5.9 Cinemática

La cinemática es el primer gran encuentro entre el cálculo y el mundo físico, y por eso cierra el sub-bloque de derivación. Cuando un objeto se mueve a lo largo de una recta, su desplazamiento es una función del tiempo, s(t). El subtema NM 5.9 muestra que derivar e integrar esa función responde a todas las preguntas naturales sobre el movimiento: ¿a qué velocidad va?, ¿está acelerando o frenando?, ¿en qué instante se para?, ¿cuánto camino ha recorrido en total?

La idea clave —y la que más se pregunta en el examen— es la diferencia entre desplazamiento y distancia recorrida. El desplazamiento solo mira dónde acabas respecto a dónde empezaste; la distancia recorrida cuenta cada metro del trayecto, ida y vuelta incluidas. Esa distinción es la que obliga a usar un valor absoluto en la integral, y entenderla bien es lo que separa una respuesta correcta de una a medias.

Derivar el movimiento: velocidad y aceleración

Las tres magnitudes y sus relaciones

El movimiento rectilíneo de un objeto se describe con tres funciones del tiempo, encadenadas por la derivación. La velocidad es la tasa de variación del desplazamiento, y la aceleración es la tasa de variación de la velocidad.

Las tres magnitudes llevan signo, y el signo tiene significado. Un desplazamiento positivo sitúa el objeto a un lado del origen y uno negativo al otro lado. Una velocidad positiva significa que el objeto se mueve en el sentido positivo del eje; una velocidad negativa, que se mueve en sentido contrario. La aceleración positiva o negativa indica si la velocidad está aumentando o disminuyendo como número con signo.

Ejemplo 1 — de la posición a la velocidad y la aceleración. Una partícula se mueve sobre una recta con desplazamiento s(t) = t³ − 6t² + 9t metros, con t en segundos. Halla v(t) y a(t), y calcula la velocidad y la aceleración en t = 1 s.

1. Velocidad: deriva s. v(t) = 3t² − 12t + 9 m/s.
2. Aceleración: deriva v. a(t) = 6t − 12 m/s².
3. En t = 1: v(1) = 3·1 − 12·1 + 9 = 3 − 12 + 9 = 0 m/s. La partícula está momentáneamente en reposo.
4. En t = 1: a(1) = 6·1 − 12 = −6 m/s². La aceleración es negativa.
5. Conclusión: v(t) = 3t² − 12t + 9, a(t) = 6t − 12; en t = 1 s la partícula está en reposo con aceleración −6 m/s².

Reposo, sentido del movimiento, rapidez

El objeto está en reposo en los instantes en que v(t) = 0. Esos instantes son importantes porque suelen marcar un cambio de sentido: la partícula frena hasta pararse, y luego vuelve hacia atrás. El signo de v a cada lado de ese instante dice en qué sentido se mueve.

La rapidez es el módulo de la velocidad: rapidez = |v|. Mientras la velocidad lleva signo (informa del sentido), la rapidez nunca es negativa y solo informa de lo deprisa que va el objeto. Una velocidad de −8 m/s y una de +8 m/s corresponden a la misma rapidez, 8 m/s, en sentidos opuestos.

Ejemplo 2 — instante de reposo y cambio de sentido. Para la partícula del Ejemplo 1, con v(t) = 3t² − 12t + 9, halla todos los instantes de reposo (con t ≥ 0) y el sentido del movimiento en cada tramo.

1. Resuelve v(t) = 0: 3t² − 12t + 9 = 0. Divide entre 3: t² − 4t + 3 = 0.
2. Factoriza: (t − 1)(t − 3) = 0 ⇒ t = 1 s y t = 3 s. La partícula está en reposo en esos dos instantes.
3. Estudia el signo de v en cada tramo. Para 0 ≤ t < 1 (prueba t = 0): v(0) = 9 > 0, se mueve en sentido positivo. Para 1 < t < 3 (prueba t = 2): v(2) = 3·4 − 12·2 + 9 = 12 − 24 + 9 = −3 < 0, se mueve en sentido negativo. Para t > 3 (prueba t = 4): v(4) = 3·16 − 12·4 + 9 = 48 − 48 + 9 = 9 > 0, sentido positivo de nuevo.
4. Conclusión: la partícula cambia de sentido en t = 1 s y en t = 3 s. Avanza, retrocede entre 1 y 3 segundos, y vuelve a avanzar.

Integrar el movimiento: desplazamiento y distancia

De la velocidad al desplazamiento

Igual que derivar baja por la cadena s → v → a, integrar la recorre hacia arriba. Si conoces la velocidad y quieres saber cuánto ha cambiado el desplazamiento entre dos instantes t₁ y t₂, integras la velocidad en ese intervalo.

Ejemplo 3 — desplazamiento por integración. Una partícula tiene velocidad v(t) = 6t − 12 m/s. Halla su cambio de desplazamiento entre t = 0 y t = 5 s.

1. Plantea la integral del desplazamiento entre 0 y 5: ∫ (6t − 12) dt.
2. Halla una primitiva: la de 6t es 3t²; la de −12 es −12t. Primitiva: 3t² − 12t.
3. Evalúa en t = 5: 3·(5)² − 12·5 = 3·25 − 60 = 75 − 60 = 15.
4. Evalúa en t = 0: 3·0 − 12·0 = 0.
5. Resta: 15 − 0 = 15. El desplazamiento aumenta en 15 m entre t = 0 y t = 5 s. La partícula acaba 15 m más allá de donde estaba, aunque en algún tramo haya retrocedido.

Distancia total recorrida: el valor absoluto

Aquí está la idea más sutil del subtema. Si la partícula retrocede en algún tramo, el desplazamiento neto oculta ese camino: la ida y la vuelta se cancelan parcialmente. Para contar todo el camino recorrido —cada metro, vaya hacia delante o hacia atrás— hay que integrar la rapidez, es decir, el valor absoluto de la velocidad.

En la práctica, integrar |v(t)| se hace por partes: primero se hallan los instantes en que v(t) = 0, que dividen el intervalo en tramos donde v no cambia de signo; después se integra v en cada tramo y se suman los valores absolutos de los resultados.

Ejemplo 4 — desplazamiento frente a distancia recorrida. Una partícula tiene velocidad v(t) = t² − 4t + 3 m/s. Halla el desplazamiento y la distancia total recorrida entre t = 0 y t = 3 s.

1. Halla los instantes de reposo: t² − 4t + 3 = 0 ⇒ (t − 1)(t − 3) = 0 ⇒ t = 1 s y t = 3 s. Dentro del intervalo [0, 3] el signo de v puede cambiar en t = 1.
2. Signo de v en cada tramo: en 0 ≤ t < 1 (prueba t = 0) v(0) = 3 > 0; en 1 < t < 3 (prueba t = 2) v(2) = 4 − 8 + 3 = −1 < 0.
3. Una primitiva de v es F(t) = t³/3 − 2t² + 3t. Calcula sus valores: F(0) = 0; F(1) = 1/3 − 2 + 3 = 1/3 + 1 = 4/3; F(3) = 27/3 − 2·9 + 9 = 9 − 18 + 9 = 0.
4. Desplazamiento entre 0 y 3: F(3) − F(0) = 0 − 0 = 0 m. La partícula acaba justo donde empezó.
5. Para la distancia, integra por tramos. Tramo [0, 1]: F(1) − F(0) = 4/3 − 0 = 4/3 m (positivo). Tramo [1, 3]: F(3) − F(1) = 0 − 4/3 = −4/3 m; en valor absoluto, 4/3 m.
6. Suma los valores absolutos: distancia total = 4/3 + 4/3 = 8/3 m ≈ 2,67 m.
7. Conclusión: el desplazamiento es 0 m, pero la distancia recorrida es 8/3 m ≈ 2,67 m. La partícula avanzó 4/3 m, retrocedió otros 4/3 m y volvió al origen: el camino existió aunque el desplazamiento neto sea cero.