3.15 Rectas en el espacio (solo NS)

En el plano, dos rectas solo pueden hacer dos cosas: o son paralelas o se cortan. El espacio tridimensional añade una posibilidad nueva y sorprendente: dos rectas pueden no ser paralelas y, aun así, no cortarse nunca. Son las rectas alabeadas, y existen porque en el espacio sobra «sitio» para que dos rectas pasen una por encima de la otra sin tocarse, como dos caminos a distinta altura.

El subtema TANS 3.15 enseña a clasificar la posición relativa de dos rectas del espacio: coincidentes, paralelas, secantes o alabeadas. La estrategia es siempre la misma y conviene memorizarla como un diagrama de decisión: primero se mira si los directores son paralelos; si no lo son, se intenta resolver el sistema de intersección. El resultado de esos dos pasos decide el caso sin ambigüedad.

Las cuatro posiciones relativas

Panorama: el árbol de decisión

Dos rectas del espacio caen siempre en una de cuatro categorías. La clasificación se apoya en dos preguntas encadenadas: ¿son paralelos los vectores directores? y, según la respuesta, ¿tienen algún punto en común?

Caso	¿Directores paralelos?	¿Puntos en común?
Coincidentes	Sí	Todos (son la misma recta)
Paralelas	Sí	Ninguno
Que se cortan (secantes)	No	Exactamente uno
Alabeadas	No	Ninguno

El cuadro deja ver la lógica. Si los directores son paralelos, las rectas solo pueden ser coincidentes o paralelas: la diferencia está en si comparten o no los puntos. Si los directores no son paralelos, las rectas solo pueden cortarse o ser alabeadas: la diferencia está en si el sistema de intersección tiene o no solución.

Directores paralelos: coincidentes o paralelas

Lo primero es comparar los vectores directores b₁ y b₂. Son paralelos si uno es múltiplo escalar del otro, es decir, si sus componentes son proporcionales. Cuando lo son, se toma un punto cualquiera de la primera recta y se comprueba si pertenece a la segunda:

Si el punto está en la segunda recta, las dos rectas son la misma: son coincidentes.
Si el punto no está en la segunda recta, las rectas tienen la misma dirección pero no se tocan: son paralelas.

Ejemplo 1 — distinguir coincidentes de paralelas. Clasifica las rectas r₁: r = (1, 2, 0) + λ(2, −1, 3) y r₂: r = (5, 0, 6) + μ(4, −2, 6).

Compara directores: (4, −2, 6) = 2·(2, −1, 3). Son proporcionales, así que los directores son paralelos.
Las rectas son coincidentes o paralelas. Comprueba si el punto (1, 2, 0) de r₁ está en r₂.
Plantea (1, 2, 0) = (5, 0, 6) + μ(4, −2, 6). De la primera componente: 1 = 5 + 4μ ⇒ μ = −1.
Verifica con las otras: segunda componente, 0 + (−2)·(−1) = 2 ✓; tercera, 6 + 6·(−1) = 0 ✓.
El punto (1, 2, 0) sí pertenece a r₂. Las rectas son coincidentes.

💡 Una sola componente no basta: al comprobar si un punto está en una recta, hallar el parámetro con una componente es solo el primer paso. Hay que verificar que ese mismo parámetro satisface las otras dos ecuaciones. Si una de ellas falla, el punto no está en la recta y las rectas son paralelas, no coincidentes.

Directores no paralelos: secantes o alabeadas

Si los directores no son proporcionales, las rectas no son ni coincidentes ni paralelas. Quedan dos opciones, y para distinguirlas se intenta encontrar un punto común resolviendo el sistema de las ecuaciones paramétricas.

Criterio para rectas no paralelas

Se igualan las ecuaciones paramétricas de las dos rectas, obteniendo un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas (los parámetros λ y μ).

Si el sistema tiene solución (un par λ, μ que cumple las tres ecuaciones): las rectas se cortan. Sustituyendo ese parámetro se obtiene el punto de intersección.
Si el sistema es incompatible (no hay ningún par que cumpla las tres a la vez): las rectas son alabeadas.

La técnica habitual: se resuelven dos de las tres ecuaciones para hallar λ y μ, y luego se sustituyen esos valores en la tercera ecuación. Si la tercera se cumple, hay intersección; si no se cumple, el sistema es incompatible y las rectas son alabeadas.

Hallar intersecciones y detectar rectas alabeadas

Rectas que se cortan: hallar el punto

Ejemplo 2 — rectas que se cortan. Determina si las rectas r₁: r = (1, 0, 2) + λ(1, 1, −1) y r₂: r = (2, −1, 5) + μ(2, 1, 1) se cortan, y, en su caso, halla el punto.

Los directores (1, 1, −1) y (2, 1, 1) no son proporcionales (1/2 ≠ 1/1), así que las rectas se cortan o son alabeadas.
Iguala las coordenadas. x: 1 + λ = 2 + 2μ (I) y: λ = −1 + μ (II) z: 2 − λ = 5 + μ (III).
Sustituye (II) en (I): 1 + (−1 + μ) = 2 + 2μ ⇒ μ = 2 + 2μ ⇒ −μ = 2 ⇒ μ = −2.
De (II): λ = −1 + (−2) = −3.
Comprueba en la tercera ecuación (III): lado izquierdo 2 − (−3) = 5; lado derecho 5 + (−2) = 3. Espera: 5 ≠ 3.
La tercera ecuación no se cumple, así que el sistema es incompatible: estas dos rectas son alabeadas, no se cortan.

El ejemplo anterior ilustra que la tercera ecuación es la juez. Veamos otro caso en el que el sistema vuelve a ser incompatible, para fijar el método antes de pasar a un caso secante.

Ejemplo 3 — comprobar si dos rectas se cortan. Determina si las rectas r₁: r = (3, 1, 2) + λ(1, 2, 1) y r₂: r = (4, −1, 0) + μ(2, −1, 1) se cortan.

Directores (1, 2, 1) y (2, −1, 1): no proporcionales (1/2 ≠ 2/(−1)). Se cortan o son alabeadas.
Iguala coordenadas. x: 3 + λ = 4 + 2μ (I) y: 1 + 2λ = −1 − μ (II) z: 2 + λ = 0 + μ (III).
De (III): μ = 2 + λ. Sustituye en (I): 3 + λ = 4 + 2(2 + λ) ⇒ 3 + λ = 8 + 2λ ⇒ −λ = 5 ⇒ λ = −5.
Entonces μ = 2 + (−5) = −3.
Verifica en (II): lado izquierdo 1 + 2·(−5) = −9; lado derecho −1 − (−3) = 2. −9 ≠ 2: la segunda ecuación falla.
El sistema es incompatible: estas rectas también son alabeadas.

💡 Comprobar siempre en la ecuación que sobra: con dos rectas en el espacio hay tres ecuaciones y solo dos incógnitas. Se usan dos ecuaciones para despejar λ y μ; la tercera no se usa para resolver, sino para verificar. Saltarse esa comprobación es el error que hace «encontrar» intersecciones que no existen.

Un caso que sí se corta

Ejemplo 4 — rectas secantes. Comprueba que r₁: r = (1, 2, 3) + λ(2, 1, 1) y r₂: r = (4, 8, 6) + μ(1, −1, 0) se cortan, y halla el punto de intersección.

Directores (2, 1, 1) y (1, −1, 0): no proporcionales. Se cortan o son alabeadas.
Iguala coordenadas. x: 1 + 2λ = 4 + μ (I) y: 2 + λ = 8 − μ (II) z: 3 + λ = 6 (III).
De (III): 3 + λ = 6 ⇒ λ = 3.
Sustituye λ = 3 en (II): 2 + 3 = 8 − μ ⇒ 5 = 8 − μ ⇒ μ = 3.
Verifica en la ecuación que sobra, (I): lado izquierdo 1 + 2·3 = 7; lado derecho 4 + 3 = 7. 7 = 7 ✓ — la ecuación restante se cumple.
El sistema es compatible: las rectas se cortan. Sustituye λ = 3 en r₁: (1 + 2·3, 2 + 3, 3 + 3) = (7, 5, 6).
El punto de intersección es (7, 5, 6). (Comprobación con r₂ y μ = 3: (4 + 3, 8 − 3, 6) = (7, 5, 6) ✓.)

Error frecuente

Concluir «se cortan» en cuanto se encuentra un par (λ, μ) que satisface dos ecuaciones. En el espacio, dos ecuaciones siempre tienen solución para dos incógnitas; lo decisivo es la tercera. Si la tercera no se cumple, las rectas son alabeadas aunque los parámetros «existan». Otro error: declarar dos rectas alabeadas sin haber comprobado antes que los directores no son paralelos —si lo fueran, serían paralelas o coincidentes, nunca alabeadas—.

Para el examen

Las preguntas de posición relativa del NS premian el método ordenado. Sigue siempre el árbol: (i) compara los directores —¿proporcionales?—; (ii) si lo son, prueba un punto de una recta en la otra para separar coincidentes de paralelas; (iii) si no lo son, monta las tres ecuaciones, resuelve λ y μ con dos de ellas y verifica en la tercera; (iv) si la tercera falla, escribe explícitamente «el sistema es incompatible, luego las rectas son alabeadas». El examinador busca esa frase de conclusión: deja siempre escrito el caso al que llegas.