En NM aprendiste a derivar e integrar un repertorio básico: potencias, sen x, cos x, ex y ln x. El subtema NS 5.15 amplía ese catálogo a las funciones trascendentes restantes: las trigonométricas recíprocas (tan, sec, cosec, cot), las exponenciales y logarítmicas de base cualquiera (ax, loga x) y las trigonométricas inversas (arcsen, arccos, arctan).
El interés no es solo coleccionar fórmulas. Cada derivada que aprendas en un sentido te regala una integral en el otro: leer la tabla de derivadas al revés es leer una tabla de integrales. Y combinando estas integrales con la composición con una función lineal y con las fracciones parciales (TANS 1.11) podrás resolver integrales que antes parecían inaccesibles.
Derivadas de las funciones trascendentes
Trigonométricas recíprocas
A partir de las derivadas de sen x y cos x, y aplicando las reglas del cociente y de la cadena, se obtienen las derivadas de las cuatro funciones trigonométricas restantes. Conviene memorizarlas: aparecen tanto al derivar como —leídas al revés— al integrar.
| Función | Derivada |
|---|---|
| tan x | sec2x |
| sec x | sec x · tan x |
| cosec x | −cosec x · cot x |
| cot x | −cosec2x |
Exponenciales y logarítmicas de base cualquiera
La función ax generaliza ex a una base positiva cualquiera; su logaritmo asociado es loga x. Sus derivadas introducen un factor con ln a, que se reduce a 1 cuando a = e.
Derivadas exponenciales y logarítmicas
d/dx(ax) = ax · ln a
d/dx(loga x) = 1 / (x · ln a)
Cuando a = e se recuperan los casos conocidos de NM: como ln e = 1, queda d/dx(ex) = ex y d/dx(ln x) = 1/x.
Inversas trigonométricas
Las funciones arcsen x, arccos x y arctan x deshacen el seno, el coseno y la tangente. Lo notable es que sus derivadas son funciones algebraicas —sin trigonometría— y por eso son la pieza clave para integrar ciertos cocientes.
| Función | Derivada | Dominio |
|---|---|---|
| arcsen x | 1 / √(1 − x2) | −1 < x < 1 |
| arccos x | −1 / √(1 − x2) | −1 < x < 1 |
| arctan x | 1 / (1 + x2) | x ∈ ℝ |
Ejemplo 1 — derivar una composición trascendente. Hallar la derivada de f(x) = arctan(3x).
- Es una composición: función exterior arctan, función interior u = 3x. Aplicamos la regla de la cadena.
- Derivada de arctan u respecto de u: 1/(1 + u2). Derivada de la interior: du/dx = 3.
- Multiplicar: f′(x) = [1/(1 + (3x)2)] · 3 = 3 / (1 + 9x2).
Integrales de funciones trascendentes
Cada derivada es una integral: la familia de primitivas
Leer la tabla de derivadas «de derecha a izquierda» produce directamente una tabla de integrales. La integral indefinida ∫f(x)dx = F(x) + C no es una sola función, sino una familia de curvas: todas las primitivas de f, idénticas en forma y desplazadas verticalmente según el valor de la constante C. La constante es imprescindible: derivar elimina la información de la altura, e integrar no puede recuperarla sin un dato extra.
| Integral indefinida | Resultado |
|---|---|
| ∫ sec2x dx | tan x + C |
| ∫ sec x tan x dx | sec x + C |
| ∫ cosec2x dx | −cot x + C |
| ∫ 1/√(1 − x2) dx | arcsen x + C |
| ∫ 1/(1 + x2) dx | arctan x + C |
| ∫ ax dx | ax / ln a + C |
Composición con una función lineal
Cuando dentro de la función trascendente aparece una expresión lineal ax + b en lugar de x sola, la integral se ajusta multiplicando por el factor 1/a. Es la operación inversa de la regla de la cadena: al derivar la primitiva, ese 1/a se cancela con el a que produce la derivada interior.
Ejemplo 2 — integral con secante al cuadrado y argumento lineal. Calcular ∫ sec2(2x + 5) dx.
- La primitiva de sec2(·) es tan(·). El argumento es lineal: 2x + 5, con a = 2.
- Introducir el factor 1/a = 1/2: la integral vale (1/2) tan(2x + 5) + C.
- Comprobar derivando: d/dx[(1/2) tan(2x + 5)] = (1/2) · sec2(2x + 5) · 2 = sec2(2x + 5). Coincide con el integrando. ✓
- Resultado: ∫ sec2(2x + 5) dx = ½ tan(2x + 5) + C.
Ejemplo 3 — integral que produce un arcotangente. Calcular ∫ 1/(x2 + 2x + 5) dx.
- El denominador no es un cuadrado perfecto, pero se puede completar cuadrados: x2 + 2x + 5 = (x2 + 2x + 1) + 4 = (x + 1)2 + 4.
- La integral pasa a ser ∫ 1/[(x + 1)2 + 22] dx. Tiene la forma ∫ 1/(u2 + k2) du, cuya primitiva es (1/k) arctan(u/k) + C.
- Aquí u = x + 1 (argumento lineal con a = 1) y k = 2. Aplicar la fórmula: (1/2) arctan[(x + 1)/2] + C.
- Comprobar derivando: d/dx[(1/2) arctan((x+1)/2)] = (1/2) · [1/(1 + ((x+1)/2)2)] · (1/2). El factor 1 + ((x+1)/2)2 = [4 + (x+1)2]/4, así que la derivada es (1/4) · 4/[4 + (x+1)2] = 1/[(x+1)2 + 4] = 1/(x2 + 2x + 5). Coincide. ✓
- Resultado: ∫ 1/(x2 + 2x + 5) dx = ½ arctan((x + 1)/2) + C.
Fracciones parciales para reorganizar el integrando
Cuando el denominador de una fracción algebraica se factoriza, la integral no produce un arcotangente sino una suma de logaritmos. La técnica de las fracciones parciales (TANS 1.11) descompone el integrando en sumandos sencillos, cada uno integrable como un logaritmo.
Descomposición en fracciones parciales
Si el denominador factoriza como producto de factores lineales distintos, por ejemplo (x + p)(x + q), se busca escribir:
1 / [(x + p)(x + q)] = A/(x + p) + B/(x + q)
Las constantes A y B se determinan multiplicando por el denominador común e igualando. Después, cada sumando se integra usando ∫ 1/(x + c) dx = ln|x + c| + C.
Ejemplo 4 — integral por fracciones parciales. Calcular ∫ 1/(x2 + 3x + 2) dx.
- Factorizar el denominador: x2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2).
- Plantear la descomposición: 1/[(x+1)(x+2)] = A/(x+1) + B/(x+2). Multiplicando por (x+1)(x+2): 1 = A(x+2) + B(x+1).
- Hallar las constantes con valores cómodos de x. Con x = −1: 1 = A(1) + B(0) ⇒ A = 1. Con x = −2: 1 = A(0) + B(−1) ⇒ B = −1.
- Reescribir el integrando: 1/(x2+3x+2) = 1/(x+1) − 1/(x+2).
- Integrar cada sumando: ∫ = ln|x+1| − ln|x+2| + C.
- Combinar los logaritmos con la propiedad ln m − ln n = ln(m/n): el resultado es ln|(x + 1)/(x + 2)| + C.
Error frecuente
Confundir los dos tipos de denominador cuadrático. Si el denominador factoriza con raíces reales (como x2 + 3x + 2), la integral es una suma de logaritmos vía fracciones parciales. Si no factoriza (como x2 + 2x + 5, cuyo discriminante 4 − 20 = −16 es negativo), se completa cuadrados y la integral es un arcotangente. Antes de elegir el método, calcula el discriminante b2 − 4ac: positivo ⇒ fracciones parciales; negativo ⇒ arcotangente.
Tres reflejos rinden marcas en este tema. Primero: ante una integral de la forma ∫ 1/(cuadrática) dx, examina el discriminante del denominador para decidir entre fracciones parciales (logaritmos) y completar cuadrados (arcotangente). Segundo: cuando el argumento de una función trascendente sea lineal ax + b, no olvides el factor 1/a al integrar. Tercero: escribe siempre la constante C en toda integral indefinida —omitirla cuesta una marca— y, si el problema da una condición, úsala para fijar su valor. Verificar derivando el resultado es el control de calidad más rápido que tienes.