Matemáticas AA · Ampliación NS · Bayes y variables continuas

4.14 Variables aleatorias continuas (solo NS)

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En NM 4.7 estudiaste variables aleatorias discretas: las que toman valores aislados —el número de caras en cuatro lanzamientos, los puntos de un dado— y se describen con una tabla de probabilidades. Pero muchísimas magnitudes reales no se cuentan, se miden: la estatura de una persona, el tiempo que tarda un autobús, el peso de una manzana. Entre dos valores cualesquiera siempre cabe otro. Esas son las variables aleatorias continuas, y describirlas exige cambiar la suma por la integral.

El subtema TANS 4.14 hace ese salto. La idea central es elegante: donde antes había una tabla de probabilidades, ahora hay una función de densidad f(x), y donde antes había sumatorios Σ, ahora hay integrales ∫. Toda la maquinaria de media, varianza y desviación típica que ya conoces sigue valiendo; solo cambia la herramienta de cálculo. Es una de las conexiones más bonitas entre el bloque de cálculo y el de probabilidad.

Variables aleatorias continuas y su función de densidad

De la tabla discreta a la función de densidad

Para una variable discreta, la probabilidad de cada valor concreto es un número positivo y todos esos números suman 1. Para una variable continua esto no funciona: como hay infinitos valores posibles en cualquier intervalo, la probabilidad de que la variable tome exactamente un valor es cero. Lo que tiene sentido es la probabilidad de caer en un intervalo, y eso se mide con áreas.

Función de densidad de probabilidad

Una variable aleatoria continua X queda descrita por una función de densidad de probabilidad f(x) que cumple dos condiciones:

  • f(x) ≥ 0 para todo x del dominio (una densidad nunca es negativa).
  • El área total bajo la curva es 1: ∫ f(x) dx = 1, integrando sobre todo el dominio.

La probabilidad de que X caiga entre a y b es el área bajo f(x) en ese tramo: P(a ≤ X ≤ b) = ∫ f(x) dx desde a hasta b. Como un punto tiene área cero, P(X = a) = 0 y, por tanto, da igual usar ≤ que <.

💡 Densidad no es probabilidad: el valor f(x) en un punto puede ser perfectamente mayor que 1; lo que nunca puede pasar de 1 es un área. La densidad mide cómo se reparte la probabilidad, no la probabilidad en sí. Solo al integrar —al acumular área— obtienes una probabilidad.

La condición de normalización

Antes de calcular nada, una función de densidad debe estar normalizada: su integral total debe valer 1. A menudo el enunciado da f(x) con una constante desconocida k y te pide hallarla imponiendo esa condición. El procedimiento también se aplica a funciones definidas por tramos: se integra cada tramo por separado y se suman.

Ejemplo 1 — hallar la constante de una densidad. Una variable continua X tiene densidad f(x) = k·x2 en el intervalo 0 ≤ x ≤ 3, y f(x) = 0 fuera de él. Halla k.

  1. Impón la condición de normalización: ∫ f(x) dx = 1 sobre todo el dominio, es decir ∫ k·x2 dx desde 0 hasta 3 = 1.
  2. Integra: ∫ k·x2 dx = k · [ x3/3 ]. Evaluado entre 0 y 3: k · (33/3 − 0) = k · (27/3) = 9k.
  3. Iguala a 1: 9k = 1, luego k = 1/9.
  4. Comprobación: f(x) = x2/9 es ≥ 0 en [0, 3] y su integral en ese tramo vale (1/9)·9 = 1. Correcta.

Ejemplo 2 — densidad definida por tramos. Una variable T (tiempo de espera, en minutos) tiene densidad f(t) = c·t para 0 ≤ t ≤ 2 y f(t) = c·(4 − t) para 2 < t ≤ 4, con f(t) = 0 fuera. Halla c y luego P(T ≤ 1).

  1. Normalización: la integral total es la suma de los dos tramos. Primer tramo: ∫ c·t dt desde 0 hasta 2 = c·[t2/2] = c·(4/2 − 0) = 2c.
  2. Segundo tramo: ∫ c·(4 − t) dt desde 2 hasta 4 = c·[4t − t2/2]. En t = 4: 16 − 8 = 8. En t = 2: 8 − 2 = 6. Diferencia: c·(8 − 6) = 2c.
  3. Suma total: 2c + 2c = 4c = 1, luego c = 1/4 = 0,25.
  4. P(T ≤ 1) usa solo el primer tramo: ∫ 0,25·t dt desde 0 hasta 1 = 0,25·[t2/2] = 0,25·(1/2 − 0) = 0,125.

Moda y mediana

Dos medidas de posición tienen una lectura directa sobre la gráfica de f(x):

  • La moda es el valor donde f(x) alcanza su máximo: el punto de mayor densidad. Se localiza derivando f(x) e igualando f′(x) = 0 (y comprobando que es un máximo), o por inspección si la función es sencilla.
  • La mediana m es el valor que parte la distribución en dos mitades iguales: el área a su izquierda vale 1/2. Es decir, ∫ f(x) dx desde −∞ hasta m = 1/2.

Ejemplo 3 — moda y mediana. Para la variable del Ejemplo 1, f(x) = x2/9 en [0, 3], halla la moda y la mediana.

  1. Moda: f(x) = x2/9 es creciente en todo [0, 3], así que su máximo está en el extremo derecho. La moda es x = 3.
  2. Mediana: busca m tal que ∫ x2/9 dx desde 0 hasta m = 1/2.
  3. Integra: (1/9)·[x3/3] desde 0 hasta m = (1/9)·(m3/3) = m3/27.
  4. Iguala a 1/2: m3/27 = 1/2, luego m3 = 27/2 = 13,5.
  5. Despeja: m = ∛13,5 ≈ 2,38. Como 2,38 está dentro de [0, 3], el resultado es válido.

Esperanza, varianza y transformaciones lineales

Media y varianza: de la suma a la integral

En NM 4.7 viste que la esperanza de una variable discreta es E(X) = Σ x·P(X = x), un promedio ponderado de los valores por sus probabilidades. La varianza mide la dispersión y, aunque su definición es E[(X − μ)2], en la práctica se usa siempre la fórmula de cálculo:

Var(X) = E(X2) − [E(X)]2

Para una variable continua la idea es la misma, pero el sumatorio se convierte en integral, porque sumar infinitos valores ponderados por su densidad es integrar.

Esperanza y varianza de una v. a. continua

Si X es continua con función de densidad f(x), integrando sobre todo el dominio:

  • Esperanza (media): E(X) = ∫ x · f(x) dx
  • Segundo momento: E(X2) = ∫ x2 · f(x) dx
  • Varianza: Var(X) = E(X2) − [E(X)]2
  • Desviación típica: σ = √Var(X), con las mismas unidades que X.
MagnitudVariable discreta (NM 4.7)Variable continua (TANS 4.14)
E(X)Σ x · P(X = x)∫ x · f(x) dx
E(X2)Σ x2 · P(X = x)∫ x2 · f(x) dx
Var(X)E(X2) − [E(X)]2  (misma fórmula en ambos casos)

Error frecuente

Calcular E(X2) como el cuadrado de E(X). E(X2) ≠ [E(X)]2: son cantidades distintas, y su diferencia es justamente la varianza. Para hallar E(X2) hay que integrar x2·f(x) desde cero, no elevar al cuadrado un resultado ya obtenido. Si por error usaras [E(X)]2 en el sitio de E(X2), obtendrías una varianza nula, lo cual es absurdo salvo que la variable sea constante.

Ejemplo 4 — media, varianza y juego justo. Para f(x) = x2/9 en [0, 3], calcula E(X), Var(X) y la desviación típica. Después, si una rifa paga al jugador X euros y la entrada cuesta 2,40 €, decide si el juego es justo.

  1. E(X) = ∫ x·(x2/9) dx desde 0 hasta 3 = (1/9)·∫ x3 dx = (1/9)·[x4/4] = (1/9)·(81/4) = 81/36 = 2,25.
  2. E(X2) = ∫ x2·(x2/9) dx desde 0 hasta 3 = (1/9)·∫ x4 dx = (1/9)·[x5/5] = (1/9)·(243/5) = 243/45 = 5,4.
  3. Var(X) = E(X2) − [E(X)]2 = 5,4 − (2,25)2 = 5,4 − 5,0625 = 0,3375.
  4. Desviación típica: σ = √0,3375 ≈ 0,581.
  5. Juego justo: un juego es justo cuando la ganancia esperada del jugador es cero, es decir, cuando la entrada iguala al premio esperado E(X). Aquí E(X) = 2,25 € pero la entrada cuesta 2,40 €, así que la ganancia esperada del jugador es 2,25 − 2,40 = −0,15 € por partida. El juego no es justo: a largo plazo el jugador pierde 15 céntimos de media por partida. Para que fuera justo, la entrada debería costar exactamente 2,25 €.

Transformaciones lineales

Muy a menudo no interesa X directamente, sino una transformación lineal aX + b: convertir grados Celsius a Fahrenheit, pasar de metros a centímetros, sumar una cantidad fija a todos los resultados. Las dos fórmulas que gobiernan el efecto sobre la media y la varianza se deducen de las propiedades de la integral y valen tanto para variables discretas como continuas.

Efecto de una transformación lineal

Para constantes a y b cualesquiera:

  • E(aX + b) = a·E(X) + b — la media se transforma exactamente igual que la variable.
  • Var(aX + b) = a2·Var(X) — la varianza se multiplica por a2 y el sumando b no influye.

De aquí, la desviación típica cumple σ(aX + b) = |a|·σ(X).

💡 Por qué la b desaparece en la varianza: sumar una constante b desplaza toda la distribución sin estirarla ni encogerla; los valores se alejan o acercan a su media exactamente lo mismo que antes, así que la dispersión no cambia. En cambio el factor a sí estira la escala, y como la varianza se mide en unidades al cuadrado, queda multiplicada por a2, no por a.

Ejemplo 5 — aplicar una transformación lineal. Una variable X tiene E(X) = 2,25 y Var(X) = 0,3375 (los valores del Ejemplo 4). Se define Y = 4X − 3. Halla E(Y), Var(Y) y la desviación típica de Y.

  1. Aquí a = 4 y b = −3.
  2. E(Y) = a·E(X) + b = 4 × 2,25 − 3 = 9 − 3 = 6.
  3. Var(Y) = a2·Var(X) = 42 × 0,3375 = 16 × 0,3375 = 5,4.
  4. Desviación típica de Y: σ(Y) = |a|·σ(X) = 4 × √0,3375 ≈ 4 × 0,581 = 2,324. (Comprobación directa: √5,4 ≈ 2,324.)
  5. Observa que el −3 cambió la media pero no tocó la varianza, mientras que el factor 4 multiplicó la varianza por 16.
Para el examen

En la Prueba 2 de NS las preguntas de 4.14 suelen encadenar varios apartados sobre la misma densidad: primero hallar la constante, luego una probabilidad, después la media y la varianza. Trabaja con cuidado: (i) escribe siempre los límites de integración antes de integrar y comprueba que la densidad vale 0 fuera del dominio; (ii) recuerda que E(X2) exige su propia integral —x2·f(x)— y no es el cuadrado de E(X); (iii) en funciones por tramos, integra cada tramo por separado y suma; (iv) para juegos justos, compara E(ganancia) con la entrada: justo significa ganancia esperada nula. Aunque la calculadora gráfica del IB integra numéricamente y conviene usarla para verificar, en la Prueba 2 te pueden pedir el desarrollo analítico: muestra siempre la primitiva y su evaluación entre límites.