ≤ π/2 | f⁻¹(x) = arcsen x |
| f(x) = cos x | 0 ≤ x ≤ π | f⁻¹(x) = arccos x |
Error frecuente
Confundir la función inversa f⁻¹(x) con el recíproco 1/f(x). El exponente −1 en f⁻¹ es notación de "función inversa", no de potencia. Para f(x) = x + 3, la inversa es f⁻¹(x) = x − 3, mientras que el recíproco 1/f(x) = 1/(x + 3) es algo completamente distinto. Solo cuando el contexto es trigonométrico —sen2x, por ejemplo— el exponente recupera su sentido de potencia; con el nombre de la función pelado, f⁻¹ siempre es la inversa.
Funciones autoinversas
Algunas funciones tienen la propiedad de ser su propia inversa: f⁻¹(x) = f(x). Equivalentemente, aplicar la función dos veces devuelve el punto de partida, f(f(x)) = x. A estas funciones se las llama autoinversas o involutivas, y su gráfico es simétrico respecto a la recta y = x (es su propio reflejo).
Ejemplos clásicos: f(x) = −x (la negación), f(x) = 1/x (el recíproco) y, más en general, f(x) = (ax + b)/(cx − a) para constantes adecuadas. La negación es la más sencilla: f(f(x)) = −(−x) = x.
Ejemplo 4 — verificar que una función es autoinversa. Comprueba que f(x) = 5/x, con x ≠ 0, es autoinversa.
- Calcula la composición f(f(x)): primero f(x) = 5/x.
- Sustituye ese resultado dentro de f de nuevo: f(5/x) = 5 / (5/x).
- Dividir entre una fracción es multiplicar por su inversa: 5 ÷ (5/x) = 5 · (x/5) = x.
- Como f(f(x)) = x, la función coincide con su inversa: es autoinversa.
- Comprobación independiente por el método del intercambio: y = 5/x ⇒ x = 5/y ⇒ y = 5/x. La inversa es idéntica a la función original. ✓
En la Prueba 1 de NS las preguntas de 2.14 suelen pedir tres cosas concretas: (i) clasificar la paridad mostrando el cálculo de f(−x) —no basta con decir "es par", hay que justificarlo—; (ii) hallar f⁻¹ indicando además su dominio, que es el recorrido de f; (iii) reconocer cuándo hace falta restringir el dominio para que la inversa exista. Si te piden la inversa de una cuadrática, casi siempre habrá una restricción de dominio escondida en el enunciado: léela con lupa. Y recuerda que el gráfico de f y el de f⁻¹ son reflejos respecto a y = x; si te dan el de f, el de la inversa se dibuja "espejando" sobre esa diagonal.