Algunos límites se resisten a la sustitución directa. Si calculas lim(x→0) (sen x)/x sustituyendo, obtienes 0/0; si calculas lim(x→∞) (2x2)/(x2 + 1), obtienes ∞/∞. Ninguna de las dos expresiones te dice cuánto vale el límite: son formas indeterminadas. El nombre es literal —el resultado no está determinado por el símbolo— y necesitas una herramienta extra para desvelarlo.
El subtema NS 5.13 te da dos herramientas potentes: la regla de L'Hôpital, que convierte el límite de un cociente en el límite de las derivadas, y las series de Maclaurin, que sustituyen una función por su desarrollo en potencias y dejan a la vista el término que manda. Con cualquiera de las dos resolverás límites que de otro modo serían inabordables, y entenderás de paso por qué (sen x)/x tiende a 1.
La regla de L'Hôpital
Las formas indeterminadas 0/0 e ∞/∞
Cuando intentas evaluar un límite de cociente lim f(x)/g(x) por sustitución directa, puede salirte un número (y entonces ya has terminado) o puede salirte una de las dos formas indeterminadas siguientes: 0/0, cuando numerador y denominador tienden ambos a cero, o ∞/∞, cuando ambos tienden a infinito. En esos dos casos —y solo en esos dos— el símbolo no basta para conocer el límite.
Regla de L'Hôpital
Sea un límite lim(x→a) f(x)/g(x) que, al sustituir, presenta la forma indeterminada 0/0 o ∞/∞. Entonces:
lim(x→a) f(x)/g(x) = lim(x→a) f′(x)/g′(x)
siempre que este segundo límite exista (o sea ±∞). Se deriva el numerador y el denominador por separado. La regla vale igual para límites en un punto a y para límites en el infinito (x → ∞ o x → −∞).
Error frecuente
Aplicar la regla de L'Hôpital a un cociente que no es indeterminado. Si al sustituir obtienes, por ejemplo, 3/0, 5/2 o 0/4, el límite ya está decidido (es ∞, 2,5 y 0 respectivamente) y derivar numerador y denominador cambia el resultado y te lleva a una respuesta errónea. Comprueba siempre que la forma es 0/0 o ∞/∞ antes de derivar. Segundo error gemelo: aplicar la regla del cociente para derivar f/g — no es eso lo que pide L'Hôpital; se derivan f y g independientemente.
Ejemplo 1 — forma 0/0 en un punto. Calcular lim(x→2) (x2 − 4)/(x − 2).
- Sustituir: numerador 22 − 4 = 0; denominador 2 − 2 = 0. Forma 0/0: indeterminada, procede L'Hôpital.
- Derivar numerador: d/dx(x2 − 4) = 2x. Derivar denominador: d/dx(x − 2) = 1.
- El límite pasa a ser lim(x→2) 2x/1 = 2·2/1 = 4.
- Comprobación factorizando: (x2 − 4)/(x − 2) = (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2 → 4. Coincide. ✓
El límite trigonométrico notable
El límite más célebre del cálculo es lim(θ→0) (sen θ)/θ. Al sustituir θ = 0 obtienes sen 0 / 0 = 0/0: indeterminado. Es el límite que sostiene la derivada de sen x, y con L'Hôpital se resuelve en un paso.
Ejemplo 2 — el límite notable (sen θ)/θ. Demostrar que lim(θ→0) (sen θ)/θ = 1.
- Sustituir: sen 0 / 0 = 0/0. Forma indeterminada, aplicamos L'Hôpital.
- Derivar numerador: d/dθ(sen θ) = cos θ. Derivar denominador: d/dθ(θ) = 1.
- El límite pasa a ser lim(θ→0) (cos θ)/1 = cos 0 = 1.
Uso reiterado de la regla
A veces, tras aplicar L'Hôpital una vez, el nuevo cociente sigue siendo 0/0 o ∞/∞. La solución es sencilla: vuelve a aplicar la regla tantas veces como haga falta, hasta que la sustitución dé un valor determinado.
Ejemplo 3 — L'Hôpital aplicada dos veces. Calcular lim(x→0) (1 − cos x)/x2.
- Sustituir: numerador 1 − cos 0 = 1 − 1 = 0; denominador 02 = 0. Forma 0/0: aplicamos L'Hôpital.
- Derivar: d/dx(1 − cos x) = sen x; d/dx(x2) = 2x. Nuevo límite: lim(x→0) (sen x)/(2x).
- Sustituir de nuevo: sen 0 / 0 = 0/0. Sigue indeterminado: aplicamos L'Hôpital otra vez.
- Derivar: d/dx(sen x) = cos x; d/dx(2x) = 2. Nuevo límite: lim(x→0) (cos x)/2 = cos 0 / 2 = 1/2.
- Resultado: 1/2.
Límites en el infinito y asíntotas horizontales
La regla de L'Hôpital también funciona cuando x → ∞. Esto enlaza directamente con las asíntotas horizontales: la recta y = L es asíntota horizontal de la gráfica de f exactamente cuando lim(x→∞) f(x) = L (o el correspondiente límite en −∞). Calcular ese límite es calcular dónde se «aplana» la curva a lo lejos.
Ejemplo 4 — asíntota horizontal de una función racional. Hallar la asíntota horizontal de f(x) = (3x2 − x)/(2x2 + 5) calculando lim(x→∞) f(x).
- Sustituir x → ∞: numerador → ∞, denominador → ∞. Forma ∞/∞: aplicamos L'Hôpital.
- Derivar: d/dx(3x2 − x) = 6x − 1; d/dx(2x2 + 5) = 4x. Nuevo límite: lim(x→∞) (6x − 1)/(4x).
- Sustituir: ∞/∞ de nuevo. Aplicamos L'Hôpital otra vez: d/dx(6x − 1) = 6; d/dx(4x) = 4.
- Nuevo límite: lim(x→∞) 6/4 = 3/2. La asíntota horizontal es y = 3/2.
- Comprobación rápida: en una función racional con numerador y denominador del mismo grado, la asíntota es el cociente de los coeficientes principales, 3/2. Coincide. ✓
Series de Maclaurin para resolver límites
La idea: sustituir la función por su desarrollo
Una serie de Maclaurin expresa una función como suma infinita de potencias de x: f(x) = f(0) + f′(0)x + f″(0)x2/2! + f‴(0)x3/3! + … Los desarrollos que necesitas para resolver límites en torno a x = 0 son:
| Función | Serie de Maclaurin |
|---|---|
| sen x | x − x3/3! + x5/5! − … |
| cos x | 1 − x2/2! + x4/4! − … |
| ex | 1 + x + x2/2! + x3/3! + … |
| ln(1 + x) | x − x2/2 + x3/3 − … |
La estrategia para un límite cuando x → 0 es sustituir cada función por su serie, simplificar, y observar qué término domina cuando x se hace muy pequeño. Como las potencias altas de un número pequeño son despreciables frente a las bajas, casi todos los términos se desvanecen y queda un cociente sencillo.
Ejemplo 5 — (sen x)/x con la serie de Maclaurin. Recalcular lim(x→0) (sen x)/x usando el desarrollo en serie.
- Sustituir sen x por su serie: (sen x)/x = (x − x3/3! + x5/5! − …)/x.
- Dividir cada término entre x: = 1 − x2/3! + x4/5! − …
- Hacer x → 0: todos los términos con x se anulan y queda 1. Coincide con el resultado de L'Hôpital del Ejemplo 2. ✓
Cuándo elegir series y cuándo L'Hôpital
Las dos técnicas resuelven límites indeterminados; el examen suele admitir cualquiera de ellas, pero conviene saber cuál es más cómoda en cada caso.
| Situación | Técnica recomendada |
|---|---|
| Cociente de polinomios o racional sencilla | L'Hôpital (rápida, pocas derivadas). |
| Indeterminación que persiste tras varias derivaciones | Series: los términos dominantes se ven de un vistazo. |
| Expresión con sen, cos, ex o ln(1+x) cerca de x = 0 | Series de Maclaurin: sustituyes y simplificas. |
| Límite en el infinito (x → ∞) | L'Hôpital: las series de Maclaurin solo sirven cerca de x = 0. |
Ejemplo 6 — límite con serie de Maclaurin. Calcular lim(x→0) (ex − 1 − x)/x2.
- Sustituir ex por su serie: ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! + …
- Formar el numerador: ex − 1 − x = (1 + x + x2/2 + x3/6 + …) − 1 − x = x2/2 + x3/6 + …
- Dividir entre x2: (ex − 1 − x)/x2 = 1/2 + x/6 + …
- Hacer x → 0: los términos con x se anulan y queda 1/2.
- Comprobación con L'Hôpital (doble): 0/0 → lim (ex − 1)/(2x) → 0/0 → lim ex/2 = 1/2. Coincide. ✓
Antes de derivar nada, sustituye y comprueba la forma: escribe explícitamente «da 0/0» o «da ∞/∞» — el esquema de calificación reparte una marca solo por justificar que la regla es aplicable. Si tras una aplicación sigue indeterminado, indícalo y vuelve a aplicarla. Con series, escribe los dos o tres primeros términos del desarrollo (suele bastar) y deja claro cuál es el término dominante. Y recuerda: trabaja siempre en radianes y no uses series de Maclaurin para límites en el infinito.