5.14 Derivación implícita y razones de cambio relacionadas (solo NS)

Hasta ahora todas las funciones que has derivado venían despejadas: y = algo en x. Pero muchas curvas importantes no se dejan despejar con comodidad. La circunferencia x² + y² = 25, la elipse, la lemniscata o la curva x³ + y³ = 6xy definen y de forma implícita: la relación está ahí, pero y no aparece sola en un lado. El subtema NS 5.14 te enseña a derivar igualmente estas ecuaciones.

La misma idea —derivar una ecuación respecto de una variable que aparece «escondida» en otros términos— resuelve los problemas de razones de cambio relacionadas: situaciones donde varias magnitudes cambian con el tiempo y están ligadas por una fórmula. Cerramos con la optimización, incluido el caso, fácil de olvidar, en que el óptimo está en un extremo del dominio.

Derivación implícita

El principio: derivar los dos miembros respecto de x

Cuando una ecuación relaciona x e y sin estar despejada, para hallar dy/dx se deriva término a término ambos miembros respecto de x. La clave está en tratar y como una función de x: cada vez que derivas un término que contiene y, aplicas la regla de la cadena y aparece un factor dy/dx.

Regla de oro de la derivación implícita

Al derivar respecto de x:

Un término en x se deriva como siempre: d/dx(x³) = 3x².
Un término en y se deriva «por dentro» y se multiplica por dy/dx: d/dx(y³) = 3y²·(dy/dx).
Un término que mezcla x e y exige la regla del producto: d/dx(xy) = 1·y + x·(dy/dx) = y + x(dy/dx).

Después se agrupan todos los términos con dy/dx en un lado, se saca factor común y se despeja.

Ejemplo 1 — pendiente de una circunferencia. La circunferencia x² + y² = 25 pasa por el punto (3, 4). Hallar dy/dx y la pendiente de la recta tangente en (3, 4).

Derivar ambos miembros respecto de x: d/dx(x²) + d/dx(y²) = d/dx(25), es decir 2x + 2y(dy/dx) = 0.
Despejar dy/dx: 2y(dy/dx) = −2x, luego dy/dx = −x/y.
Evaluar en (3, 4): dy/dx = −3/4. La pendiente de la tangente en ese punto es −3/4.
Comprobación geométrica: el radio que va del centro (0, 0) al punto (3, 4) tiene pendiente 4/3; la tangente es perpendicular al radio, y la perpendicular a una recta de pendiente 4/3 tiene pendiente −3/4. Coincide. ✓

Ejemplo 2 — curva con un término mixto. Hallar dy/dx para la curva x² + xy + y² = 7.

Derivar término a término: d/dx(x²) = 2x; d/dx(xy) = y + x(dy/dx) por la regla del producto; d/dx(y²) = 2y(dy/dx); d/dx(7) = 0.
Reunir: 2x + y + x(dy/dx) + 2y(dy/dx) = 0.
Agrupar los términos con dy/dx: (x + 2y)(dy/dx) = −(2x + y).
Despejar: dy/dx = −(2x + y)/(x + 2y).

Error frecuente

Derivar un término en y «como si y fuese una constante» y escribir d/dx(y²) = 2y, olvidando el factor dy/dx. La y depende de x, así que y² es una función compuesta y la regla de la cadena obliga a multiplicar por dy/dx: lo correcto es 2y(dy/dx). Sin ese factor, toda la derivación queda inservible. Regla práctica: cada vez que derives algo con y, escribe el dy/dx en el acto.

Razones de cambio relacionadas y optimización

Razones de cambio relacionadas

En un problema de razones relacionadas, dos o más magnitudes varían a la vez con el tiempo y están unidas por una ecuación geométrica o física. Al derivar esa ecuación respecto de t obtienes una relación entre sus velocidades de cambio: conociendo unas, hallas otra. El procedimiento es siempre el mismo: (1) escribe la ecuación que liga las magnitudes; (2) derívala respecto de t con la regla de la cadena; (3) sustituye los datos del instante concreto y despeja.

💡 Sustituye al final: deriva la ecuación antes de meter los valores numéricos del instante. Si sustituyes los datos primero, conviertes en constantes magnitudes que están cambiando y su derivada se anula por error. Los números del «instante concreto» entran solo en el último paso.

Ejemplo 3 — la escalera que resbala. Una escalera de 5 m está apoyada contra una pared vertical. El pie de la escalera se aleja de la pared a 0,8 m/s. ¿A qué velocidad baja el extremo superior cuando el pie está a 3 m de la pared?

Sean x la distancia del pie a la pared e y la altura del extremo superior. Por Pitágoras: x² + y² = 5² = 25.
Derivar respecto de t: 2x(dx/dt) + 2y(dy/dt) = 0, es decir x(dx/dt) + y(dy/dt) = 0.
Datos del instante: x = 3, dx/dt = 0,8. La altura es y = √(25 − 9) = √16 = 4.
Sustituir: 3·0,8 + 4·(dy/dt) = 0, es decir 2,4 + 4(dy/dt) = 0.
Despejar: dy/dt = −2,4/4 = −0,6 m/s. El signo negativo indica que y disminuye: el extremo superior baja a 0,6 m/s.

Ejemplo 4 — el globo que se hincha. Un globo esférico se hincha de modo que su volumen aumenta a 100 cm³/s. ¿A qué velocidad crece su radio cuando este mide 5 cm? (Volumen de la esfera: V = (4/3)πr³.)

Ecuación que liga las magnitudes: V = (4/3)πr³.
Derivar respecto de t: dV/dt = (4/3)π·3r²·(dr/dt) = 4πr²(dr/dt).
Datos del instante: dV/dt = 100, r = 5. Sustituir: 100 = 4π·25·(dr/dt) = 100π(dr/dt).
Despejar: dr/dt = 100/(100π) = 1/π ≈ 0,318 cm/s.

Optimización, incluido el óptimo en un extremo del dominio

Un problema de optimización pide el valor máximo o mínimo de una magnitud. El esquema es: modelar la magnitud con una función de una variable, usar las condiciones del problema para reducirla a una sola variable, derivar e igualar a cero para hallar los puntos críticos, y clasificarlos. Pero hay un paso que muchos olvidan: el óptimo puede no estar en un punto crítico, sino en un extremo del dominio.

Tipo de candidato	Cómo se localiza	Cuándo es el óptimo
Punto crítico interior	Resolver f′(x) = 0 dentro del dominio.	Si el valor de f ahí supera al de los demás candidatos.
Extremo del dominio	Evaluar f en los bordes del intervalo permitido.	Si f crece o decrece de forma monótona hacia el borde, o si no hay puntos críticos interiores.

Ejemplo 5 — optimización con el óptimo en el borde. Una empresa fabrica entre 0 y 6 (en miles) de unidades de un producto. El beneficio, en miles de euros, es B(x) = −x² + 10x + 3, con x ∈ [0, 6]. Hallar la producción que maximiza el beneficio.

Derivar: B′(x) = −2x + 10. Igualar a cero: −2x + 10 = 0 ⇒ x = 5.
El punto crítico x = 5 está dentro de [0, 6]. Como B″(x) = −2 < 0, es un máximo de la parábola: B(5) = −25 + 50 + 3 = 28.
Evaluar también en los extremos del dominio: B(0) = 3 y B(6) = −36 + 60 + 3 = 27.
Comparar los tres candidatos: B(0) = 3, B(5) = 28, B(6) = 27. El mayor es 28, alcanzado en x = 5 (es decir, 5000 unidades, con un beneficio de 28000 €).
Variante reveladora: si el dominio fuera [0, 3], el punto crítico x = 5 quedaría fuera y, como B es creciente en [0, 3], el máximo se alcanzaría en el extremo x = 3, con B(3) = −9 + 30 + 3 = 24. El óptimo estaría en el borde.

Para el examen

En todo problema de optimización con dominio acotado, evalúa la función en los puntos críticos y también en los dos extremos del intervalo, y compara los valores: el esquema de calificación del IB penaliza dar por bueno un punto crítico sin verificar los bordes. En razones relacionadas, escribe primero la ecuación general, deriva respecto de t, y solo entonces sustituye los datos del instante; cuida los signos —un dy/dt negativo significa que la magnitud disminuye—. En derivación implícita, no olvides nunca el factor dy/dx al derivar un término en y.