Una recta en el espacio se describe con un punto y una sola dirección. Un plano necesita un grado de libertad más: para recorrerlo entero hacen falta dos direcciones independientes. Esa diferencia, aparentemente pequeña, explica por qué un plano admite tres representaciones distintas —paramétrica, normal y cartesiana— y por qué saber pasar de una a otra es una de las destrezas más rentables del Tema 3 en NS.
El subtema 3.17 cierra el bloque de geometría vectorial enseñándote a manejar planos con la misma soltura con la que ya manejas rectas. La pieza nueva es el vector normal: un único vector perpendicular al plano que captura toda su orientación. Aprenderás a obtenerlo con el producto vectorial, a escribir las tres formas y a traducir entre ellas; el subtema 3.18 usará esas destrezas para calcular intersecciones y ángulos.
Las tres formas de describir un plano
Forma paramétrica: r = a + λb + μc
La idea de partida es la misma que en la ecuación vectorial de la recta, pero con dos parámetros. Si a es el vector de posición de un punto conocido del plano y b, c son dos vectores no paralelos contenidos en él, entonces cualquier punto del plano se alcanza partiendo de a y avanzando una cantidad λ en la dirección de b y una cantidad μ en la dirección de c:
Ecuación vectorial paramétrica del plano
r = a + λb + μc, con λ, μ ∈ ℝ.
- a — vector de posición de un punto cualquiera del plano.
- b, c — dos vectores directores no paralelos contenidos en el plano (si fueran paralelos generarían solo una recta).
- λ, μ — parámetros reales independientes. Cada par (λ, μ) localiza un único punto; al recorrerlos todos se barre el plano completo.
Escrita por componentes, con a = (a1, a2, a3), queda un sistema de tres ecuaciones: x = a1 + λb1 + μc1, e igual para y y z.
La condición de que b y c no sean paralelos es esencial. Dos vectores paralelos apuntan, en esencia, en una sola dirección: combinándolos solo se obtiene una recta. Hacen falta dos direcciones genuinamente distintas para «abrir» la segunda dimensión del plano.
Ejemplo 1 — escribir la forma paramétrica. Halla la ecuación vectorial paramétrica del plano que pasa por el punto P(3, −1, 2) y contiene los vectores b = (1, 2, −1) y c = (2, 0, 1).
- Comprueba que b y c no son paralelos: no existe ningún escalar k con (1, 2, −1) = k(2, 0, 1), porque la segunda componente exigiría 2 = 0. Son válidos como directores.
- Toma a = (3, −1, 2) como vector de posición del punto del plano.
- La ecuación es r = (3, −1, 2) + λ(1, 2, −1) + μ(2, 0, 1).
- Por componentes: x = 3 + λ + 2μ, y = −1 + 2λ, z = 2 − λ + μ.
Plano a partir de tres puntos
Tres puntos no alineados determinan un plano único. Si conoces A, B y C, basta convertir dos de las distancias entre ellos en vectores directores: los vectores AB = B − A y AC = C − A están contenidos en el plano y, si los tres puntos no están alineados, no son paralelos. Eliges cualquiera de los tres como punto base y ya tienes la forma paramétrica.
Forma normal: r·n = a·n
La forma paramétrica describe el plano «desde dentro», recorriéndolo. La forma normal lo describe «desde fuera», con una condición de perpendicularidad. Sea n un vector normal al plano —perpendicular a todo vector contenido en él— y a el vector de posición de un punto fijo. Para cualquier punto r del plano, el vector r − a está contenido en el plano, luego es perpendicular a n:
Forma normal (escalar) del plano
(r − a)·n = 0 ⇔ r·n = a·n
El producto escalar a·n es una constante; llamémosla d. Toda la información del plano cabe en dos datos: la dirección del normal n y el número d.
Ecuación cartesiana: ax + by + cz = d
Si escribes la forma normal por componentes, con n = (a, b, c) y r = (x, y, z), el producto escalar r·n se desarrolla en ax + by + cz, y obtienes la ecuación cartesiana:
ax + by + cz = d
Es la forma más compacta y la más útil para resolver intersecciones (subtema 3.18). El detalle clave es que los coeficientes de x, y, z son exactamente las componentes de un vector normal. Mirar una ecuación cartesiana y leer su normal es inmediato: el plano 2x − 3y + z = 7 tiene normal n = (2, −3, 1).
Pasar de una forma a otra
De paramétrica a cartesiana: el producto vectorial
El puente entre las dos formas es el producto vectorial. Dados los directores b y c de la forma paramétrica, el vector b × c es perpendicular a ambos y, por tanto, perpendicular a todo el plano: es un vector normal. Con él y un punto del plano se escribe directamente la cartesiana.
| Forma | Expresión | Cuándo conviene usarla |
|---|---|---|
| Paramétrica | r = a + λb + μc | Generar puntos del plano; partir de tres puntos o de dos rectas. |
| Normal | r·n = a·n | Comprobar pertenencia; razonar sobre orientación y perpendicularidad. |
| Cartesiana | ax + by + cz = d | Resolver intersecciones, calcular ángulos y distancias. |
Ejemplo 2 — de paramétrica a cartesiana. Pasa a forma cartesiana el plano r = (3, −1, 2) + λ(1, 2, −1) + μ(2, 0, 1) del Ejemplo 1.
- Calcula el normal como producto vectorial n = b × c con b = (1, 2, −1), c = (2, 0, 1):
- componente x: (2)(1) − (−1)(0) = 2
- componente y: (−1)(2) − (1)(1) = −3
- componente z: (1)(0) − (2)(2) = −4
- Calcula d = a·n con a = (3, −1, 2): d = (3)(2) + (−1)(−3) + (2)(−4) = 6 + 3 − 8 = 1.
- La ecuación cartesiana es 2x − 3y − 4z = 1.
- Verificación: el punto P(3, −1, 2) debe cumplirla: 2(3) − 3(−1) − 4(2) = 6 + 3 − 8 = 1. ✓
Ejemplo 3 — plano por tres puntos hasta la cartesiana. Halla la ecuación cartesiana del plano que pasa por A(1, 0, 2), B(3, 1, 2) y C(2, −1, 4).
- Construye dos directores: AB = B − A = (2, 1, 0) y AC = C − A = (1, −1, 2). No son paralelos, luego los tres puntos no están alineados.
- Normal n = AB × AC:
- componente x: (1)(2) − (0)(−1) = 2
- componente y: (0)(1) − (2)(2) = −4
- componente z: (2)(−1) − (1)(1) = −3
- d = A·n = (1)(2) + (0)(−4) + (2)(−3) = 2 + 0 − 6 = −4.
- Ecuación cartesiana: 2x − 4y − 3z = −4.
- Verificación con B y C: para B(3, 1, 2): 2(3) − 4(1) − 3(2) = 6 − 4 − 6 = −4 ✓; para C(2, −1, 4): 2(2) − 4(−1) − 3(4) = 4 + 4 − 12 = −4 ✓.
Error frecuente
Calcular bien el normal n pero olvidar el segundo paso y escribir ax + by + cz = 0. El término independiente d casi nunca es cero: solo lo es cuando el plano pasa por el origen. Tienes que sustituir un punto conocido del plano en ax + by + cz para obtener d. Y al revés, si d = 0 al final, comprueba que sea coherente con tu punto, no lo des por hecho.
De cartesiana a paramétrica
El recorrido inverso también aparece en el examen. Partiendo de ax + by + cz = d, necesitas un punto del plano y dos directores. El punto se obtiene asignando valores cómodos a dos variables y despejando la tercera. Los directores son cualesquiera dos vectores perpendiculares al normal n = (a, b, c) y no paralelos entre sí; se hallan buscando soluciones de ax + by + cz = 0.
Ejemplo 4 — de cartesiana a paramétrica. Escribe en forma paramétrica el plano x − 2y + 2z = 4.
- Un punto del plano: haz y = 0 y z = 0, entonces x = 4. El punto es a = (4, 0, 0).
- El normal es n = (1, −2, 2). Busca dos directores con producto escalar nulo contra n.
- Director b = (2, 1, 0): b·n = (2)(1) + (1)(−2) + (0)(2) = 2 − 2 + 0 = 0 ✓.
- Director c = (0, 1, 1): c·n = (0)(1) + (1)(−2) + (1)(2) = 0 − 2 + 2 = 0 ✓.
- Forma paramétrica: r = (4, 0, 0) + λ(2, 1, 0) + μ(0, 1, 1).
En la Prueba 1 de NS, los problemas de planos casi siempre se resuelven más rápido en forma cartesiana. Tres reflejos rinden marcas: (i) ante tres puntos o dos directores, calcula el normal con el producto vectorial sin dudar; (ii) tras hallar n, sustituye un punto para obtener d —no asumas d = 0; (iii) verifica siempre la cartesiana con un segundo punto del plano: es un control de medio minuto que detecta errores de signo en el producto vectorial, la equivocación más común aquí. Si el enunciado da la respuesta en paramétrica, pásala a cartesiana antes de operar con ella.