Hasta ahora has aprendido a describir rectas y planos. El subtema 3.18 te enseña a cruzarlos: dónde corta una recta a un plano, qué recta comparten dos planos, qué tienen en común tres planos a la vez. Cada una de estas preguntas se traduce en un sistema de ecuaciones, y la respuesta geométrica —un punto, una recta, nada— es exactamente lo que el álgebra de TANS 1.16 llama solución única, infinitas soluciones o sistema incompatible.
Es el último subtema del Tema 3 y el que mejor une las dos mitades del curso de NS: la geometría vectorial del bloque 3 y la resolución de sistemas lineales del bloque 1. Verás también cómo medir ángulos entre objetos del espacio combinando el producto escalar con la idea de vector normal del subtema anterior.
Intersecciones: de la geometría al sistema
Recta y plano
Para cortar una recta r = p + td con un plano ax + by + cz = k, sustituyes las coordenadas paramétricas de la recta en la ecuación del plano. Queda una sola ecuación con la incógnita t. El número de soluciones de esa ecuación decide la geometría:
| Ecuación en t | Solución | Geometría |
|---|---|---|
| Tiene un único valor de t | Un valor | La recta corta el plano en un punto. |
| 0·t = (nº ≠ 0), p. ej. 0 = 5 | Ninguna | La recta es paralela al plano y no lo toca. |
| 0·t = 0, identidad | Infinitas | La recta está contenida en el plano. |
Hay un atajo previo: la recta es paralela al plano (o está contenida en él) exactamente cuando su director d es perpendicular al normal n, es decir, cuando d·n = 0. Si d·n ≠ 0, la recta corta el plano con seguridad en un único punto.
Ejemplo 1 — recta que corta un plano. Halla el punto de corte de la recta r = (1, 0, −2) + t(2, 1, 3) con el plano 3x − y + 2z = 5.
- Comprueba que se cortan: d·n = (2)(3) + (1)(−1) + (3)(2) = 6 − 1 + 6 = 11 ≠ 0. Hay corte único.
- Coordenadas de la recta: x = 1 + 2t, y = t, z = −2 + 3t.
- Sustituye en el plano: 3(1 + 2t) − (t) + 2(−2 + 3t) = 5.
- Desarrolla: 3 + 6t − t − 4 + 6t = 5 ⇒ 11t − 1 = 5 ⇒ 11t = 6 ⇒ t = 6/11.
- Sustituye t = 6/11 en la recta: x = 1 + 12/11 = 23/11, y = 6/11, z = −2 + 18/11 = −4/11.
- El punto de corte es (23/11, 6/11, −4/11).
Dos planos
Dos planos en el espacio solo tienen tres posiciones posibles. Si sus normales son paralelas, los planos son paralelos: o coinciden (intersección = un plano entero) o no se tocan (intersección vacía). Si las normales no son paralelas, los planos se cortan a lo largo de una recta.
Director de la recta de intersección de dos planos
La recta común a dos planos no paralelos está contenida en ambos, así que es perpendicular a los dos normales n1 y n2. El vector que es perpendicular a ambos a la vez es su producto vectorial:
director = n1 × n2
Para fijar la recta solo falta un punto: se obtiene resolviendo las dos ecuaciones cartesianas tras dar un valor cómodo a una de las variables.
Ejemplo 2 — recta de intersección de dos planos. Halla la recta común a los planos π1: x + y + z = 6 y π2: 2x − y + z = 3.
- Normales: n1 = (1, 1, 1), n2 = (2, −1, 1). No son paralelos, luego hay recta de intersección.
- Director d = n1 × n2:
- componente x: (1)(1) − (1)(−1) = 1 + 1 = 2
- componente y: (1)(2) − (1)(1) = 2 − 1 = 1
- componente z: (1)(−1) − (1)(2) = −1 − 2 = −3
- Un punto: haz z = 0. El sistema queda x + y = 6 y 2x − y = 3. Sumando: 3x = 9 ⇒ x = 3, luego y = 3. El punto es (3, 3, 0).
- Ecuación de la recta: r = (3, 3, 0) + λ(2, 1, −3).
- Verificación con (3, 3, 0): en π1, 3 + 3 + 0 = 6 ✓; en π2, 2(3) − 3 + 0 = 3 ✓.
Tres planos: el sistema 3×3
Tres planos juntos forman un sistema de tres ecuaciones cartesianas con tres incógnitas: el mismo objeto algebraico que el bloque TANS 1.16. El tipo de solución del sistema es la posición relativa de los tres planos.
| El sistema 3×3 es… | Solución | Configuración de los tres planos |
|---|---|---|
| Compatible determinado | Un punto | Los tres planos se cortan en un único punto común. |
| Compatible indeterminado | Una recta | Los tres comparten una recta (haz de planos), o dos coinciden. |
| Compatible indeterminado | Un plano | Los tres planos coinciden: son el mismo plano. |
| Incompatible | Ninguna | No hay punto común: planos paralelos, o cortándose en tres rectas paralelas (configuración «prisma»). |
Ejemplo 3 — tres planos con punto común. Halla la intersección de π1: x + y + z = 6, π2: x − y + 2z = 5 y π3: 2x + y − z = 1.
- Resta π2 de π1: (x+y+z) − (x−y+2z) = 6 − 5 ⇒ 2y − z = 1. (A)
- Suma π1 y π3: (x+y+z) + (2x+y−z) = 6 + 1 ⇒ 3x + 2y = 7. (B)
- Resta el doble de π1 de π3: (2x+y−z) − 2(x+y+z) = 1 − 12 ⇒ −y − 3z = −11, es decir y + 3z = 11. (C)
- De (A): z = 2y − 1. Sustituye en (C): y + 3(2y − 1) = 11 ⇒ 7y − 3 = 11 ⇒ y = 2.
- Entonces z = 2(2) − 1 = 3. De (B): 3x + 2(2) = 7 ⇒ 3x = 3 ⇒ x = 1.
- El sistema es compatible determinado: la intersección es el único punto (1, 2, 3).
- Verificación en los tres planos: π1: 1 + 2 + 3 = 6 ✓; π2: 1 − 2 + 6 = 5 ✓; π3: 2 + 2 − 3 = 1 ✓.
Error frecuente
Concluir que dos planos son paralelos «porque sus ecuaciones se parecen», sin comprobar las normales. Dos planos son paralelos si y solo si sus vectores normales son múltiplos uno del otro. Los planos 2x − y + 3z = 1 y 4x − 2y + 6z = 9 sí son paralelos (normal (4,−2,6) = 2·(2,−1,3)), pero 2x − y + 3z = 1 y 2x − y + 4z = 1 no lo son, aunque se parezcan: (2,−1,3) y (2,−1,4) no son proporcionales.
Ángulos entre rectas y planos
Ángulo entre una recta y un plano
El producto escalar mide el ángulo entre dos direcciones, pero un plano no tiene «una» dirección. La clave es usar su normal. El ángulo θ entre la recta y el plano es el complementario del ángulo que la recta forma con el normal, así que el coseno del segundo se convierte en el seno del primero:
Ángulo recta-plano
Si d es el director de la recta y n el normal del plano, el ángulo agudo θ entre la recta y el plano cumple:
sen θ = |d·n| / (|d| · |n|)
El valor absoluto garantiza un ángulo agudo (0° ≤ θ ≤ 90°). Si d·n = 0, entonces θ = 0°: la recta es paralela al plano (o está contenida en él).
Ejemplo 4 — ángulo recta-plano. Halla el ángulo entre la recta de director d = (1, 2, 2) y el plano 2x − y + 2z = 9.
- El normal del plano es n = (2, −1, 2).
- Producto escalar: d·n = (1)(2) + (2)(−1) + (2)(2) = 2 − 2 + 4 = 4.
- Módulos: |d| = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3; |n| = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3.
- sen θ = |4| / (3 · 3) = 4/9 ≈ 0,4444.
- θ = arcsen(0,4444) ≈ 26,4°.
Ángulo entre dos planos
Para dos planos el problema es más directo: el ángulo diedro entre ellos coincide con el ángulo entre sus vectores normales. Como solo interesa el ángulo agudo, se toma de nuevo el valor absoluto del producto escalar.
Ángulo entre dos planos
Si n1 y n2 son los normales de los dos planos, el ángulo agudo θ entre ellos cumple:
cos θ = |n1·n2| / (|n1| · |n2|)
Si n1·n2 = 0, los planos son perpendiculares (θ = 90°); si los normales son paralelos, los planos lo son (θ = 0°).
Ejemplo 5 — ángulo entre dos planos. Halla el ángulo agudo entre los planos π1: x + y = 4 y π2: x + z = 7.
- Normales: n1 = (1, 1, 0), n2 = (1, 0, 1).
- Producto escalar: n1·n2 = (1)(1) + (1)(0) + (0)(1) = 1.
- Módulos: |n1| = √(1 + 1 + 0) = √2; |n2| = √(1 + 0 + 1) = √2.
- cos θ = |1| / (√2 · √2) = 1/2.
- θ = arccos(0,5) = 60°.
En la Prueba 2 de NS los problemas de planos suelen encadenar varios apartados: primero piden una recta de intersección, luego un ángulo, luego un punto. Tres reflejos: (i) no confundas las dos fórmulas de ángulo —recta-plano usa seno (complementario), plano-plano usa coseno directo; (ii) cuando resuelvas tres planos a la vez, di explícitamente si el sistema es compatible determinado, indeterminado o incompatible, y traduce esa palabra a «un punto», «una recta» o «sin intersección» —ese paso de interpretación vale marca; (iii) si una resta de ecuaciones te deja 0 = 0, no es un error: significa que la tercera ecuación era redundante y la intersección es una recta, así que parametrízala.