Sumar, restar y escalar vectores produce siempre otro vector. El producto escalar es distinto: combina dos vectores y devuelve un número. Esa diferencia es justamente lo que lo hace tan útil, porque ese número codifica una información geométrica preciosa: el ángulo que forman los dos vectores. Con el producto escalar se mide la perpendicularidad, se calculan ángulos entre rectas y planos, y se decide si dos direcciones están alineadas.
El subtema TANS 3.13 es la bisagra del bloque de vectores del Nivel Superior. Todo lo que viene después —el ángulo entre dos rectas, la perpendicularidad de una recta con un plano, el ángulo entre planos— se reduce a aplicar la fórmula del coseno que aquí se construye. Aprende a calcular el producto escalar de dos formas, por componentes y con el coseno del ángulo, y a saltar de una a la otra según lo que pida el problema.
Definición y cálculo del producto escalar
Las dos fórmulas del producto escalar
El producto escalar de dos vectores admite dos expresiones equivalentes, y manejar las dos es la clave del subtema. La forma algebraica se calcula a partir de las componentes; la forma geométrica involucra los módulos y el ángulo.
Producto escalar: las dos fórmulas
Para vectores v = (v1, v2, v3) y w = (w1, w2, w3):
Forma algebraica: v·w = v1w1 + v2w2 + v3w3
Forma geométrica: v·w = |v| |w| cos θ
donde θ es el ángulo entre los dos vectores, con 0° ≤ θ ≤ 180°. El resultado es siempre un número real (un escalar), no un vector.
La forma algebraica es la que se usa para calcular: basta multiplicar componentes correspondientes y sumar. La forma geométrica es la que se usa para interpretar: relaciona el producto escalar con el ángulo. Igualar las dos expresiones es lo que permite despejar θ.
Ejemplo 1 — producto escalar por componentes. Calcula v·w para v = (2, −1, 3) y w = (4, 5, −2).
- Multiplica las primeras componentes: 2 · 4 = 8.
- Multiplica las segundas: (−1) · 5 = −5.
- Multiplica las terceras: 3 · (−2) = −6.
- Suma los tres productos: 8 + (−5) + (−6) = −3. Por tanto v·w = −3.
El ángulo entre dos vectores
Igualando las dos fórmulas se obtiene la herramienta estrella del subtema. De |v||w|cos θ = v·w se despeja:
Ángulo entre dos vectores
cos θ = (v·w) / (|v| |w|)
El numerador se calcula con la forma algebraica; el denominador, con los dos módulos. El ángulo θ se obtiene aplicando el arccos al resultado, y siempre está entre 0° y 180°.
El signo del producto escalar adelanta de qué tipo de ángulo se trata: si v·w > 0 el ángulo es agudo (cos θ > 0); si v·w < 0 es obtuso (cos θ < 0); y si v·w = 0 el ángulo es exactamente 90°.
Ejemplo 2 — ángulo entre dos vectores. Halla el ángulo que forman v = (1, 2, 2) y w = (2, 0, 1).
- Producto escalar: v·w = 1·2 + 2·0 + 2·1 = 2 + 0 + 2 = 4.
- Módulo de v: |v| = √(12 + 22 + 22) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3.
- Módulo de w: |w| = √(22 + 02 + 12) = √(4 + 0 + 1) = √5.
- Coseno del ángulo: cos θ = 4 / (3·√5) = 4 / (3√5) ≈ 4 / 6,7082 ≈ 0,5963.
- Ángulo: θ = arccos(0,5963) ≈ 53,4°.
Vectores perpendiculares y paralelos
Dos casos límite del ángulo merecen su propio criterio. Si θ = 90°, entonces cos 90° = 0 y la forma geométrica da v·w = 0. Recíprocamente, si dos vectores no nulos tienen producto escalar cero, el coseno del ángulo es cero y el ángulo es 90°. Esta equivalencia es la prueba de perpendicularidad más usada en todo el bloque.
Criterios de perpendicularidad y paralelismo
Perpendiculares: dos vectores no nulos v y w son perpendiculares ⇔ v·w = 0.
Paralelos: v y w son paralelos ⇔ θ vale 0° o 180°, lo que equivale a |v·w| = |v| |w| (el producto escalar alcanza su valor extremo, ya que |cos θ| = 1).
Ejemplo 3 — hallar un valor que dé perpendicularidad. Determina el valor de t para que v = (3, t, −2) y w = (2, −1, 4) sean perpendiculares.
- Impón la condición de perpendicularidad: v·w = 0.
- Desarrolla el producto escalar: 3·2 + t·(−1) + (−2)·4 = 6 − t − 8 = −2 − t.
- Iguala a cero: −2 − t = 0, de donde t = −2.
- Comprobación: con t = −2, v·w = 6 − (−2) − 8 = 6 + 2 − 8 = 0. ✓ El valor buscado es t = −2.
Error frecuente
Confundir el resultado del producto escalar con un vector. El producto escalar v·w es un número: escribir «v·w = (8, −5, −6)» es un error grave, esa lista de tres números es lo que se suma, no el resultado. El resultado correcto del Ejemplo 1 es el escalar −3. Otro error gemelo: usar el producto escalar donde se necesita el vectorial (Tema 3.16) —el escalar nunca da un vector perpendicular, da un número—.
Propiedades del producto escalar
Las propiedades algebraicas
El producto escalar se comporta, en buena medida, como la multiplicación de números: es conmutativo y distributivo. Estas propiedades permiten manipular expresiones vectoriales con soltura, sin recurrir siempre a las componentes.
| Propiedad | Expresión | Qué dice |
|---|---|---|
| Conmutativa | v·w = w·v | El orden de los factores no altera el resultado. |
| Distributiva | u·(v + w) = u·v + u·w | Se reparte sobre la suma de vectores. |
| Con un escalar | (kv)·w = k(v·w) | El factor escalar se puede sacar fuera. |
| Cuadrado del módulo | v·v = |v|2 | El producto escalar de un vector consigo mismo es su módulo al cuadrado. |
La última propiedad merece un comentario. Si en la forma geométrica se hace w = v, el ángulo es 0° y cos 0° = 1, luego v·v = |v||v|·1 = |v|2. Esto da una forma alternativa de calcular módulos y, sobre todo, permite desarrollar expresiones del tipo |v + w|2 sin recurrir a las componentes.
Desarrollar expresiones vectoriales
La propiedad distributiva, combinada con v·v = |v|2, permite desarrollar productos escalares igual que se desarrolla un binomio en álgebra. Por ejemplo:
|v + w|2 = (v + w)·(v + w) = v·v + 2(v·w) + w·w = |v|2 + 2(v·w) + |w|2
Este desarrollo es la versión vectorial del teorema del coseno y aparece a menudo en demostraciones del Nivel Superior.
Ejemplo 4 — usar las propiedades. Sabiendo que |v| = 3, |w| = 5 y que el ángulo entre v y w es 60°, calcula |v + w|.
- Calcula primero el producto escalar con la forma geométrica: v·w = |v||w|cos 60° = 3 · 5 · 0,5 = 7,5.
- Aplica el desarrollo: |v + w|2 = |v|2 + 2(v·w) + |w|2 = 32 + 2·7,5 + 52.
- Sustituye y suma: 9 + 15 + 25 = 49.
- Toma la raíz: |v + w| = √49 = 7.
El producto escalar es la operación más rentable del bloque de vectores del NS: aparece en casi todas las preguntas de ángulos. Cuatro reflejos: (i) si el problema da componentes, usa la forma algebraica; si da módulos y un ángulo, usa la geométrica; (ii) para «demuestra que son perpendiculares» calcula v·w y comprueba que da 0 —no hace falta nada más—; (iii) cuando despejes θ con arccos, asegúrate de que la calculadora está en grados si la respuesta se pide en grados; (iv) recuerda que el resultado es un número: si te sale algo con paréntesis y comas, has cometido un error.