5.4 Recta tangente y recta normal

Una curva, en cada uno de sus puntos, tiene una dirección. La recta tangente captura esa dirección: es la recta que mejor se ajusta a la curva en el punto, la que "apunta hacia donde va" la gráfica. Y perpendicular a ella, atravesando la curva, está la recta normal. Estas dos rectas aparecen en óptica, en física del movimiento y en geometría, y el subtema NM 5.4 te enseña a hallar sus ecuaciones.

Este es el subtema que reúne todo lo anterior del bloque. Necesitarás la idea de derivada como pendiente de la tangente (5.1), la regla de la potencia para derivar polinomios (5.3) y la ecuación punto-pendiente de una recta que ya conoces del Tema 2. La pieza nueva es la recta normal y la relación entre pendientes perpendiculares. Al terminar sabrás escribir, con enfoque analítico, la ecuación de la tangente y de la normal a una curva en cualquier punto dado.

La recta tangente

La pendiente de la tangente es f′(a)

Para escribir la ecuación de cualquier recta necesitas dos datos: un punto por el que pasa y su pendiente. La recta tangente a una curva y = f(x) en el punto de abscisa x = a proporciona los dos de forma natural.

El procedimiento es siempre el mismo, de cuatro pasos: (1) calcula la ordenada del punto, f(a); (2) deriva la función para obtener f′(x); (3) evalúa la derivada en a para obtener la pendiente f′(a); (4) sustituye punto y pendiente en la ecuación punto-pendiente y simplifica.

Ejemplo 1 — tangente a una parábola. Halla la ecuación de la recta tangente a f(x) = x² − 4x + 1 en el punto de abscisa x = 3.

1. Ordenada del punto: f(3) = 3² − 4(3) + 1 = 9 − 12 + 1 = −2. El punto de tangencia es (3, −2).
2. Derivada: f′(x) = 2x − 4.
3. Pendiente de la tangente: f′(3) = 2(3) − 4 = 6 − 4 = 2.
4. Ecuación punto-pendiente: y − (−2) = 2(x − 3), es decir y + 2 = 2(x − 3).
5. Desarrollamos: y + 2 = 2x − 6 ⇒ y = 2x − 8.
6. Comprobación: en x = 3 la recta da y = 2(3) − 8 = −2, que coincide con la ordenada del punto de tangencia. ✓

Tangente a una curva de grado superior

El método no cambia con el grado del polinomio: solo cambia el cálculo de la derivada. Conviene practicarlo con una cúbica para ver que el guion de cuatro pasos es siempre idéntico.

Ejemplo 2 — tangente a una cúbica. Halla la tangente a g(x) = x³ − 2x + 5 en el punto de abscisa x = −1.

1. Ordenada: g(−1) = (−1)³ − 2(−1) + 5 = −1 + 2 + 5 = 6. El punto de tangencia es (−1, 6).
2. Derivada: g′(x) = 3x² − 2.
3. Pendiente: g′(−1) = 3(−1)² − 2 = 3(1) − 2 = 1.
4. Ecuación: y − 6 = 1·(x − (−1)) ⇒ y − 6 = x + 1.
5. Simplificamos: y = x + 7.

La recta normal

Perpendicular a la tangente

La recta normal a una curva en un punto es la recta perpendicular a la tangente en ese mismo punto. Comparte con la tangente el punto de tangencia (a, f(a)); lo único que cambia es la pendiente.

Aquí entra una propiedad que ya conoces del Tema 2: dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es −1. Si la tangente tiene pendiente m_t, la pendiente m_n de la normal debe cumplir m_t·m_n = −1, de donde m_n = −1/m_t. Como m_t = f′(a), se obtiene la fórmula de la pendiente de la normal.

La regla práctica para pasar de la pendiente de la tangente a la de la normal es: "dale la vuelta a la fracción y cámbiale el signo". Si la tangente tiene pendiente 2 (es decir, 2/1), la normal tiene pendiente −1/2. Si la tangente tiene pendiente −3/4, la normal tiene pendiente 4/3.

Ejemplo 3 — tangente y normal en el mismo punto. Para la curva f(x) = x² + 1, halla la recta tangente y la recta normal en el punto de abscisa x = 2.

1. Ordenada del punto: f(2) = 2² + 1 = 5. El punto de tangencia es (2, 5).
2. Derivada: f′(x) = 2x. Pendiente de la tangente: f′(2) = 2(2) = 4.
3. Tangente: y − 5 = 4(x − 2) ⇒ y − 5 = 4x − 8 ⇒ y = 4x − 3.
4. Pendiente de la normal: m_n = −1/4 (le damos la vuelta al 4 y cambiamos el signo).
5. Normal: y − 5 = (−1/4)(x − 2) ⇒ y − 5 = −(1/4)x + 1/2 ⇒ y = −(1/4)x + 5,5.
6. Comprobación de perpendicularidad: m_t·m_n = 4·(−1/4) = −1. ✓ Las dos rectas son perpendiculares, como debe ser.

Comprobar el resultado con la calculadora gráfica

El syllabus de 5.4 admite tanto el enfoque analítico —los pasos que has visto en los ejemplos— como el uso de medios tecnológicos. La calculadora gráfica del IB puede representar la curva, dibujar la tangente en un punto y devolver su ecuación; algunos modelos calculan también la pendiente f′(a) directamente. Lo recomendable es resolver el problema a mano y usar la calculadora para verificar: si la recta que has obtenido coincide con la que dibuja la calculadora rozando la curva en el punto, tu resultado es fiable.

Ejemplo 4 — tangente y normal en una cúbica, con verificación. Halla la tangente y la normal a g(x) = x³ − 6x en el punto de abscisa x = 1.

1. Ordenada: g(1) = 1³ − 6(1) = 1 − 6 = −5. El punto de tangencia es (1, −5).
2. Derivada: g′(x) = 3x² − 6. Pendiente de la tangente: g′(1) = 3(1)² − 6 = 3 − 6 = −3.
3. Tangente: y − (−5) = −3(x − 1) ⇒ y + 5 = −3x + 3 ⇒ y = −3x − 2.
4. Pendiente de la normal: m_n = −1/(−3) = 1/3.
5. Normal: y + 5 = (1/3)(x − 1) ⇒ y + 5 = (1/3)x − 1/3 ⇒ y = (1/3)x − 16/3.
6. Control de perpendicularidad: (−3)·(1/3) = −1. ✓   Verificación con la calculadora: al introducir g(x) = x³ − 6x y pedir la tangente en x = 1, la GDC devuelve y = −3x − 2, idéntica a la analítica.