5.8 Máximos, mínimos y optimización

El cálculo diferencial nació para responder a preguntas de máximo y mínimo: ¿qué dimensiones dan el mayor volumen con el menor material?, ¿qué precio maximiza el beneficio?, ¿cuál es el coste mínimo de producción? El subtema NM 5.8 reúne todo lo anterior del Tema 5 y lo pone a trabajar. Aprenderás a localizar los puntos máximos y mínimos de una función, a distinguir unos de otros con dos criterios distintos, y a aplicar todo eso a problemas reales de optimización.

La idea central es sencilla: en un máximo o un mínimo «suave» la tangente es horizontal, así que f′(x) = 0. Resolver esa ecuación da los candidatos; clasificarlos correctamente es lo que separa una respuesta completa de una a medias. Cerraremos con los puntos de inflexión, donde el contraejemplo y = x⁴ enseña una lección importante sobre lo que f″ = 0 garantiza y lo que no.

Máximos, mínimos y cómo distinguirlos

Puntos estacionarios: el primer paso

Un punto estacionario es aquel en que la recta tangente es horizontal, es decir, donde f′(x) = 0. Los máximos y mínimos locales «suaves» de una función son siempre puntos estacionarios, así que el primer paso de cualquier problema es el mismo: derivar e igualar a cero.

Localizar los puntos estacionarios

Para hallar los máximos y mínimos locales de una función f:

Calcula la derivada primera f′(x).
Resuelve la ecuación f′(x) = 0. Cada solución es un valor de x donde hay un punto estacionario.
Sustituye cada solución en f(x) para obtener la coordenada y del punto.
Clasifica cada punto (máximo, mínimo o inflexión horizontal) con uno de los dos criterios siguientes.

Criterio de la derivada primera

El primer criterio observa cómo cambia el signo de f′ alrededor del punto estacionario. La idea es geométrica: en un máximo la curva sube y luego baja; en un mínimo baja y luego sube.

Si f′ pasa de positiva a negativa al cruzar el punto, hay un máximo local (sube, llega arriba, baja).
Si f′ pasa de negativa a positiva, hay un mínimo local (baja, llega abajo, sube).
Si f′ no cambia de signo (positiva a ambos lados, o negativa a ambos lados), no es ni máximo ni mínimo: es un punto de inflexión horizontal.

Criterio de la derivada segunda

El segundo criterio es más rápido cuando la derivada segunda es fácil de calcular: en lugar de estudiar el signo de f′ a ambos lados, se evalúa f″ en el propio punto estacionario.

Criterio de la derivada segunda

Sea x = a un punto estacionario, es decir, f′(a) = 0. Entonces:

Si f″(a) > 0, la curva es cóncava hacia arriba ahí: a es un mínimo local.
Si f″(a) < 0, la curva es cóncava hacia abajo ahí: a es un máximo local.
Si f″(a) = 0, el criterio no decide: hay que recurrir al criterio de la derivada primera.

Una forma de no olvidar el sentido del criterio: un cuenco (cóncavo hacia arriba, f″ > 0) guarda agua en su fondo, que es un mínimo; una cúpula (cóncava hacia abajo, f″ < 0) tiene su cima arriba, que es un máximo.

Ejemplo 1 — clasificar con el criterio de la derivada segunda. Halla y clasifica los puntos estacionarios de f(x) = x³ − 3x.

Deriva: f′(x) = 3x² − 3.
Resuelve f′(x) = 0: 3x² − 3 = 0 ⇒ x² = 1 ⇒ x = 1 o x = −1.
Coordenadas y: f(1) = 1³ − 3·1 = 1 − 3 = −2; f(−1) = (−1)³ − 3·(−1) = −1 + 3 = 2.
Derivada segunda: f″(x) = 6x. Evalúa: f″(1) = 6 > 0 ⇒ mínimo; f″(−1) = −6 < 0 ⇒ máximo.
Conclusión: mínimo local en (1, −2) y máximo local en (−1, 2).

💡 Local, no global: «máximo local» significa el más alto comparado con los puntos cercanos, no necesariamente el más alto de toda la función. En f(x) = x³ − 3x, el «máximo local» vale 2, pero la función llega a valores mucho mayores cuando x crece sin límite. Para hallar el máximo absoluto de un intervalo cerrado hay que comparar también los valores en los extremos del intervalo.

Optimización y puntos de inflexión

Resolver problemas de optimización

La optimización aplica todo lo anterior a situaciones reales: maximizar un área o un beneficio, minimizar un coste o el material de un envase. El reto no suele estar en derivar, sino en construir la función a partir del enunciado. El método siempre es el mismo.

  Método para problemas de optimización
  Identifica la magnitud que hay que optimizar (área, volumen, coste, beneficio) y nómbrala.
Exprésala como función de una sola variable. Si aparecen dos variables, usa una condición del enunciado (una restricción) para eliminar una de ellas.
Deriva la función e iguala la derivada a cero para hallar los puntos estacionarios.
Comprueba con f″ (o con el cambio de signo de f′) que el punto es realmente un máximo o un mínimo, según pida el problema.
Responde a lo que se pregunta, con las unidades correctas, y verifica que la solución tiene sentido físico.

Ejemplo 2 — área máxima de un rectángulo. Con 40 metros de valla quieres cercar un huerto rectangular. ¿Qué dimensiones dan el área máxima?

Llama x al largo y y al ancho. El perímetro es 2x + 2y = 40, así que x + y = 20, de donde y = 20 − x.
El área es A = x·y = x(20 − x) = 20x − x². Ya está en una sola variable.
Deriva: A′(x) = 20 − 2x. Iguala a cero: 20 − 2x = 0 ⇒ x = 10.
Comprueba: A″(x) = −2 < 0, así que x = 10 da un máximo.
Dimensiones: x = 10 m y y = 20 − 10 = 10 m. El área máxima es A = 10·10 = 100 m², con forma de cuadrado de lado 10 m.

Ejemplo 3 — beneficio máximo. Una empresa modela su beneficio diario, en euros, mediante B(x) = −2x² + 120x − 800, donde x es el número de unidades vendidas. ¿Cuántas unidades maximizan el beneficio y cuál es?

Deriva: B′(x) = −4x + 120.
Iguala a cero: −4x + 120 = 0 ⇒ x = 30.
Comprueba: B″(x) = −4 < 0, máximo confirmado.
Beneficio máximo: B(30) = −2·(30)² + 120·30 − 800 = −2·900 + 3600 − 800 = −1800 + 3600 − 800 = 1000.
Conclusión: el beneficio máximo es de 1000 € al día, vendiendo 30 unidades.

Ejemplo 4 — volumen máximo de una caja abierta. De una lámina cuadrada de cartón de 12 cm de lado se recortan cuadrados de lado x en las cuatro esquinas y se levantan los lados para formar una caja sin tapa. ¿Qué valor de x da el volumen máximo?

Al recortar x en cada esquina, la base de la caja es un cuadrado de lado 12 − 2x y la altura es x.
Volumen: V(x) = x(12 − 2x)². Desarrolla: (12 − 2x)² = 144 − 48x + 4x², así que V(x) = 144x − 48x² + 4x³.
Deriva: V′(x) = 144 − 96x + 12x². Iguala a cero y divide entre 12: x² − 8x + 12 = 0.
Resuelve: (x − 2)(x − 6) = 0 ⇒ x = 2 o x = 6. Pero x = 6 daría base de lado 12 − 12 = 0, imposible; se descarta. Queda x = 2.
Comprueba: V″(x) = −96 + 24x; V″(2) = −96 + 48 = −48 < 0, máximo.
Volumen máximo: V(2) = 2·(12 − 4)² = 2·8² = 2·64 = 128 cm³, recortando cuadrados de 2 cm de lado.

Puntos de inflexión y concavidad

Un punto de inflexión es donde la gráfica cambia de concavidad: pasa de cóncava hacia arriba (f″ > 0) a cóncava hacia abajo (f″ < 0), o al revés. En ese punto f″(x) = 0 y, además, f″ cambia de signo.

Los puntos de inflexión pueden tener pendiente cero o pendiente distinta de cero. Si en el punto de inflexión además f′ = 0, la tangente es horizontal: es un punto de inflexión horizontal (un punto estacionario que no es máximo ni mínimo). Si f′ ≠ 0, la tangente está inclinada: es un punto de inflexión ordinario, donde la curva «se endereza» antes de cambiar de curvatura.

Condición de punto de inflexión

En un punto de inflexión en x = a se cumplen las dos cosas:

f″(a) = 0, y
f″ cambia de signo al pasar por a (la concavidad cambia de tipo).

La segunda condición es imprescindible: f″(a) = 0 por sí sola no garantiza un punto de inflexión.

Ejemplo 5 — por qué f″ = 0 no basta: el contraejemplo y = x⁴. Comprueba que y = x⁴ no tiene punto de inflexión en (0, 0) aunque f″(0) = 0.

Deriva: f′(x) = 4x³ y f″(x) = 12x².
En x = 0: f′(0) = 0 y f″(0) = 0. El punto (0, 0) es estacionario y además anula la derivada segunda.
Pero estudia el signo de f″ alrededor de 0: 12x² es positivo para todo x ≠ 0 (tanto a la izquierda como a la derecha). La derivada segunda no cambia de signo.
Como la concavidad es «hacia arriba» a los dos lados, no hay cambio de concavidad: (0, 0) no es punto de inflexión, sino un mínimo local (el vértice de una curva en forma de cuenco muy plano).

Error frecuente

Concluir que hay un punto de inflexión solo porque f″(x) = 0. La igualdad f″ = 0 es una condición necesaria pero no suficiente: marca los candidatos, pero hay que comprobar después que f″ cambia de signo. El caso y = x⁴ lo demuestra: f″(0) = 0 y, sin embargo, ahí hay un mínimo, no una inflexión. La regla práctica: tras resolver f″ = 0, estudia siempre el signo de f″ a izquierda y derecha.

Tipo de punto	Condición sobre f′	Condición sobre f″
Máximo local	f′ = 0 (pasa de + a −)	f″ < 0
Mínimo local	f′ = 0 (pasa de − a +)	f″ > 0
Inflexión horizontal	f′ = 0 (no cambia de signo)	f″ = 0 y cambia de signo
Inflexión no horizontal	f′ ≠ 0	f″ = 0 y cambia de signo

Para el examen

En los problemas de optimización el examinador suele exigir explícitamente la justificación de que el punto es un máximo o un mínimo: no basta con resolver f′ = 0. Escribe la comprobación con f″ o el cambio de signo de f′; sin ella se pierde marca. Dos consejos más: descarta siempre las soluciones sin sentido físico (longitudes negativas, dimensiones nulas) y deja claro por qué; y termina respondiendo a la pregunta literal del enunciado con unidades. Si te piden las dimensiones, no entregues solo el valor de x: da también la otra medida y, si se pide, el valor óptimo del área, el volumen o el beneficio.