5.7 La derivada segunda

La derivada primera te dice si una curva sube o baja, pero no te cuenta toda la historia. Dos coches pueden ir los dos hacia delante (velocidad positiva) y, sin embargo, uno acelera y el otro frena. Para distinguirlos hace falta mirar cómo cambia la velocidad, es decir, derivar otra vez. El subtema NM 5.7 introduce la derivada segunda: la derivada de la derivada. Es la herramienta que describe la curvatura de una gráfica y la que, en el subtema siguiente, te permitirá distinguir un máximo de un mínimo.

Aquí el objetivo no es solo aprender a calcular f″(x) —que es mecánico: derivas, y vuelves a derivar—, sino entender qué información geométrica encierra. Verás que f, f′ y f″ forman una cadena: cada una describe un aspecto distinto de la misma curva, y leerlas juntas convierte una gráfica en un relato completo.

Qué es la derivada segunda

Definición y notación

Dada una función f, su derivada primera f′ es a su vez una función de x. Nada impide derivarla de nuevo: el resultado es la derivada segunda, y se denota f″(x). En notación de Leibniz, si y = f(x), la derivada primera es dy/dx y la segunda se escribe d²y/dx².

La notación d²y/dx² tiene una lógica: el «2» de arriba marca que se ha derivado dos veces y el «2» de x² indica que se ha derivado respecto a x dos veces. No es una potencia ni una fracción de verdad; es un símbolo completo que se lee «d dos y, d x cuadrado».

Cómo se calcula: derivar dos veces

Ejemplo 1 — derivada segunda de un polinomio. Halla f″(x) para f(x) = x⁴ − 2x³ + 5x − 1.

1. Deriva una vez: f′(x) = 4x³ − 6x² + 5.
2. Deriva f′ término a término: la derivada de 4x³ es 12x²; la de −6x² es −12x; la de la constante 5 es 0.
3. Resultado: f″(x) = 12x² − 12x.

Ejemplo 2 — derivada segunda con función exponencial. Halla d²y/dx² para y = e^3x.

1. Primera derivada con la regla de la cadena: dy/dx = e^3x·3 = 3e^3x.
2. Deriva otra vez: la derivada de 3e^3x es 3·(e^3x·3) = 9e^3x.
3. Resultado: d²y/dx² = 9e^3x.

Ejemplo 3 — evaluar la derivada segunda en un punto. Para f(x) = 2x³ − 9x² + 12x, calcula f″(1) y f″(3).

1. Primera derivada: f′(x) = 6x² − 18x + 12.
2. Segunda derivada: f″(x) = 12x − 18.
3. Sustituye x = 1: f″(1) = 12·1 − 18 = 12 − 18 = −6. Es negativa.
4. Sustituye x = 3: f″(3) = 12·3 − 18 = 36 − 18 = 18. Es positiva.
5. Conclusión: f″(1) = −6 y f″(3) = 18. El signo cambia entre x = 1 y x = 3, lo que (como verás abajo) significa que la concavidad de la curva cambia en algún punto entre ambos.

Leer la curva: relación entre f, f′ y f″

La derivada primera y el crecimiento

El signo de la derivada primera describe si la función sube o baja. Es la traducción directa de «la pendiente de la tangente»: una pendiente positiva apunta hacia arriba, una negativa hacia abajo.

• Donde f′(x) > 0, la función es creciente: la gráfica sube de izquierda a derecha.
• Donde f′(x) < 0, la función es decreciente: la gráfica baja.
• Donde f′(x) = 0, la tangente es horizontal: hay un punto estacionario (candidato a máximo, mínimo o punto de inflexión horizontal).

La derivada segunda y la concavidad

El signo de la derivada segunda describe la concavidad: la forma en que se curva la gráfica. Como f″ mide la tasa de variación de la pendiente, su signo dice si la pendiente está aumentando o disminuyendo.

Es importante separar las dos ideas: crecer y ser cóncava hacia arriba no son lo mismo. Una función puede crecer mientras se curva como cúpula (sube, pero cada vez más despacio) y otra puede decrecer mientras se curva como cuenco (baja, pero cada vez más despacio). El crecimiento lo decide f′; la concavidad la decide f″. Son dos preguntas independientes.

Las tres gráficas como una sola historia

Cuando dibujas f, f′ y f″ una debajo de otra, encajan como las escenas de un mismo relato. La clave está en mirar dónde una gráfica corta el eje horizontal, porque ese cero marca un cambio en la gráfica de arriba.

• Donde f′ corta el eje (f′ = 0), la gráfica de f tiene tangente horizontal: un máximo, un mínimo o un punto de inflexión horizontal.
• Donde f′ es positiva, f sube; donde f′ es negativa, f baja. Es decir, los máximos y mínimos de f coinciden con los cortes de f′ con el eje.
• Donde f″ corta el eje (f″ = 0 cambiando de signo), la gráfica de f cambia de concavidad: ahí está el punto de inflexión.
• Donde f″ es positiva, f es cóncava hacia arriba; donde f″ es negativa, f es cóncava hacia abajo. Y a la vez, los máximos y mínimos de f′ coinciden con los cortes de f″ con el eje, porque f″ es la derivada de f′.

Ejemplo 4 — analizar concavidad y crecimiento. Estudia f(x) = x³ − 3x²: ¿dónde crece y dónde es cóncava hacia arriba?

1. Primera derivada: f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2). Se anula en x = 0 y x = 2.
2. Estudia el signo de f′. Para x < 0 (por ejemplo x = −1): f′(−1) = 3(−1)(−1 − 2) = 3·(−1)·(−3) = 9 > 0, crece. Para 0 < x < 2 (por ejemplo x = 1): f′(1) = 3·1·(1 − 2) = 3·1·(−1) = −3 < 0, decrece. Para x > 2 (por ejemplo x = 3): f′(3) = 3·3·(3 − 2) = 9 > 0, crece.
3. Segunda derivada: f″(x) = 6x − 6. Se anula en x = 1.
4. Estudia el signo de f″. Para x < 1: f″ < 0, cóncava hacia abajo. Para x > 1: f″ > 0, cóncava hacia arriba.
5. Conclusión: f crece en x < 0 y en x > 2, y decrece en 0 < x < 2. Es cóncava hacia abajo en x < 1 y cóncava hacia arriba en x > 1, con punto de inflexión en x = 1.