En el subtema 5.5 aprendiste a integrar polinomios con la regla de la potencia. Pero el mundo de las funciones no se agota en los polinomios: el péndulo oscila siguiendo un seno, las poblaciones crecen como una exponencial, la intensidad del sonido se mide en una escala logarítmica. Para reconstruir esos fenómenos a partir de su ritmo de cambio necesitas saber integrar también las funciones elementales: las trigonométricas, la exponencial y el recíproco 1/x.
El subtema NM 5.10 amplía tu repertorio de primitivas y, sobre todo, te enseña a integrar composiciones. Verás dos casos: cuando dentro de la función hay un argumento lineal ax + b, y el caso general de la regla de la cadena inversa, que puede sistematizarse como integración por sustitución. Saber identificar qué estructura tiene un integrando es, en este subtema, más importante que cualquier cálculo.
Las integrales elementales y el argumento lineal
El catálogo de primitivas básicas
Cada regla de derivación se lee al revés como una regla de integración. Como ya sabes que la derivada de sen x es cos x, deduces de inmediato que una primitiva de cos x es sen x. La tabla siguiente recoge las integrales que debes conocer de memoria en NM.
| Integral | Resultado | De qué derivada procede |
|---|---|---|
| ∫ xn dx (n ≠ −1, n∈ℚ) | xn+1/(n+1) + C | regla de la potencia |
| ∫ (1/x) dx | ln|x| + C | derivada de ln x es 1/x |
| ∫ ex dx | ex + C | ex es su propia derivada |
| ∫ cos x dx | sen x + C | derivada de sen x es cos x |
| ∫ sen x dx | −cos x + C | derivada de cos x es −sen x |
Observa el detalle de la integral del seno: como la derivada de cos x es −sen x, para que al derivar la primitiva aparezca +sen x hace falta un signo menos delante del coseno. Por eso ∫sen x dx = −cos x + C. Es el detalle que más confunde y conviene memorizarlo con cuidado.
Una observación importante sobre la regla de la potencia: en 5.10 el exponente n ya no tiene que ser entero, puede ser cualquier número racional. Esto permite integrar raíces. Por ejemplo, √x = x1/2, y al integrar el exponente sube a 3/2, así que ∫√x dx = x3/2/(3/2) + C = (2/3)x3/2 + C.
La integral del recíproco: ∫(1/x)dx = ln|x| + C
La regla de la potencia falla cuando n = −1, porque obligaría a dividir entre n + 1 = 0. Ese hueco lo rellena la función logaritmo: como la derivada de ln x es 1/x, resulta que
∫ (1/x) dx = ln|x| + C
El valor absoluto no es opcional. La función 1/x existe para los x negativos, pero el logaritmo solo está definido para números positivos. El valor absoluto repara esa asimetría: para x > 0 da ln x, y para x < 0 da ln(−x), cuya derivada vuelve a ser 1/x. Escribir ln x sin el valor absoluto se considera un error de rigor en el IB.
Composición con una función lineal
¿Qué ocurre cuando dentro de la función no aparece x a secas, sino una expresión lineal ax + b? Pensemos en f′(x) = cos(2x + 3). La tentación es responder sen(2x + 3), pero al derivar esa función la regla de la cadena saca un factor 2: la derivada de sen(2x + 3) es 2·cos(2x + 3), el doble de lo que queríamos. Para compensar hay que dividir entre el coeficiente 2.
Ejemplo 1 — argumento lineal en el coseno. Sabiendo que f′(x) = cos(2x + 3), halla f(x).
- Identifica la estructura: es un coseno con argumento lineal 2x + 3, donde el coeficiente es a = 2.
- Integra el coseno como si el argumento fuera x ⇒ aparece sen(2x + 3).
- Divide entre el coeficiente a = 2 ⇒ f(x) = (1/2)·sen(2x + 3) + C.
- Resultado: f(x) = ½ sen(2x + 3) + C.
- Comprobación: deriva ½ sen(2x+3) ⇒ ½·cos(2x+3)·2 = cos(2x+3). Coincide. ✓
Ejemplo 2 — exponencial y recíproco con argumento lineal. Calcula ∫(e5x−1 + 1/(3x+2)) dx.
- Primer término: e5x−1 tiene argumento lineal con a = 5. Integra la exponencial y divide entre 5 ⇒ (1/5)e5x−1.
- Segundo término: 1/(3x+2) es un recíproco con argumento lineal de coeficiente a = 3. Su primitiva es (1/3)ln|3x+2|.
- Suma ambos y añade la constante: ∫ = (1/5)e5x−1 + (1/3)ln|3x+2| + C.
- Comprobación: deriva (1/5)e5x−1 ⇒ (1/5)·e5x−1·5 = e5x−1; deriva (1/3)ln|3x+2| ⇒ (1/3)·(3/(3x+2)) = 1/(3x+2). La suma es el integrando. ✓
La regla de la cadena inversa y la sustitución
Cuándo el argumento no es lineal
El truco de «dividir entre el coeficiente» solo vale cuando el argumento es lineal, porque entonces la derivada interna es una constante. Si dentro de la función hay algo más complicado —un cuadrado, una raíz, otro polinomio— hace falta un método más general: la regla de la cadena inversa.
Recuerda la regla de la cadena para derivar: la derivada de f(g(x)) es f′(g(x))·g′(x). Leída al revés, esto te dice que si un integrando tiene la forma g′(x)·f(g(x)) —es decir, una función compuesta multiplicada por la derivada de su parte interior—, entonces su primitiva es F(g(x)), donde F es la primitiva de f.
Integración por reconocimiento o sustitución
Para expresiones de la forma
∫ k·g′(x)·f(g(x)) dx
se llama u = g(x) a la parte interior. Entonces du/dx = g′(x), lo que se escribe du = g′(x)dx. La integral se transforma en k·∫f(u)du, mucho más simple. Se integra en u y al final se deshace la sustitución volviendo a escribir u = g(x). La clave para que el método funcione es que la derivada g′(x) aparezca como factor en el integrando (salvo, como mucho, una constante).
Ejemplo 3 — potencia de una función. Calcula ∫ 2x(x2+1)4 dx.
- Identifica la parte interior: u = x2 + 1.
- Deriva: du/dx = 2x, así que du = 2x dx. ¡El factor 2x está presente en el integrando! El método encaja.
- Sustituye: 2x(x2+1)4 dx = (x2+1)4·(2x dx) = u4 du. La integral pasa a ser ∫u4 du.
- Integra en u con la regla de la potencia: ∫u4 du = u5/5 + C.
- Deshace la sustitución: u = x2+1, luego el resultado es (x2+1)5/5 + C.
- Comprobación: deriva (x2+1)5/5 ⇒ (1/5)·5(x2+1)4·2x = 2x(x2+1)4. Coincide con el integrando. ✓
Ejemplo 4 — función trigonométrica compuesta con ajuste de constante. Calcula ∫ 4x·sen(x2) dx.
- Parte interior: u = x2. Entonces du/dx = 2x, es decir du = 2x dx.
- En el integrando aparece 4x dx, no 2x dx. Pero 4x dx = 2·(2x dx) = 2 du: solo difieren en la constante 2, y las constantes salen fuera de la integral.
- Sustituye: ∫4x·sen(x2) dx = ∫sen(u)·2 du = 2∫sen u du.
- Integra: 2∫sen u du = 2·(−cos u) + C = −2 cos u + C.
- Deshace la sustitución: ∫4x·sen(x2) dx = −2 cos(x2) + C.
- Comprobación: deriva −2 cos(x2) ⇒ −2·(−sen(x2))·2x = 4x·sen(x2). Coincide. ✓
Error frecuente
Aplicar la sustitución cuando la derivada de la parte interior no aparece en el integrando. Por ejemplo, en ∫(x2+1)4 dx —sin el factor 2x delante— la sustitución u = x2+1 deja du = 2x dx, pero no hay ningún 2x en el integrando que canjear por du, y x no es una constante que pueda salir fuera. Esa integral no se resuelve con las herramientas de NM. Antes de sustituir, comprueba siempre que la derivada interior está presente (salvo una constante). Si no lo está, el método no es aplicable.
Una estrategia para reconocer el método
El obstáculo de 5.10 no es calcular, es decidir qué hacer. Esta secuencia de preguntas te orienta ante cualquier integral del subtema:
| ¿Qué ves en el integrando? | Método |
|---|---|
| Una potencia, trigonométrica o exponencial con argumento x a secas | Integral elemental directa de la tabla |
| Lo mismo, pero con argumento lineal ax+b | Integral elemental y dividir entre a |
| Una función compuesta multiplicada por la derivada de su parte interior | Cadena inversa / sustitución u = parte interior |
| Una suma de varios términos | Integrar cada término por separado |
Con este subtema cierras el catálogo de integrales indefinidas de NM. En 5.11 darás el último paso del bloque: usar estas primitivas para calcular integrales definidas de forma analítica y medir áreas con el teorema fundamental del cálculo.
Antes de integrar, clasifica el integrando: ¿es directo, lineal o compuesto? Esa decisión inicial es la que reparte marcas. En la sustitución, el IB premia escribir explícitamente «sea u = …» y «du = … dx»; no lo hagas en la cabeza. No olvides el valor absoluto en ln|…| ni el «+ C». Y la verificación universal del bloque sigue valiendo: deriva tu resultado; si recuperas el integrando, has acertado. Esa comprobación cuesta segundos y detecta errores de signo y de coeficiente, los dos más comunes aquí.