Una de las ideas más rentables del Tema 2 es que no hace falta partir de cero cada vez que aparece una función nueva. Si conoces el gráfico de y = f(x), puedes deducir el de muchas funciones emparentadas aplicándole transformaciones predecibles. El Nivel Superior amplía el catálogo de NM con cinco transformaciones de especial interés, todas ellas construidas a partir de una sola curva de referencia.
El subtema TANS 2.16 estudia cómo se obtienen, a partir de y = f(x), los gráficos de y = |f(x)|, y = f(|x|), y = 1/f(x), y = f(ax + b) e y = [f(x)]2. Como cierre, aplica el valor absoluto a la resolución de ecuaciones e inecuaciones con módulos. Es el último subtema del Tema 2 y consolida toda la familia de transformaciones.
Transformaciones con módulo y recíproco
y = |f(x)|: doblar hacia arriba
El gráfico de y = |f(x)| se obtiene del de y = f(x) con una regla sencilla: todo lo que esté por encima o sobre el eje x se queda como está; todo lo que esté por debajo del eje x se refleja hacia arriba respecto a ese eje. La razón es que el valor absoluto nunca devuelve un número negativo, así que la curva resultante jamás baja del eje x. Los ceros de f(x) se conservan y se convierten en picos (vértices angulosos) del nuevo gráfico.
y = f(|x|): copiar el lado derecho a la izquierda
El gráfico de y = f(|x|) funciona de forma muy distinta, y conviene no confundirlo con el anterior. Como |x| = |−x|, la función f(|x|) es necesariamente par: su gráfico es simétrico respecto al eje y. La construcción es: se conserva intacto el trozo del gráfico de f con x ≥ 0 y se descarta el de x < 0, sustituyéndolo por el reflejo de la parte derecha en el eje y.
|f(x)| frente a f(|x|): la diferencia clave
- y = |f(x)| actúa sobre la salida: refleja en el eje x los tramos negativos. La parte ya positiva no se toca.
- y = f(|x|) actúa sobre la entrada: borra el lado izquierdo y lo reemplaza por el reflejo del derecho en el eje y. El resultado es siempre una función par.
Regla mnemotécnica: el módulo fuera de f afecta a las alturas (eje x); el módulo dentro de f afecta a las anchuras (eje y).
Ejemplo 1 — comparar las dos transformaciones. Sea f(x) = x − 2, una recta que corta el eje x en (2, 0). Describe y = |f(x)| e y = f(|x|).
- y = |x − 2|: la recta baja del eje x para x < 2; ese trozo se refleja hacia arriba. El resultado es una "V" con vértice en (2, 0).
- Comprobación de un punto: f(0) = −2 está bajo el eje; |f(0)| = 2, en efecto reflejado a altura +2.
- y = f(|x|) = |x| − 2: se conserva el lado x ≥ 0 (la recta x − 2) y se refleja en el eje y para x < 0. El resultado es también una "V", pero con vértice en (0, −2).
- Comprobación: en x = −3, f(|−3|) = f(3) = 3 − 2 = 1, igual que en x = 3. Simetría respecto al eje y confirmada.
y = 1/f(x): el gráfico recíproco
El gráfico de y = 1/f(x) se relaciona con el de y = f(x) mediante cuatro reglas fáciles de recordar.
| En y = f(x)… | …en y = 1/f(x) se convierte en |
|---|---|
| Un cero, f(x) = 0 | Una asíntota vertical (1/0 no está definido). |
| Una asíntota vertical | Un cero (1/∞ → 0). |
| El punto donde f(x) = 1 | Un punto fijo: queda igual (1/1 = 1). |
| El punto donde f(x) = −1 | Otro punto fijo: queda igual (1/(−1) = −1). |
Además, el recíproco respeta el signo: donde f es positiva, 1/f también lo es; donde f es negativa, 1/f también. Y donde f crece, 1/f decrece, y viceversa: los máximos locales se vuelven mínimos locales y al revés (un máximo de f en y = 3 da un mínimo de 1/f en y = 1/3).
Ejemplo 2 — esbozar un recíproco. A partir de f(x) = x2 − 4, describe el gráfico de y = 1/(x2 − 4).
- Ceros de f: x2 − 4 = 0 ⇒ x = ±2. Esos se convierten en asíntotas verticales de 1/f en x = −2 y x = 2.
- El mínimo de f es f(0) = −4. El recíproco tiene ahí un máximo local en y = 1/(−4) = −0,25.
- Cuando x → ±∞, f → +∞, así que 1/f → 0+: la recta y = 0 es asíntota horizontal del recíproco.
- Signos: f < 0 en (−2, 2), luego 1/f también es negativa ahí; f > 0 fuera de ese intervalo, y 1/f también.
- Comprobación: f(3) = 9 − 4 = 5, así que 1/f(3) = 0,2 > 0 ✓; f(0) = −4, 1/f(0) = −0,25 < 0 ✓.
y = f(ax + b) e y = [f(x)]²
La transformación y = f(ax + b) combina una dilatación horizontal de factor 1/a con una traslación. Conviene escribir el argumento como a(x + b/a): el factor a comprime el gráfico horizontalmente hacia el eje y (si |a| > 1) o lo estira (si |a| < 1), y el término b/a lo traslada. Si a es negativo, además hay una reflexión en el eje y.
La transformación y = [f(x)]2 eleva al cuadrado la salida. Como el cuadrado nunca es negativo, el gráfico resultante queda íntegramente sobre el eje x —igual que con |f(x)|— pero el efecto es más acusado: los valores entre −1 y 1 se acercan al eje (porque al cuadrado son más pequeños) y los valores grandes se disparan. Los ceros de f siguen siendo ceros de [f(x)]2, pero ahora la curva los toca sin atravesarlos, formando mínimos.
Ecuaciones e inecuaciones con módulos
Resolver ecuaciones modulares
Una ecuación con valor absoluto se resuelve desdoblando el módulo en sus dos casos. La igualdad |A| = k (con k ≥ 0) equivale a A = k o A = −k: el contenido del módulo puede valer k o su opuesto. Si k < 0 la ecuación no tiene solución, porque un valor absoluto nunca es negativo.
Ejemplo 3 — ecuación con un módulo. Resuelve |2x − 3| = 5.
- Desdobla en dos casos: 2x − 3 = 5 o bien 2x − 3 = −5.
- Primer caso: 2x − 3 = 5 ⇒ 2x = 8 ⇒ x = 4.
- Segundo caso: 2x − 3 = −5 ⇒ 2x = −2 ⇒ x = −1.
- Comprobación: |2·4 − 3| = |5| = 5 ✓; |2·(−1) − 3| = |−5| = 5 ✓.
- Soluciones: x = 4 y x = −1.
Resolver inecuaciones modulares
Las inecuaciones modulares se interpretan mejor como distancias. La desigualdad |A| < k (con k > 0) dice que el contenido A está a distancia menor que k del cero, es decir −k < A < k. Al revés, |A| > k dice que A está a más de k del cero, lo que da dos tramos: A < −k o A > k.
Las dos reglas de las inecuaciones con módulo
- |A| < k (con k > 0) ⇔ −k < A < k. Solución en un único intervalo "entre".
- |A| > k (con k > 0) ⇔ A < −k o A > k. Solución en dos tramos "fuera".
Las versiones no estrictas (≤, ≥) funcionan igual cambiando < por ≤ e incluyendo los extremos.
Ejemplo 4 — inecuación con módulo. Resuelve |x − 1| < 3.
- Es del tipo |A| < k con A = x − 1 y k = 3. Aplica la primera regla: −3 < x − 1 < 3.
- Suma 1 a las tres partes de la desigualdad: −3 + 1 < x < 3 + 1.
- Resultado: −2 < x < 4, el intervalo (−2, 4).
- Interpretación geométrica: son los puntos a distancia menor que 3 del número 1, lo cual confirma el centro 1 y el radio 3 del intervalo.
- Comprobación de un valor interior: x = 0 da |0 − 1| = 1 < 3 ✓; de un valor exterior: x = 5 da |5 − 1| = 4 > 3 ✗.
Error frecuente
Tratar |f(x)| y f(|x|) como si fueran la misma transformación. Son distintas: |f(x)| refleja en el eje x los tramos negativos y deja la función pudiendo no ser par; f(|x|) refleja en el eje y y siempre produce una función par. Para f(x) = x − 2 vimos que |f(x)| es una "V" con vértice en (2, 0), mientras f(|x|) es una "V" con vértice en (0, −2): ni siquiera coinciden de forma. Lee con cuidado dónde está el módulo: fuera de f o dentro.
En la Prueba 1 de NS te pueden dar el gráfico genérico de una y = f(x) sin fórmula y pedir que dibujes una transformación. La estrategia infalible: localiza primero los puntos clave de f —ceros, máximos, mínimos, asíntotas, cortes con los ejes— y transfórmalos uno a uno con la regla correspondiente; luego une los puntos transformados. Para el recíproco 1/f, marca dónde f vale 1 y −1 (puntos fijos) antes que nada. Para las ecuaciones e inecuaciones con módulo, desdobla siempre en los dos casos y comprueba las soluciones sustituyendo: el desdoblamiento a veces introduce soluciones falsas que la comprobación elimina. Y en la Prueba 2, confirma cualquier esbozo con la calculadora gráfica.