Hasta ahora has calculado derivadas con la definición de límite o derivando potencias sueltas. Pero las funciones que aparecen en la Exploración y en los exámenes rara vez son una potencia limpia: son productos como x²·ex, cocientes como (sen x)/x o composiciones como e(x²+2). El subtema NM 5.6 te entrega las tres herramientas que convierten cualquier combinación de funciones elementales en una derivada que puedes calcular de forma mecánica: la regla de la cadena, la regla del producto y la regla del cociente.
Estas reglas son el motor de todo el resto del Tema 5: sin ellas no podrías estudiar la concavidad de una curva (NM 5.7), resolver problemas de optimización (NM 5.8) ni analizar el movimiento de un objeto (NM 5.9). Conviene memorizar primero el catálogo de derivadas elementales y, sobre él, encajar las tres reglas como piezas de un mecanismo.
Derivadas elementales y reglas básicas
El catálogo de derivadas que debes conocer
La guía AA exige saber derivar de memoria un conjunto reducido de funciones. Sobre este catálogo se apoya todo lo demás, así que vale la pena tenerlo grabado antes de seguir.
| Función f(x) | Derivada f′(x) | Observación |
|---|---|---|
| xn (con n ∈ ℚ) | n·xn−1 | Vale para exponentes negativos y fraccionarios. |
| sen x | cos x | x en radianes. |
| cos x | −sen x | Aparece el signo menos. |
| ex | ex | La exponencial es su propia derivada. |
| ln x | 1/x | Definida solo para x > 0. |
La regla de la potencia funciona también con exponentes que no son enteros positivos. Por ejemplo, √x = x1/2, así que su derivada es (1/2)x−1/2 = 1/(2√x); y 1/x = x−1, cuya derivada es −1·x−2 = −1/x2. Reescribir raíces y fracciones como potencias antes de derivar es uno de los hábitos más rentables del tema.
Derivada de una suma y de un múltiplo
Las dos reglas más sencillas permiten derivar combinaciones lineales término a término. La derivada de una suma es la suma de las derivadas, y la derivada de un múltiplo constante es la constante por la derivada:
Linealidad de la derivada
Para funciones derivables u y v y una constante k:
- Suma: (u + v)′ = u′ + v′.
- Múltiplo: (k·u)′ = k·u′.
En consecuencia, un polinomio se deriva sumando las derivadas de cada monomio. La derivada de una constante sola es 0, porque su gráfica es horizontal y su pendiente vale cero en todo punto.
Ejemplo 1 — derivar un polinomio con potencias variadas. Deriva f(x) = 3x4 − 5x + 2√x + 7.
- Reescribe el término con raíz como potencia: 2√x = 2x1/2.
- Deriva cada término por separado. De 3x4: 3·4x3 = 12x3. De −5x: −5. De 2x1/2: 2·(1/2)x−1/2 = x−1/2. De la constante 7: 0.
- Suma los resultados: f′(x) = 12x3 − 5 + x−1/2.
- Devuelve la potencia negativa a forma de raíz: f′(x) = 12x3 − 5 + 1/√x.
Las tres reglas de derivación
La regla de la cadena
Muchas funciones del examen son composiciones: dentro de una función básica hay metida otra función. Por ejemplo, en e(x²+2) la exponencial actúa sobre x² + 2; en sen(3x − 1) el seno actúa sobre 3x − 1. Esta idea conecta directamente con las funciones compuestas que estudiaste en NM 2.5. La regla de la cadena dice cómo derivar este tipo de función.
Regla de la cadena
Si y = f(g(x)) es una función compuesta, entonces:
y′ = f′(g(x)) · g′(x)
En palabras: deriva la función exterior dejando intacto lo de dentro y multiplica por la derivada de lo de dentro. Con la notación de Leibniz, si y depende de u y u depende de x, entonces dy/dx = (dy/du)·(du/dx).
Ejemplo 2 — derivar e(x²+2). Deriva f(x) = e(x²+2).
- Identifica las dos capas: la exterior es e(algo); la interior es g(x) = x² + 2.
- Deriva la exterior dejando lo de dentro intacto: la derivada de e(algo) es e(algo), es decir e(x²+2).
- Deriva lo de dentro: g′(x) = 2x.
- Multiplica las dos piezas: f′(x) = 2x·e(x²+2).
Ejemplo 3 — derivar sen(3x − 1). Deriva f(x) = sen(3x − 1).
- Capa exterior: sen(algo). Capa interior: g(x) = 3x − 1.
- Deriva la exterior sin tocar lo de dentro: la derivada de sen(algo) es cos(algo) = cos(3x − 1).
- Deriva lo de dentro: g′(x) = 3.
- Multiplica: f′(x) = 3·cos(3x − 1).
La regla de la cadena también explica derivadas que se usan con frecuencia. Por ejemplo, para derivar (2x + 5)6, la capa exterior es (algo)6 con derivada 6·(algo)5, y la interior 2x + 5 tiene derivada 2; el resultado es 6·(2x + 5)5·2 = 12(2x + 5)5.
Error frecuente
Olvidar multiplicar por la derivada de lo de dentro. Es muy típico escribir que la derivada de sen(3x − 1) es cos(3x − 1) y parar ahí, perdiendo el factor 3. La regla de la cadena siempre tiene dos factores: si la función interior no es simplemente x, ese segundo factor no es 1 y no puede desaparecer. Una comprobación rápida: la derivada de sen(x) sí es cos(x) sin más, porque ahí lo de dentro es x y su derivada vale 1.
La regla del producto
Cuando una función es el producto de dos funciones que dependen de x, no puedes derivar cada una y multiplicar los resultados: eso da una respuesta incorrecta. La regla del producto da la fórmula correcta.
Regla del producto
Si y = u·v, donde u y v son funciones de x, entonces:
y′ = u′·v + u·v′
Se deriva el primer factor dejando el segundo intacto, se suma el primer factor intacto por la derivada del segundo. El orden de la suma no importa, pero conviene escribirla siempre igual para no confundirse.
Ejemplo 4 — producto de potencia por exponencial. Deriva f(x) = x2·ex.
- Llama u = x2 y v = ex.
- Calcula las derivadas de cada factor: u′ = 2x y v′ = ex.
- Aplica la fórmula: f′(x) = u′v + uv′ = 2x·ex + x2·ex.
- Saca factor común ex para dejar la respuesta limpia: f′(x) = ex(2x + x2) = x·ex(2 + x).
La regla del cociente
Para una función que es un cociente, u dividido entre v, se usa la regla del cociente. Es la más fácil de equivocar porque el orden del numerador importa y porque hay que elevar al cuadrado el denominador.
Regla del cociente
Si y = u/v, con v ≠ 0, entonces:
y′ = (u′·v − u·v′) / v2
En el numerador: derivada de arriba por abajo, menos arriba por derivada de abajo. El denominador es el de la función original elevado al cuadrado.
Ejemplo 5 — cociente de funciones trigonométricas y lineales. Deriva f(x) = (sen x)/x.
- Identifica u = sen x y v = x.
- Deriva cada parte: u′ = cos x y v′ = 1.
- Numerador: u′v − uv′ = (cos x)·x − (sen x)·1 = x·cos x − sen x.
- Denominador: v2 = x2.
- Resultado: f′(x) = (x·cos x − sen x) / x2.
Ejemplo 6 — combinar la regla del cociente con la de la cadena. Deriva f(x) = e2x/(x + 1).
- Toma u = e2x y v = x + 1.
- Para u′ hace falta la regla de la cadena: la derivada de e2x es e2x·2 = 2e2x. Y v′ = 1.
- Numerador: u′v − uv′ = 2e2x(x + 1) − e2x·1.
- Saca factor común e2x en el numerador: e2x[2(x + 1) − 1] = e2x(2x + 2 − 1) = e2x(2x + 1).
- Denominador: v2 = (x + 1)2. Resultado: f′(x) = e2x(2x + 1) / (x + 1)2.
| Estructura de la función | Regla que se aplica | Fórmula |
|---|---|---|
| Una función dentro de otra: f(g(x)) | Regla de la cadena | f′(g(x))·g′(x) |
| Dos funciones multiplicadas: u·v | Regla del producto | u′v + uv′ |
| Una función dividida entre otra: u/v | Regla del cociente | (u′v − uv′)/v2 |
Antes de derivar, dedica tres segundos a clasificar la función: ¿es una composición, un producto o un cociente? Esa decisión correcta vale más que la velocidad. Dos consejos que ahorran marcas: (i) las funciones trigonométricas ex y sen x casi nunca aparecen solas, así que espera tener que combinar reglas (a menudo cociente o producto con cadena dentro); (ii) no simplifiques de forma agresiva al final si no estás seguro: una respuesta correcta sin factorizar puntúa, una factorización mal hecha no. Cuando puedas, saca factor común para que la respuesta quede comparable con el esquema de corrección.