5.12 Continuidad, derivabilidad y límites (solo NS)

Hasta ahora has derivado funciones aplicando reglas: la regla de la potencia, la del producto, la de la cadena. Esas reglas son atajos fiables, pero esconden la maquinaria que las hace funcionar. El subtema NS 5.12 levanta el capó: vas a entender qué significa exactamente que una función sea continua, qué significa que sea derivable, y por qué la derivada no es una fórmula caída del cielo sino un límite con una interpretación geométrica muy precisa.

La idea central es que «continua» y «derivable» no son sinónimos. Hay funciones perfectamente continuas —su gráfica es una línea sin cortes— que sin embargo no son derivables en algún punto, porque en ese punto la curva forma un pico o un quiebre y no admite una única recta tangente. Distinguir ambos conceptos, y manejar la definición formal de derivada como límite, es lo que el IB espera de un alumno de NS.

Continuidad, derivabilidad y la idea de límite

Qué significa que una función sea continua

De manera informal, una función f es continua en un punto x = a cuando su gráfica pasa por ese punto sin saltos, sin huecos y sin asíntotas: puedes recorrer la curva alrededor de a sin levantar el lápiz del papel. Para que eso ocurra deben cumplirse tres condiciones a la vez: que f(a) esté definida, que el límite lim(x→a) f(x) exista, y que ese límite valga precisamente f(a).

Los polinomios son continuos en todos los números reales. Las funciones racionales son continuas en todo punto salvo donde se anula el denominador. La función parte entera, en cambio, da saltos en cada número entero y por tanto no es continua ahí. La continuidad es una propiedad local: se comprueba punto a punto.

Qué significa que una función sea derivable

Una función es derivable en x = a cuando su gráfica admite en ese punto una recta tangente bien definida con pendiente finita. Geométricamente, si te acercas al punto desde la izquierda y desde la derecha y la curva «apunta» en la misma dirección, hay una única tangente y la función es derivable. Si la curva forma un pico, un quiebre o una tangente vertical, no la hay.

Otros casos típicos de continuidad sin derivabilidad son la función f(x) = ³√x en x = 0 (tangente vertical: la pendiente se hace infinita) y cualquier curva con una «esquina». Reconocer estos puntos a simple vista en una gráfica es una destreza que el IB evalúa con frecuencia en la Prueba 2.

Límites: convergencia y divergencia

El límite lim(x→a) f(x) = L describe a qué valor se acercan las imágenes f(x) cuando x se aproxima a a, sin necesidad de que x llegue a valer a. Cuando ese valor L existe y es finito decimos que la función converge a L; si las imágenes crecen sin cota, oscilan o no se estabilizan, decimos que diverge.

Esta misma dicotomía la viste en NM 1.8 con las progresiones geométricas infinitas. La suma S = u₁ + u₁r + u₁r² + … converge a u₁/(1 − r) cuando |r| < 1 y diverge cuando |r| ≥ 1. Allí el proceso límite era una suma parcial que tendía a un total; aquí es el valor de una función que tiende a un número. La idea subyacente —observar el comportamiento de un proceso «en el límite»— es exactamente la misma.

La derivada como límite y las derivadas de orden superior

La definición formal de la derivada

La derivada de f en x se define como el límite del cociente incremental cuando el incremento h tiende a cero:

El IB pide que sepas aplicar esta definición directamente a polinomios. Para funciones más complicadas (trigonométricas, exponenciales) se usan las reglas ya conocidas, pero derivar un polinomio «desde la definición» demuestra que entiendes de dónde sale la regla de la potencia. La clave operativa es desarrollar f(x + h), restar f(x), simplificar el numerador hasta poder cancelar la h del denominador, y solo entonces sustituir h = 0.

Ejemplo 1 — derivada de una función cuadrática desde la definición. Hallar f′(x) para f(x) = 3x² − 5x + 2.

1. Calcular f(x + h): 3(x + h)² − 5(x + h) + 2 = 3(x² + 2xh + h²) − 5x − 5h + 2 = 3x² + 6xh + 3h² − 5x − 5h + 2.
2. Restar f(x) = 3x² − 5x + 2: el numerador queda 6xh + 3h² − 5h. Los términos 3x², −5x y +2 se cancelan.
3. Formar el cociente y sacar factor común h: [6xh + 3h² − 5h] / h = h(6x + 3h − 5) / h = 6x + 3h − 5.
4. Tomar el límite h → 0: lim(h→0) (6x + 3h − 5) = 6x − 5.
5. Comprobación con la regla de la potencia: la derivada de 3x² es 6x, la de −5x es −5, la de 2 es 0. Coincide: f′(x) = 6x − 5. ✓

Ejemplo 2 — derivada de una función cúbica desde la definición. Hallar f′(x) para f(x) = x³ + 4x.

1. Desarrollar (x + h)³ = x³ + 3x²h + 3xh² + h³. Entonces f(x + h) = x³ + 3x²h + 3xh² + h³ + 4x + 4h.
2. Restar f(x) = x³ + 4x: el numerador queda 3x²h + 3xh² + h³ + 4h.
3. Dividir entre h sacando factor común: h(3x² + 3xh + h² + 4) / h = 3x² + 3xh + h² + 4.
4. Tomar el límite h → 0: los términos con h se anulan y queda f′(x) = 3x² + 4.

Derivadas de orden superior

La derivada f′(x) es a su vez una función, así que se puede volver a derivar. La derivada de f′ es la segunda derivada, f″(x); la derivada de esta es la tercera, f‴(x); y en general la derivada n-ésima se denota f⁽ⁿ⁾(x). En notación de Leibniz se escriben dy/dx, d²y/dx², d³y/dx³, …, dⁿy/dxⁿ.

Ejemplo 3 — derivadas sucesivas de un polinomio. Para f(x) = 2x⁴ − 3x³ + 5x − 7, hallar la primera, segunda, tercera, cuarta y quinta derivada.

1. f′(x) = 8x³ − 9x² + 5.
2. f″(x) = 24x² − 18x.
3. f‴(x) = 48x − 18.
4. f⁽⁴⁾(x) = 48.
5. f⁽⁵⁾(x) = 0. A partir de aquí todas las derivadas son nulas: un polinomio de grado n tiene derivada (n+1)-ésima idénticamente cero.

Ejemplo 4 — interpretar la segunda derivada. La posición de una partícula viene dada por s(t) = t³ − 6t² + 9t (en metros, con t en segundos). Hallar su velocidad y su aceleración en t = 1 s.

1. La velocidad es la primera derivada: v(t) = s′(t) = 3t² − 12t + 9.
2. La aceleración es la segunda derivada: a(t) = s″(t) = 6t − 12.
3. En t = 1: v(1) = 3 − 12 + 9 = 0 m/s. La partícula está momentáneamente en reposo.
4. En t = 1: a(1) = 6 − 12 = −6 m/s². La aceleración es negativa, así que la velocidad está disminuyendo: la partícula va a empezar a moverse en sentido contrario.