5.5 Introducción a la integración

Hasta ahora, en el Tema 5, has aprendido a derivar: dada una función, obtener su tasa de variación. La integración recorre ese camino al revés. La pregunta ya no es «¿cuál es la pendiente de esta curva?», sino «¿qué curva tiene esta pendiente?». Si un coche circula con una velocidad conocida en cada instante, derivar la posición da la velocidad; integrar la velocidad reconstruye la posición. Por eso a la integración se la llama también antiderivación: deshace lo que la derivada hizo.

El subtema NM 5.5 es la puerta de entrada al cálculo integral. Aquí aprenderás a hallar la primitiva de polinomios sencillos, entenderás por qué toda integral indefinida arrastra una constante misteriosa C, verás cómo un único dato adicional —una condición inicial— la fija, y darás el primer paso hacia la idea de que una integral mide un área. Todo lo que viene después en el bloque de integración descansa sobre estas ideas.

La integral indefinida: deshacer la derivada

De la derivada a la primitiva

Recuerda la regla de la potencia para derivar: si y = xⁿ, entonces y′ = n·xⁿ⁻¹. Derivar baja el exponente en una unidad y lo coloca delante como factor. Integrar tiene que hacer exactamente lo contrario: subir el exponente en una unidad y dividir entre el nuevo exponente.

Comprobémoslo con un caso concreto. ¿Qué función tiene por derivada x²? Si probamos con x³, al derivar obtenemos 3x², que es tres veces lo que buscamos. Basta entonces dividir entre 3: la función x³/3 tiene derivada (1/3)·3x² = x². Hemos encontrado una primitiva de x².

El símbolo ∫ es una «s» alargada, de summa; el dx al final indica respecto a qué variable se integra y no es decorativo: en una expresión con varias letras te dice cuál es la variable y cuáles son constantes. La función que va dentro, f(x), se llama integrando.

Por qué aparece la constante de integración

Vuelve al ejemplo anterior. La función x³/3 es una primitiva de x², pero no es la única. También lo son x³/3 + 5, x³/3 − 12 y x³/3 + 0,7: al derivar cualquiera de ellas, la constante desaparece —su derivada es 0— y queda x². Como la derivada «no ve» el término constante, la antiderivada no puede saber cuál era. Por eso se escribe siempre + C, con C una constante arbitraria.

Geométricamente, las primitivas de una función forman una familia infinita de curvas paralelas: todas tienen, en cada valor de x, la misma pendiente, así que una es la traslación vertical de otra. La integral indefinida ∫f(x)dx = F(x) + C representa esa familia entera de una sola vez.

Ejemplo 1 — integral de un polinomio. Calcula ∫(6x² − 4x + 3) dx.

1. Integra el término 6x²: sube el exponente a 3 y divide entre 3 ⇒ 6·x³/3 = 2x³.
2. Integra el término −4x: aquí n = 1, sube a 2 y divide entre 2 ⇒ −4·x²/2 = −2x².
3. Integra el término 3: es 3x⁰, sube a x¹ y divide entre 1 ⇒ 3x.
4. Suma los tres y añade la constante: ∫(6x² − 4x + 3) dx = 2x³ − 2x² + 3x + C.
5. Comprobación: deriva 2x³ − 2x² + 3x + C ⇒ 6x² − 4x + 3. Coincide con el integrando. ✓

Ejemplo 2 — exponentes negativos. Calcula ∫(5x³ − 2x⁻²) dx.

1. Término 5x³: sube a 4, divide entre 4 ⇒ 5·x⁴/4 = (5/4)x⁴.
2. Término −2x⁻²: aquí n = −2, que cumple n ≠ −1, así que la regla vale. El nuevo exponente es −2 + 1 = −1, y se divide entre −1 ⇒ −2·x⁻¹/(−1) = 2x⁻¹.
3. Resultado: (5/4)x⁴ + 2x⁻¹ + C, que también puede escribirse (5/4)x⁴ + 2/x + C.
4. Comprobación: deriva (5/4)x⁴ ⇒ 5x³; deriva 2x⁻¹ ⇒ −2x⁻². La suma es 5x³ − 2x⁻². ✓

Fijar la constante y medir áreas

Integración con una condición inicial

La integral indefinida entrega una familia infinita de primitivas, pero muchos problemas reales piden una sola. Para seleccionarla hace falta un dato extra: una condición inicial, normalmente del tipo «y toma cierto valor cuando x toma cierto valor». El procedimiento tiene tres pasos: integrar para obtener la familia con C, sustituir la condición inicial, y despejar el valor concreto de C.

Ejemplo 3 — determinar la constante. Una curva tiene pendiente dy/dx = 3x² + x en cada punto, y pasa por el punto (1, 10). Halla la ecuación de la curva.

1. Integra la derivada para recuperar y: y = ∫(3x² + x) dx.
2. Término a término: 3x² ⇒ 3·x³/3 = x³; y x ⇒ x²/2. Así y = x³ + x²/2 + C.
3. Aplica la condición inicial: cuando x = 1, y = 10. Sustituye ⇒ 10 = 1³ + 1²/2 + C, es decir 10 = 1 + 0,5 + C.
4. Despeja: C = 10 − 1,5 = 8,5.
5. La curva concreta es y = x³ + x²/2 + 8,5.
6. Comprobación rápida: en x = 1 se obtiene 1 + 0,5 + 8,5 = 10. ✓ Y al derivar: 3x² + x. ✓

Observa el reparto de papeles: la integral aporta la forma de la curva (el polinomio), y la condición inicial fija su posición vertical (la altura concreta). Sin el dato (1, 10) solo sabríamos que la curva pertenece a la familia x³ + x²/2 + C; con él, sabemos exactamente cuál es.

Ejemplo 4 — un contexto de movimiento. Un objeto se mueve en línea recta con velocidad v(t) = 4t − 1 (en metros por segundo). En el instante t = 2 s su posición es s = 9 m. Halla la función posición s(t).

1. La velocidad es la derivada de la posición, así que la posición es la primitiva de la velocidad: s(t) = ∫(4t − 1) dt.
2. Integra: 4t ⇒ 4·t²/2 = 2t²; y −1 ⇒ −t. Por tanto s(t) = 2t² − t + C.
3. Aplica la condición: s(2) = 9 ⇒ 2·(2)² − 2 + C = 9, es decir 8 − 2 + C = 9, o sea 6 + C = 9.
4. Despeja: C = 3. La función posición es s(t) = 2t² − t + 3.
5. Comprobación: s(2) = 8 − 2 + 3 = 9 ✓; y s′(t) = 4t − 1, la velocidad de partida. ✓

La integral definida y el área bajo una curva

Hasta aquí las integrales han sido indefinidas: devolvían una familia de funciones. Una integral definida es distinta: lleva dos números, un límite inferior a y un límite superior b, y devuelve un número. Se escribe ∫_a^b f(x) dx.

Su interpretación más importante es geométrica. Cuando f(x) > 0 en todo el intervalo [a, b], la integral definida ∫_a^b f(x) dx mide el área de la región encerrada entre la curva y = f(x), el eje x y las rectas verticales x = a y x = b.

Ejemplo 5 — área con tecnología. Halla el área de la región limitada por la curva y = x² + 1, el eje x y las rectas x = 0 y x = 3.

1. Primero comprueba el signo: x² + 1 es siempre positivo (un cuadrado más 1), así que f(x) > 0 en todo [0, 3] y la integral definida da directamente el área.
2. Plantea la integral del área: A = ∫₀³ (x² + 1) dx.
3. Introduce en la calculadora gráfica el integrando x² + 1 con límite inferior 0 y límite superior 3.
4. La calculadora devuelve A = 12 unidades de área.
5. Comprobación analítica (que sabrás justificar en 5.11): una primitiva es x³/3 + x; evaluada en 3 da 27/3 + 3 = 9 + 3 = 12, y en 0 da 0. La diferencia 12 − 0 = 12 confirma el valor. ✓

Lo esencial de este subtema es la idea de que integrar es antiderivar, y que esa operación abre dos puertas: la indefinida, que reconstruye funciones a partir de su ritmo de cambio, y la definida, que mide áreas. En 5.10 ampliarás la lista de funciones que sabes integrar; en 5.11 entenderás por qué una integral definida se calcula restando dos valores de una primitiva.