En el plano, una recta se describe cómodamente con y = mx + c. En el espacio tridimensional esa fórmula deja de servir: una sola ecuación de tres variables describe un plano, no una recta. La solución es cambiar de lenguaje y usar vectores. Una recta queda perfectamente determinada por dos datos: un punto por el que pasa y una dirección. La ecuación vectorial empaqueta exactamente esos dos datos.
El subtema TANS 3.14 introduce la herramienta con la que se trabaja toda la geometría de rectas y planos del Nivel Superior. La idea es sencilla y vale la pena tenerla clara desde el principio: para llegar a cualquier punto de la recta, se parte de un punto conocido y se avanza una cantidad variable en la dirección de la recta. Esa «cantidad variable» es el parámetro, y según cuánto valga se obtiene un punto u otro.
La ecuación de la recta en sus tres formas
La ecuación vectorial r = a + λb
Sea una recta que pasa por un punto A, de vector de posición a, y que tiene la dirección del vector b. Cualquier punto R de la recta se alcanza partiendo de A y desplazándose un múltiplo de b. Como ese múltiplo puede ser cualquier número real, se introduce un parámetro λ.
Ecuación vectorial de una recta
r = a + λb, λ ∈ ℝ
donde a es el vector de posición de un punto conocido de la recta, b es el vector director (la dirección) y λ es un parámetro real. Cada valor de λ produce un punto distinto; recorriendo todos los reales se obtiene la recta completa. La fórmula vale igual en 2D y en 3D.
Dos observaciones importantes. Primera: el punto A no es único —cualquier otro punto de la recta serviría como a—. Segunda: el vector director tampoco es único —cualquier múltiplo no nulo de b, como 2b o −b, da la misma recta—. Por eso dos ecuaciones vectoriales de aspecto distinto pueden describir la misma recta.
Ejemplo 1 — escribir la ecuación vectorial. Halla la ecuación vectorial de la recta que pasa por A(2, −1, 3) y B(5, 1, −1).
- Toma como punto conocido A: el vector de posición es a = (2, −1, 3).
- Como vector director sirve AB = b − a = (5 − 2, 1 − (−1), −1 − 3) = (3, 2, −4).
- Escribe la ecuación: r = (2, −1, 3) + λ(3, 2, −4), con λ ∈ ℝ.
- Comprobación: con λ = 0 se obtiene A(2, −1, 3); con λ = 1 se obtiene (5, 1, −1) = B. ✓ Ambos puntos están en la recta.
La forma paramétrica
Escribir la ecuación vectorial componente a componente da la forma paramétrica. Si a = (x0, y0, z0) y b = (l, m, n), igualando cada coordenada se obtiene:
Forma paramétrica
x = x0 + λl y = y0 + λm z = z0 + λn
Son tres ecuaciones que dan cada coordenada de un punto de la recta en función del mismo parámetro λ. Es la forma más cómoda para sustituir valores y obtener puntos concretos, o para resolver intersecciones.
La forma cartesiana
Si las tres componentes del vector director son distintas de cero, se puede despejar λ de cada ecuación paramétrica: λ = (x − x0)/l, λ = (y − y0)/m y λ = (z − z0)/n. Como las tres expresiones valen lo mismo (todas son λ), se igualan:
Forma cartesiana
(x − x0)/l = (y − y0)/m = (z − z0)/n
Elimina el parámetro y deja la recta como una doble igualdad. Solo es válida si ninguna componente del director es cero; si alguna lo fuese, esa coordenada se mantiene constante y se escribe aparte.
Ejemplo 2 — pasar a paramétrica y cartesiana. Dada la recta r = (1, 4, −2) + λ(3, −1, 2), escríbela en forma paramétrica y cartesiana.
- Forma paramétrica, componente a componente: x = 1 + 3λ; y = 4 − λ; z = −2 + 2λ.
- Despeja λ de cada una: λ = (x − 1)/3; λ = (y − 4)/(−1); λ = (z + 2)/2.
- Iguala las tres expresiones para la forma cartesiana:
- (x − 1)/3 = (y − 4)/(−1) = (z + 2)/2.
Error frecuente
Tratar la posición y la dirección como si fuesen lo mismo. En r = a + λb, el vector a es un punto (un sitio del espacio) y b es una dirección (un sentido de avance). Sumar λ al vector de posición en lugar de al director, o usar el punto como dirección, descoloca toda la recta. Otro fallo habitual: al pasar a cartesiana, olvidar el signo del denominador cuando una componente del director es negativa —(y − 4)/(−1) no es lo mismo que (y − 4)/1—.
Ángulos y cinemática
El ángulo entre dos rectas
La dirección de una recta la lleva su vector director. Por tanto, el ángulo entre dos rectas es, sencillamente, el ángulo entre sus vectores directores, y se calcula con el producto escalar del subtema anterior.
Ángulo entre dos rectas
Si las rectas tienen vectores directores b1 y b2, el ángulo θ entre ellas cumple:
cos θ = |b1·b2| / (|b1| |b2|)
Se toma el valor absoluto del producto escalar para obtener siempre el ángulo agudo entre las rectas (entre 0° y 90°), que es la convención habitual.
Ejemplo 3 — ángulo entre dos rectas. Halla el ángulo agudo entre la recta de director b1 = (1, 2, 2) y la de director b2 = (2, −2, 1).
- Producto escalar: b1·b2 = 1·2 + 2·(−2) + 2·1 = 2 − 4 + 2 = 0.
- Como el producto escalar es 0, no hace falta seguir: cos θ = 0.
- El ángulo es θ = arccos(0) = 90°. Las dos rectas son perpendiculares.
Aplicación a la cinemática
La ecuación vectorial de la recta tiene una lectura física muy natural. Si un objeto se mueve en línea recta a velocidad constante, su posición en cada instante viene dada por r = a + tb, donde ahora el parámetro t es el tiempo.
| Elemento de r = a + tb | Significado geométrico | Significado cinemático |
|---|---|---|
| a | Vector de posición de un punto | Posición inicial (en t = 0) |
| b | Vector director | Vector velocidad |
| |b| | Módulo del director | Rapidez (módulo de la velocidad) |
| t | Parámetro real | Tiempo transcurrido |
Ejemplo 4 — problema de cinemática. Un dron sigue la trayectoria r = (1, 0, 5) + t(2, −1, 2), con la posición en metros y t en segundos. Halla su posición a los 3 s y su rapidez.
- Posición a los 3 s: sustituye t = 3. r = (1, 0, 5) + 3·(2, −1, 2) = (1 + 6, 0 − 3, 5 + 6) = (7, −3, 11) m.
- El vector velocidad es el director: b = (2, −1, 2).
- La rapidez es el módulo de la velocidad: |b| = √(22 + (−1)2 + 22) = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3.
- El dron está en (7, −3, 11) m y se mueve a una rapidez de 3 m/s.
Las preguntas de cinemática vectorial son muy frecuentes en la Prueba 2 del NS y se resuelven casi siempre con la misma rutina. Cuatro reflejos: (i) identifica de inmediato a = posición inicial y b = velocidad; (ii) «posición en el instante t» significa sustituir ese valor de t; (iii) «rapidez» es siempre |b|, un número, mientras que «velocidad» es el vector b; (iv) para el ángulo entre rectas usa el valor absoluto del producto escalar y comprueba que la calculadora esté en grados. Si dos directores son proporcionales, las rectas son paralelas y el ángulo es 0°.