El producto escalar del subtema 3.13 toma dos vectores y devuelve un número. El producto vectorial hace algo radicalmente distinto: toma dos vectores y devuelve un tercer vector, perpendicular a los dos primeros. Esa propiedad —generar una dirección perpendicular a un plano— es justo lo que se necesita para describir planos, calcular áreas y, en física, modelar el momento de una fuerza o el campo magnético.
El subtema TANS 3.16 cierra el bloque de vectores del Nivel Superior y es la antesala directa de las ecuaciones de planos. La idea clave: dados dos vectores que «generan» un plano, su producto vectorial apunta fuera de ese plano, en perpendicular. Aprende a calcularlo por componentes, a interpretar su módulo como un área y a usarlo como criterio de paralelismo.
Definición y cálculo del producto vectorial
Las dos caras de la definición
Como el producto escalar, el producto vectorial admite una definición geométrica y una fórmula por componentes. La geométrica explica qué es; la de componentes permite calcularlo.
Producto vectorial: definición geométrica
v×w = |v| |w| sen θ · n
donde θ es el ángulo entre v y w, y n es el vector unitario normal al plano que contiene a v y w, con el sentido que da la regla de la mano derecha: si los dedos de la mano derecha giran de v hacia w, el pulgar señala el sentido de v×w. El resultado es un vector, perpendicular tanto a v como a w.
Para calcularlo en la práctica se usa la fórmula por componentes. Si v = (v1, v2, v3) y w = (w1, w2, w3):
Producto vectorial por componentes
v×w = (v2w3 − v3w2, v3w1 − v1w3, v1w2 − v2w1)
Cada componente del resultado es una resta cruzada de las otras dos componentes. Conviene observar el patrón: la primera componente «se salta» los índices 1, la segunda «se salta» los índices 2 (y lleva el orden invertido), y la tercera «se salta» los índices 3.
Ejemplo 1 — producto vectorial por componentes. Calcula v×w para v = (1, 2, 3) y w = (4, 5, 6).
- Primera componente: v2w3 − v3w2 = 2·6 − 3·5 = 12 − 15 = −3.
- Segunda componente: v3w1 − v1w3 = 3·4 − 1·6 = 12 − 6 = 6.
- Tercera componente: v1w2 − v2w1 = 1·5 − 2·4 = 5 − 8 = −3.
- El producto vectorial es v×w = (−3, 6, −3).
- Comprobación de perpendicularidad: (v×w)·v = (−3)·1 + 6·2 + (−3)·3 = −3 + 12 − 9 = 0 ✓. El resultado es perpendicular a v (y, análogamente, a w).
El producto vectorial es anticonmutativo
Aquí aparece la diferencia más llamativa con el producto escalar. El producto escalar es conmutativo (v·w = w·v); el vectorial no lo es: al cambiar el orden de los factores, el resultado cambia de signo. La razón geométrica es la regla de la mano derecha: girar de w hacia v es el giro opuesto a girar de v hacia w, así que el pulgar apunta al revés.
Ejemplo 2 — comprobar la anticonmutatividad. Con los vectores del Ejemplo 1, calcula w×v y compáralo con v×w.
- Primera componente de w×v: w2v3 − w3v2 = 5·3 − 6·2 = 15 − 12 = 3.
- Segunda componente: w3v1 − w1v3 = 6·1 − 4·3 = 6 − 12 = −6.
- Tercera componente: w1v2 − w2v1 = 4·2 − 5·1 = 8 − 5 = 3.
- Resultado: w×v = (3, −6, 3) = −(−3, 6, −3) = −(v×w). ✓ Se confirma que w×v = −(v×w).
Propiedades e interpretación geométrica
Las propiedades del producto vectorial
| Propiedad | Producto vectorial | Comparar con el escalar |
|---|---|---|
| Orden de los factores | v×w = −(w×v) (anticonmutativo) | v·w = w·v (conmutativo) |
| Distributiva | u×(v + w) = u×v + u×w | También distributivo |
| Con un escalar | (kv)×w = k(v×w) | Igual: el escalar sale fuera |
| De un vector consigo mismo | v×v = 0 (el vector nulo) | v·v = |v|² (un escalar) |
La última fila merece atención. El producto vectorial de un vector consigo mismo es el vector nulo, porque el ángulo es 0° y sen 0° = 0. Y, de forma más general, esto da un criterio de paralelismo muy útil.
Criterio de paralelismo
Para dos vectores no nulos v y w:
v×w = 0 ⇔ v y w son paralelos
La razón: v×w = 0 obliga a sen θ = 0, es decir θ = 0° o θ = 180°, que es precisamente la condición de paralelismo. Compáralo con el escalar, donde la perpendicularidad se detecta con v·w = 0. Producto escalar nulo ⇒ perpendiculares; producto vectorial nulo ⇒ paralelos.
Error frecuente
Confundir cuándo se anula cada producto. Mucha gente recuerda «producto = 0 significa algo especial» pero invierte la pareja: el producto escalar nulo indica vectores perpendiculares; el producto vectorial nulo indica vectores paralelos. Tiene sentido geométrico: el escalar mide cos θ (cero en 90°), el vectorial mide sen θ (cero en 0° y 180°). Otro fallo: escribir «v×v = 0» con el cero escalar; el resultado de un producto vectorial es un vector, así que es 0 = (0, 0, 0), el vector nulo.
El módulo del producto vectorial: un área
De la definición geométrica, el módulo del producto vectorial es |v×w| = |v||w|sen θ (ya que |n| = 1). Esa expresión tiene un significado muy concreto: es el área del paralelogramo que tiene a v y w como lados.
Áreas con el producto vectorial
Paralelogramo de lados v y w: Área = |v×w|
Triángulo de lados v y w: Área = ½ |v×w|
El triángulo es la mitad del paralelogramo, de ahí el factor ½. Para hallar el área de un triángulo dado por sus tres vértices, se construyen dos vectores de desplazamiento desde un vértice común y se aplica esta fórmula.
Ejemplo 3 — área de un paralelogramo. Halla el área del paralelogramo cuyos lados son los vectores v = (2, 1, 0) y w = (1, 3, 2).
- Calcula v×w. Primera componente: 1·2 − 0·3 = 2 − 0 = 2.
- Segunda componente: 0·1 − 2·2 = 0 − 4 = −4.
- Tercera componente: 2·3 − 1·1 = 6 − 1 = 5. Así v×w = (2, −4, 5).
- El área es el módulo: |v×w| = √(22 + (−4)2 + 52) = √(4 + 16 + 25) = √45.
- El área del paralelogramo es √45 = 3√5 ≈ 6,71 unidades cuadradas.
Ejemplo 4 — área de un triángulo por sus vértices. Halla el área del triángulo de vértices A(1, 0, 2), B(3, 1, 2) y C(2, 4, 5).
- Construye dos vectores desde el vértice común A: AB = b − a = (3 − 1, 1 − 0, 2 − 2) = (2, 1, 0).
- El segundo: AC = c − a = (2 − 1, 4 − 0, 5 − 2) = (1, 4, 3).
- Calcula AB×AC. Primera componente: 1·3 − 0·4 = 3 − 0 = 3.
- Segunda componente: 0·1 − 2·3 = 0 − 6 = −6.
- Tercera componente: 2·4 − 1·1 = 8 − 1 = 7. Así AB×AC = (3, −6, 7).
- Módulo: |AB×AC| = √(32 + (−6)2 + 72) = √(9 + 36 + 49) = √94.
- El área del triángulo es la mitad: ½√94 ≈ 4,85 unidades cuadradas.
El producto vectorial es la herramienta de cierre del bloque y reaparece en cuanto entran los planos. Cuatro reflejos: (i) tras calcular v×w, verifica con un producto escalar que es perpendicular a v y a w —da 0 si está bien—; (ii) para el área de un triángulo dado por tres vértices, forma dos vectores desde un mismo vértice y aplica ½|AB×AC|; (iii) recuerda el reparto de criterios: escalar 0 ⇒ perpendiculares, vectorial 0 ⇒ paralelos; (iv) cuida los signos de la componente central, que lleva el orden invertido (v3w1 − v1w3) y es donde se concentran la mayoría de los errores.