Hasta ahora la geometría del Tema 3 se ha apoyado en triángulos, ángulos y razones trigonométricas. Los vectores son una herramienta distinta y más potente: permiten describir posiciones, desplazamientos y direcciones con un solo objeto algebraico que se opera como un número, pero que conserva la información geométrica. Una velocidad, una fuerza o el trayecto de un avión no son simples cantidades: tienen magnitud y dirección, y un vector las captura a la vez.
El subtema TANS 3.12 abre el bloque de vectores del Nivel Superior. Aquí se construyen los cimientos: qué es un vector, cómo se representa con segmentos orientados, cómo se escribe en componentes y cómo se suman, restan y escalan. Sobre esto se levantan el producto escalar, las ecuaciones de rectas y planos, y el producto vectorial que verás en los leaves siguientes. Domina primero la mecánica de las componentes: es el lenguaje en el que se resolverá todo lo demás.
Qué es un vector y cómo se representa
Segmentos orientados y vectores libres
Geométricamente, un vector se dibuja como un segmento de recta orientado: una flecha. El punto de partida es el origen del vector y la punta de la flecha es su extremo. La longitud de la flecha es el módulo, la recta que la contiene marca la dirección y la punta señala el sentido. Dos flechas con el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido representan el mismo vector, aunque estén dibujadas en sitios distintos del plano. Por eso se habla de vectores libres: lo que importa no es dónde está la flecha, sino su tamaño y hacia dónde apunta.
Conviene distinguir dos usos del vector que aparecen una y otra vez. Un vector de posición sitúa un punto respecto al origen: el punto A de coordenadas (3, −1, 4) tiene vector de posición OA = (3, −1, 4). Un vector de desplazamiento describe el movimiento de un punto a otro: AB indica «cómo ir de A a B», con independencia de dónde estén ambos. El vector de posición es un caso particular de desplazamiento, el que parte del origen.
La base i, j, k y las componentes
En el espacio tridimensional se eligen tres vectores especiales, los vectores de la base: i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1). Son vectores unitarios que apuntan en el sentido positivo de los ejes x, y, z. Cualquier vector del espacio se escribe de forma única como combinación de estos tres.
Componentes de un vector
Un vector v del espacio tridimensional se expresa de dos maneras equivalentes:
v = (v1, v2, v3) = v1i + v2j + v3k
Los números v1, v2, v3 son las componentes del vector. La notación de columna entre paréntesis y la notación con i, j, k dicen exactamente lo mismo; el IB acepta ambas y conviene saber pasar de una a la otra. En el plano se trabaja igual con dos componentes: v = (v1, v2) = v1i + v2j.
Módulo de un vector
El módulo |v| es la longitud de la flecha. Se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras a las componentes: en el espacio, las tres componentes son los catetos de una caja rectangular y el vector es su diagonal. Por eso
|v| = √(v12 + v22 + v32)
El módulo es siempre un número real no negativo, y vale 0 únicamente para el vector nulo. Esta fórmula es la misma que se usará para distancias entre puntos: la distancia no es más que el módulo de un vector de desplazamiento.
Ejemplo 1 — calcular un módulo. Halla el módulo del vector v = (2, −3, 6).
- Eleva al cuadrado cada componente: 22 = 4; (−3)2 = 9; 62 = 36.
- Suma los cuadrados: 4 + 9 + 36 = 49.
- Toma la raíz: |v| = √49 = 7.
Operaciones con vectores
Suma, resta, vector nulo y vector opuesto
Las operaciones se definen de la forma más natural posible: componente a componente. Si u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3), entonces
u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3) u − v = (u1 − v1, u2 − v2, u3 − v3)
Geométricamente, la suma se construye con la regla del paralelogramo (o, equivalentemente, colocando una flecha a continuación de la otra). El vector nulo 0 = (0, 0, 0) es el elemento neutro: v + 0 = v. El vector opuesto −v = (−v1, −v2, −v3) tiene el mismo módulo y dirección que v pero sentido contrario, y cumple v + (−v) = 0. Restar es justamente sumar el opuesto: u − v = u + (−v).
Multiplicación por un escalar y vectores paralelos
Multiplicar un vector v por un número real k (un escalar) da el vector kv = (kv1, kv2, kv3). El efecto es estirar o encoger la flecha: |kv| = |k| · |v|. Si k > 0 se conserva el sentido; si k < 0 se invierte; si k = 0 se obtiene el vector nulo.
Criterio de vectores paralelos
Dos vectores no nulos u y v son paralelos si, y solo si, uno es múltiplo escalar del otro:
u = kv para algún k ∈ ℝ, k ≠ 0
Si k > 0 los vectores tienen el mismo sentido; si k < 0, sentidos opuestos. En la práctica se comprueba si las componentes son proporcionales.
Vectores unitarios
Un vector unitario tiene módulo 1. Dado cualquier vector no nulo v, el vector v/|v| es unitario y apunta exactamente en la misma dirección y sentido que v. Esta operación se llama normalizar el vector y resulta esencial cuando solo interesa la dirección, no la longitud.
Ejemplo 2 — vector unitario. Halla un vector unitario en la dirección y sentido de v = (4, 0, −3).
- Calcula el módulo: |v| = √(42 + 02 + (−3)2) = √(16 + 0 + 9) = √25 = 5.
- Divide cada componente por el módulo: v/|v| = (4/5, 0, −3/5) = (0,8 ; 0 ; −0,6).
- Comprueba: 0,82 + 0 + (−0,6)2 = 0,64 + 0,36 = 1, así que √1 = 1. ✓ El vector (0,8 ; 0 ; −0,6) es unitario.
Vectores de posición y de desplazamiento
Sean A y B dos puntos con vectores de posición OA = a y OB = b. El vector de desplazamiento de A a B se obtiene restando: para ir de A a B se puede «volver al origen» (−a) y luego «ir hasta B» (b), de modo que
Vector de desplazamiento y distancia
AB = b − a
La distancia entre los puntos A y B es el módulo de ese vector de desplazamiento:
distancia(A, B) = |AB| = |b − a|
Ejemplo 3 — distancia entre dos puntos. Dados A(1, −2, 3) y B(4, 2, 0), halla el vector AB y la distancia entre A y B.
- Identifica los vectores de posición: a = (1, −2, 3) y b = (4, 2, 0).
- Calcula AB = b − a = (4 − 1, 2 − (−2), 0 − 3) = (3, 4, −3).
- Halla el módulo: |AB| = √(32 + 42 + (−3)2) = √(9 + 16 + 9) = √34.
- La distancia entre A y B es √34 ≈ 5,83 unidades.
Error frecuente
Calcular el vector de desplazamiento como a − b en lugar de b − a. El vector AB va de A hacia B, así que se resta el de salida del de llegada: «llegada menos salida». Confundir el orden da el vector opuesto. Para la distancia el error queda oculto (el módulo es el mismo), pero para una ecuación de recta o un ángulo el signo importa y la respuesta sale mal. Regla mnemotécnica: AB = OB − OA, el extremo menos el origen.
Demostrar propiedades geométricas con vectores
Una de las grandes ventajas de los vectores es que convierten demostraciones geométricas en cálculos algebraicos limpios. Por ejemplo, para probar que el cuadrilátero de vértices A, B, C, D es un paralelogramo basta comprobar que AB = DC: si dos lados opuestos están representados por el mismo vector, son paralelos y de igual longitud, y eso es exactamente la definición de paralelogramo.
Ejemplo 4 — demostración con vectores. Los puntos A(1, 0, 2), B(4, 1, 3), C(5, 3, 1) y D(2, 2, 0) son los vértices de un cuadrilátero ABCD. Demuestra que es un paralelogramo.
- Calcula el vector del lado AB: AB = b − a = (4 − 1, 1 − 0, 3 − 2) = (3, 1, 1).
- Calcula el vector del lado opuesto DC: DC = c − d = (5 − 2, 3 − 2, 1 − 0) = (3, 1, 1).
- Como AB = DC, los lados AB y DC son paralelos y de igual longitud.
- Un cuadrilátero con un par de lados opuestos paralelos e iguales es un paralelogramo. Queda demostrado.
| Operación | En componentes | Interpretación geométrica |
|---|---|---|
| Suma u + v | (u1+v1, u2+v2, u3+v3) | Regla del paralelogramo |
| Resta u − v | (u1−v1, u2−v2, u3−v3) | Vector que va del extremo de v al de u |
| Escalado kv | (kv1, kv2, kv3) | Estira/encoge; invierte si k < 0 |
| Módulo |v| | √(v12+v22+v32) | Longitud de la flecha |
En la Prueba 1 y la Prueba 2 del NS, las preguntas de 3.12 suelen pedir un vector de desplazamiento, un módulo o demostrar una propiedad geométrica. Tres reflejos rentables: (i) escribe siempre AB = OB − OA y verbaliza «extremo menos origen» antes de restar; (ii) para «un vector unitario en la dirección de v», calcula primero |v| y luego divide —no lo hagas de memoria—; (iii) cuando te pidan demostrar que algo es un paralelogramo, un rectángulo o que tres puntos están alineados, traduce la condición a una igualdad o proporcionalidad de vectores y deja escrita la conclusión con palabras.