1.6 Demostración por deducción y métodos algebraicos

Comprobar que (3 + 5)² = 3² + 2·3·5 + 5² es sencillo: los dos lados valen 64. Pero ese cálculo solo confirma un caso. La pregunta interesante es otra: ¿se cumple esa relación para cualquier par de números, no solo para 3 y 5? Responder «sí» con certeza absoluta exige algo más que probar ejemplos: exige una demostración. Este subtema te enseña a construir demostraciones sencillas y, con ellas, a distinguir lo que parece cierto de lo que está probado.

El subtema NM 1.6 introduce la demostración por deducción, la herramienta con la que la matemática separa la conjetura del teorema. En el IB de Nivel Medio no se te pedirá inventar demostraciones complejas, sino algo más concreto y muy frecuente en el examen: mostrar cómo se verifica un resultado dado, partiendo de una expresión y transformándola con álgebra hasta llegar a otra. Aprender a escribir ese encadenamiento de pasos con orden y justificación es una destreza que también te servirá en la Exploración.

Qué es demostrar por deducción

De los ejemplos a la certeza

Verificar una afirmación en varios casos concretos genera confianza, pero no produce certeza. Un ejemplo ilustra; no demuestra. La historia de las matemáticas está llena de patrones que se cumplían en miles de casos y fallaban en el siguiente. Por eso una demostración no comprueba casos: razona sobre un número genérico, normalmente representado por una letra, de modo que el argumento cubre todos los casos a la vez.

La demostración por deducción funciona así: se parte de premisas aceptadas como verdaderas —definiciones, propiedades del álgebra ya conocidas— y se encadenan pasos lógicos, cada uno justificado por el anterior, hasta llegar a la conclusión. Si las premisas son verdaderas y cada paso es válido, la conclusión es necesariamente verdadera. No hay margen de duda: en eso consiste la fuerza de la deducción.

Igualdad frente a identidad: dos símbolos, dos significados

El IB distingue con cuidado dos símbolos que suelen confundirse. El signo = indica una igualdad: afirma que dos expresiones valen lo mismo, pero quizá solo para ciertos valores de la variable. La ecuación 2x + 1 = 7, por ejemplo, solo es cierta cuando x = 3.

El signo ≡ indica una identidad: afirma que dos expresiones son iguales para todos los valores admisibles de la variable. La relación (x + 1)² ≡ x² + 2x + 1 es cierta sea cual sea x; no es una ecuación que resolver, sino una afirmación de equivalencia permanente entre dos formas de escribir lo mismo.

Construir demostraciones algebraicas sencillas

De un caso numérico a una identidad general

Un patrón muy frecuente en el examen empieza por un caso numérico concreto y pide después demostrar que la misma relación vale en general. El caso numérico es solo el motivo; la demostración es lo que se evalúa.

Ejemplo 1 — de la verificación numérica a la identidad. Comprueba que 6² − 4² = (6 + 4)(6 − 4) y demuestra que, para cualesquiera números a y b, se cumple a² − b² ≡ (a + b)(a − b).

1. Caso numérico, lado izquierdo: 6² − 4² = 36 − 16 = 20.
2. Caso numérico, lado derecho: (6 + 4)(6 − 4) = 10 · 2 = 20. Coinciden, pero esto solo confirma un caso.
3. Demostración general. Partimos del lado derecho: (a + b)(a − b).
4. Desarrollamos el producto: (a + b)(a − b) = a·a − a·b + b·a − b·b.
5. Los términos centrales se cancelan: −ab + ba = 0. Queda a² − b².
6. Hemos transformado el lado derecho en el izquierdo: a² − b² ≡ (a + b)(a − b), como queríamos demostrar.

Ejemplo 2 — forma desarrollada y forma factorizada de una cuadrática. Demuestra que x² + 7x + 12 ≡ (x + 3)(x + 4).

1. Elegimos el lado factorizado, que es el más cómodo de desarrollar: (x + 3)(x + 4).
2. Aplicamos la propiedad distributiva: (x + 3)(x + 4) = x·x + x·4 + 3·x + 3·4.
3. Operamos cada término: = x² + 4x + 3x + 12.
4. Agrupamos los términos semejantes: 4x + 3x = 7x. Queda x² + 7x + 12.
5. El lado factorizado se ha convertido en el desarrollado: la identidad queda demostrada.

Demostrar afirmaciones sobre tipos de número

Otra familia de demostraciones del IB afirma algo sobre todos los números de cierto tipo. La clave es representar ese tipo con una expresión algebraica. Un número par se escribe 2n, con n entero; uno impar, 2n + 1. A partir de ahí, el álgebra hace el trabajo.

Ejemplo 3 — la suma de dos números pares es par. Demuestra que la suma de dos números pares cualesquiera es siempre par.

1. Representamos los dos pares con letras distintas: el primero es 2m y el segundo es 2n, donde m y n son enteros.
2. Sumamos: 2m + 2n.
3. Sacamos factor común 2: 2m + 2n = 2(m + n).
4. Como m y n son enteros, su suma m + n también lo es. La expresión 2(m + n) es, por tanto, dos veces un entero: es decir, un número par.
5. Queda demostrado que la suma de dos pares cualesquiera es par.

Ejemplo 4 — el producto de dos impares consecutivos, más uno. Demuestra que si tomas dos números impares consecutivos y sumas 1 a su producto, el resultado es siempre un múltiplo de 4.

1. Dos impares consecutivos se escriben 2n − 1 y 2n + 1, con n entero.
2. Su producto: (2n − 1)(2n + 1) = (2n)² − 1² = 4n² − 1, usando la identidad del Ejemplo 1.
3. Sumamos 1: (4n² − 1) + 1 = 4n².
4. Como 4n² = 4·n² y n² es un entero, el resultado es cuatro veces un entero: un múltiplo de 4.
5. Queda demostrada la afirmación para cualquier elección de impares consecutivos.