5.11 Integrales definidas

En 5.5 conociste la integral definida como un número que mide un área, y la calculabas con la calculadora gráfica. En 5.10 ampliaste tu catálogo de primitivas. Ahora juntamos las dos cosas: el subtema NM 5.11 te enseña a evaluar integrales definidas de forma analítica, a mano, gracias a uno de los resultados más profundos de las matemáticas: el teorema fundamental del cálculo.

Su enunciado es casi increíble por lo simple. Para hallar el área bajo una curva no hace falta sumar infinitos rectángulos: basta encontrar una primitiva y restar sus valores en dos puntos. Este subtema te entrena en esa técnica y, sobre todo, en una sutileza que el IB evalúa con insistencia: cuando una función cambia de signo, la integral definida y el área dejan de coincidir, y hay que tratarlas con cuidado.

El teorema fundamental del cálculo

El enunciado y cómo se usa

El teorema fundamental del cálculo establece el puente entre derivar e integrar, las dos operaciones del Tema 5. En la forma que se usa en NM dice lo siguiente.

La notación habitual usa un corchete con los límites para indicar «evaluar y restar»: [g(x)]_a^b significa g(b) − g(a). Es la forma de escritura que el IB espera ver en el desarrollo.

Ejemplo 1 — integral definida de un polinomio. Calcula ∫₁³ (3x² − 2x) dx.

1. Halla una primitiva: ∫(3x² − 2x) = 3·x³/3 − 2·x²/2 = x³ − x². Escribe el corchete: [x³ − x²]₁³.
2. Evalúa en el límite superior b = 3: 3³ − 3² = 27 − 9 = 18.
3. Evalúa en el límite inferior a = 1: 1³ − 1² = 1 − 1 = 0.
4. Resta: 18 − 0 = 18.
5. Comprobación: la primitiva x³ − x² derivada da 3x² − 2x, el integrando. ✓

Ejemplo 2 — integral definida con una exponencial. Calcula ∫₀² e^0,5x dx y da el resultado con tres cifras significativas.

1. El integrando es una exponencial con argumento lineal 0,5x. Por la regla de 5.10, la primitiva es (1/0,5)e^0,5x = 2e^0,5x. Corchete: [2e^0,5x]₀².
2. En b = 2: 2e^0,5·2 = 2e¹ = 2e.
3. En a = 0: 2e^0,5·0 = 2e⁰ = 2·1 = 2.
4. Resta: 2e − 2 = 2(e − 1). Numéricamente, 2·(2,71828… − 1) = 2·1,71828… = 3,43656…
5. Resultado a tres cifras significativas: 3,44.

Propiedades útiles de la integral definida

Dos propiedades aparecen una y otra vez al manipular integrales definidas. La primera: una constante multiplicativa sale fuera de la integral, ∫_a^b k·f(x) dx = k·∫_a^b f(x) dx. La segunda: la integral de una suma es la suma de las integrales. Ambas permiten descomponer integrandos complicados en piezas sencillas.

Hay además una propiedad de partición del intervalo que será decisiva en la segunda parte de este subtema: si c está entre a y b, entonces ∫_a^b f(x) dx = ∫_a^c f(x) dx + ∫_c^b f(x) dx. El recorrido de a a b puede trocearse en tramos, y la integral total es la suma de los tramos.

Cálculo de áreas con integrales definidas

Cuando la función cambia de signo

Aquí está el punto delicado del subtema. En 5.5 la función era positiva en todo el intervalo y la integral definida era el área. Pero una integral definida cuenta en realidad un área con signo: el área de la región que queda por encima del eje x la suma como positiva, y la de la región que queda por debajo la suma como negativa.

La consecuencia es importante. Si f(x) es negativa en parte del intervalo, la integral definida da un valor negativo en esa zona, y puede que el resultado total sea menor que el área verdadera —o incluso cero, si las partes positiva y negativa se cancelan—. Pero un área es siempre positiva: no existen las superficies negativas. Integral definida y área no son lo mismo cuando hay cambio de signo.

El método para hallar el área cuando hay cambio de signo es: (1) encontrar los puntos de corte con el eje x resolviendo f(x) = 0; (2) partir el intervalo en esos puntos; (3) integrar en cada tramo; (4) sumar el valor absoluto de cada integral parcial. De forma compacta, el área es ∫_a^b |f(x)| dx.

Ejemplo 3 — área cuando la curva cruza el eje. Halla el área de la región limitada por la curva y = x² − 4 y el eje x entre x = 0 y x = 3.

1. Localiza los cortes con el eje x: x² − 4 = 0 ⇒ x = ±2. Dentro de [0, 3] el corte relevante es x = 2.
2. Estudia el signo: en [0, 2] la curva está por debajo del eje (por ejemplo, en x = 0, y = −4 < 0); en [2, 3] está por encima (en x = 3, y = 5 > 0). Hay cambio de signo, así que partimos en x = 2.
3. Primitiva del integrando: ∫(x² − 4) = x³/3 − 4x.
4. Tramo [0, 2]: [x³/3 − 4x]₀² = (8/3 − 8) − (0) = 8/3 − 8 = −16/3. Es negativo (la región está debajo); su área es |−16/3| = 16/3.
5. Tramo [2, 3]: [x³/3 − 4x]₂³ = (27/3 − 12) − (8/3 − 8) = (9 − 12) − (8/3 − 8) = −3 − (−16/3) = −3 + 16/3 = 7/3. Es positivo; su área es 7/3.
6. Suma de las dos áreas: 16/3 + 7/3 = 23/3 ≈ 7,67 unidades de área.

Área entre dos curvas

El último tipo de problema es hallar el área de la región encerrada entre dos curvas, y = f(x) y y = g(x). La idea es directa: en cada vertical, la altura de la región es la diferencia entre la curva de arriba y la de abajo. El área se obtiene integrando esa diferencia entre los puntos donde las dos curvas se cortan.

Ejemplo 4 — área entre una parábola y una recta. Halla el área de la región encerrada entre la curva y = 6x − x² y la recta y = x.

1. Halla los cortes resolviendo 6x − x² = x ⇒ 6x − x² − x = 0 ⇒ 5x − x² = 0 ⇒ x(5 − x) = 0. Las soluciones son x = 0 y x = 5. Estos son los límites de integración.
2. Decide qué curva va arriba: prueba un punto interior, x = 1. La parábola da 6 − 1 = 5; la recta da 1. La parábola es la curva superior en todo [0, 5].
3. Plantea la expresión del área (escríbela antes de calcular, como pide el IB): A = ∫₀⁵ [(6x − x²) − x] dx = ∫₀⁵ (5x − x²) dx.
4. Halla una primitiva: ∫(5x − x²) = 5x²/2 − x³/3. Corchete: [5x²/2 − x³/3]₀⁵.
5. Evalúa en b = 5: 5·25/2 − 125/3 = 125/2 − 125/3. Pon denominador común 6: 375/6 − 250/6 = 125/6.
6. Evalúa en a = 0: 0.
7. Resta: 125/6 − 0 = 125/6 ≈ 20,8 unidades de área.

Fíjate en el orden de trabajo de este ejemplo: primero los cortes, luego decidir quién va arriba, luego escribir la integral correcta, y solo al final calcular. El IB valora explícitamente que plantees la expresión correcta antes de operar; muchas marcas se asignan a ese planteamiento, no al cálculo final.