2.15 Inecuaciones g(x) ≥ f(x) (solo NS)

Resolver una ecuación f(x) = g(x) es buscar los puntos exactos donde dos curvas se cruzan. Resolver una inecuación g(x) ≥ f(x) es una pregunta más rica: no quieres los puntos de cruce, sino todos los tramos del eje x donde una curva va por encima de la otra. La respuesta ya no es un puñado de números, sino una unión de intervalos.

El subtema TANS 2.15 enseña a resolver inecuaciones del tipo g(x) ≥ f(x) por dos caminos: el gráfico, que consiste en comparar dos curvas y leer dónde una domina a la otra, y el algebraico, basado en pasar todo a un lado y estudiar el signo de la expresión resultante. La guía del IB precisa el reparto: los métodos analíticos se aplican a polinomios sencillos de grado 3 o menor; para funciones más complicadas se recurre a la tecnología.

El planteamiento: comparar dos gráficos

La idea geométrica

Imagina dibujadas en los mismos ejes las curvas y = f(x) e y = g(x). La desigualdad g(x) ≥ f(x) se cumple exactamente en los valores de x donde la curva de g queda por encima o sobre la de f. Los puntos de corte —donde f(x) = g(x)— son las fronteras: separan el eje x en intervalos, y dentro de cada intervalo la relación de altura entre las dos curvas no cambia. Basta entonces comprobar un solo punto de cada intervalo para saber qué pasa en todo él.

Esta es la clave que vuelve manejable cualquier inecuación: entre dos puntos de corte consecutivos, o bien g está siempre arriba, o bien siempre abajo. Nunca a medias. Por eso resolver una inecuación se reduce a (1) hallar los puntos de corte y (2) decidir el "ganador" en cada tramo.

Desigualdad estricta y extremos

Un detalle que cuesta marcas: el tipo de desigualdad decide si los puntos de corte entran en la solución. En g(x) ≥ f(x) los puntos donde g(x) = f(x) sí cumplen la desigualdad (es no estricta), así que se incluyen con corchete cerrado. En g(x) > f(x) esos mismos puntos no la cumplen y se excluyen con paréntesis abierto. Conviene escribir la solución en notación de intervalos cuidando esa distinción: [a, b] frente a (a, b).

Los dos métodos en la práctica

Método algebraico: polinomios de grado ≤ 3

Para inecuaciones con polinomios sencillos —grado 3 o menos— el método analítico es directo: se pasa todo a un lado, se factoriza la expresión y se construye un cuadro de signos con los ceros de cada factor.

Ejemplo 1 — inecuación cuadrática. Resuelve x² + 2x ≥ 8.

1. Pasa todo a un lado: x² + 2x − 8 ≥ 0.
2. Factoriza: x² + 2x − 8 = (x + 4)(x − 2). Los ceros son x = −4 y x = 2.
3. Esos ceros dividen el eje en tres intervalos. Prueba un valor en cada uno:
   • x = −5: (−1)(−7) = 7 > 0 ✓
   • x = 0: (4)(−2) = −8 < 0 ✗
   • x = 3: (7)(1) = 7 > 0 ✓
4. La expresión es ≥ 0 en los tramos exteriores. Como la desigualdad es no estricta, los ceros se incluyen.
5. Solución: x ≤ −4 o x ≥ 2, es decir (−∞, −4] ∪ [2, +∞).

Ejemplo 2 — inecuación cúbica. Resuelve x³ ≥ 4x.

1. Pasa todo a un lado: x³ − 4x ≥ 0.
2. Factoriza sacando factor común y diferencia de cuadrados: x(x² − 4) = x(x − 2)(x + 2). Ceros: −2, 0 y 2.
3. Cuadro de signos con cuatro intervalos:
   • x = −3: (−3)(−5)(−1) = −15 < 0 ✗
   • x = −1: (−1)(−3)(1) = 3 > 0 ✓
   • x = 1: (1)(−1)(3) = −3 < 0 ✗
   • x = 3: (3)(1)(5) = 15 > 0 ✓
4. La expresión es ≥ 0 en el segundo y el cuarto intervalo; los ceros se incluyen (desigualdad no estricta).
5. Solución: −2 ≤ x ≤ 0 o x ≥ 2, es decir [−2, 0] ∪ [2, +∞).

Método gráfico y uso de la tecnología

Cuando las funciones no son polinomios sencillos —aparecen exponenciales, logaritmos, trigonométricas o racionales de grado alto— el método algebraico se vuelve poco práctico. La guía del IB indica explícitamente que ahí se recurre a la tecnología: se introducen las dos funciones en la calculadora gráfica, se localizan los puntos de corte con la herramienta de intersección y se lee directamente en pantalla qué curva domina en cada tramo.

Ejemplo 3 — comparar dos funciones distintas con apoyo gráfico. Resuelve la inecuación 2^x ≥ x + 2.

1. Define las dos curvas: g(x) = 2^x (exponencial) y f(x) = x + 2 (recta).
2. Busca los puntos de corte resolviendo 2^x = x + 2. Por tanteo: en x = 2, 2² = 4 y 2 + 2 = 4 ⇒ corte en x = 2. En x = −2, 2⁻² = 0,25 y −2 + 2 = 0 ⇒ no es corte exacto; la calculadora da el otro corte en x ≈ −1,69.
3. Los dos cortes dividen el eje en tres tramos. Prueba un punto de cada uno:
   • x = −3: 2⁻³ = 0,125 frente a −3 + 2 = −1. Como 0,125 ≥ −1 ✓
   • x = 0: 2⁰ = 1 frente a 0 + 2 = 2. Como 1 < 2 ✗
   • x = 3: 2³ = 8 frente a 3 + 2 = 5. Como 8 ≥ 5 ✓
4. La exponencial domina en los tramos exterior izquierdo y derecho; los cortes se incluyen.
5. Solución: x ≤ −1,69 o x ≥ 2 (el extremo izquierdo con 3 cifras significativas, como pide el IB en respuestas obtenidas con calculadora).

Ejemplo 4 — inecuación con función racional. Resuelve (x − 1)/(x + 2) ≤ 0.

1. El cociente es ≤ 0 cuando numerador y denominador tienen signos opuestos (o el numerador es 0).
2. Cero del numerador: x = 1. Valor prohibido (cero del denominador): x = −2.
3. Cuadro de signos con tres intervalos:
   • x = −3: (−4)/(−1) = 4 > 0 ✗
   • x = 0: (−1)/(2) = −0,5 < 0 ✓
   • x = 2: (1)/(4) = 0,25 > 0 ✗
4. El cociente es ≤ 0 en el intervalo central. El extremo x = 1 se incluye (allí el cociente vale 0); el extremo x = −2 se excluye (no pertenece al dominio).
5. Solución: −2 < x ≤ 1, es decir (−2, 1].