1.7 Propiedades de potencias racionales y de logaritmos

En el subtema 1.5 una potencia siempre tenía exponente entero y un logaritmo solo se evaluaba en la calculadora. Aquí se da el doble salto que completa el bloque: el exponente puede ser ahora una fracción —y entonces la potencia es una raíz disfrazada— y los logaritmos dejan de ser una caja negra para convertirse en un álgebra con reglas propias. Con esas reglas en la mano podrás, por fin, resolver ecuaciones donde la incógnita está atrapada en un exponente.

El subtema NM 1.7 reúne las herramientas más potentes del Tema 1: las propiedades de las potencias de exponente racional, las propiedades de los logaritmos, la fórmula de cambio de base y la resolución de ecuaciones exponenciales. Todo ello volverá en el Tema 2, cuando estudies las funciones exponencial y logarítmica, y conecta también con el examen de Química a través del pH. Es un subtema de síntesis: poco contenido nuevo aislado, mucha combinación de lo anterior.

Potencias de exponente racional

Cuando el exponente es una fracción

¿Qué puede significar 9^1/2? Si las propiedades de las potencias deben seguir valiendo, entonces (9^1/2)² = 9^(1/2)·2 = 9¹ = 9. El número 9^1/2 es, por tanto, aquel que elevado al cuadrado da 9: es decir, √9 = 3. El razonamiento es general y conduce a la definición clave del subtema.

Exponente racional como raíz

Para una base a > 0 y enteros m, n con m ≥ 1:

a^1/m = ^m√a: la potencia de exponente 1/m es la raíz m-ésima de a.
a^n/m = (^m√a)ⁿ = ^m√(aⁿ): el denominador del exponente da el índice de la raíz; el numerador, la potencia. Da igual el orden en que se apliquen.

Cuando el índice m es par, se toma por convenio la raíz positiva. Así 16^1/2 = 4, no −4, aunque (−4)² también valga 16. Las cinco propiedades de las potencias del subtema 1.5 siguen siendo válidas sin cambio alguno con exponentes racionales.

Ejemplo 1 — evaluar una potencia de exponente racional. Calcula 16^3/4.

El denominador 4 indica raíz cuarta; el numerador 3 indica elevar al cubo. Conviene hacer primero la raíz: 16^3/4 = (⁴√16)³.
Raíz cuarta de 16: buscamos el número positivo que elevado a 4 da 16. Como 2⁴ = 16, se tiene ⁴√16 = 2.
Elevamos al cubo: 2³ = 8.
Resultado: 16^3/4 = 8. Comprobación por el otro orden: 16³ = 4096 y ⁴√4096 = 8, ya que 8⁴ = 4096. Coincide.

Ejemplo 2 — exponente racional negativo. Calcula 27^−2/3.

El signo negativo invierte la potencia: 27^−2/3 = 1 / 27^2/3.
El denominador 3 indica raíz cúbica: ³√27 = 3, porque 3³ = 27.
El numerador 2 indica elevar al cuadrado: 27^2/3 = 3² = 9.
Resultado: 27^−2/3 = 1/9.

Error frecuente

Olvidar que en una potencia como 16^3/4 el denominador del exponente es el índice de la raíz y el numerador es la potencia. Intercambiarlos lleva a calcular ³√(16⁴) en lugar de ⁴√(16³), y el resultado cambia. Truco para no equivocarse: el denominador «divide» el número en partes iguales —de ahí la raíz—. Otro descuido habitual es pensar que un exponente racional negativo da un número negativo: 27^−2/3 = 1/9 es positivo; el signo solo invierte.

Propiedades de los logaritmos y ecuaciones exponenciales

Las leyes de los logaritmos

El logaritmo se definió en el subtema 1.5 como el exponente de una potencia. Esa identidad —un logaritmo es un exponente— es la que explica todas sus propiedades: cada regla de los logaritmos es el reflejo de una regla de las potencias. Por eso «el logaritmo de un producto es una suma»: porque al multiplicar potencias se suman los exponentes.

Propiedades de los logaritmos

Para una base a > 0 con a ≠ 1, y para x, y > 0:

log_a a = 1 y log_a 1 = 0 (porque a¹ = a y a⁰ = 1).
log_a(xy) = log_a x + log_a y — el logaritmo de un producto es la suma de logaritmos.
log_a(x/y) = log_a x − log_a y — el logaritmo de un cociente es la resta de logaritmos.
log_a(x^m) = m · log_a x — el exponente de un número «baja» a multiplicar al logaritmo.

La condición x, y > 0 es innegociable: solo los números positivos tienen logaritmo. Y la relación de partida sigue siendo y = a^x ⇔ x = log_a y.

Ejemplo 3 — combinar las propiedades. Sabiendo que log 2 ≈ 0,301 y log 3 ≈ 0,477, calcula log 12 sin teclear log 12 directamente.

Descomponemos 12 en factores cuyos logaritmos conocemos: 12 = 4 · 3 = 2² · 3.
Logaritmo del producto: log 12 = log(2²) + log 3.
La propiedad de la potencia baja el exponente: log(2²) = 2 · log 2.
Sustituimos los valores: log 12 = 2 · 0,301 + 0,477 = 0,602 + 0,477 = 1,079.
Comprobación directa con la calculadora: log 12 ≈ 1,079. Coincide.

Cambio de base

Tu calculadora solo trae las teclas log (base 10) y ln (base e). ¿Cómo se evalúa entonces, por ejemplo, log₂ 50? La fórmula de cambio de base permite reescribir cualquier logaritmo como un cociente de logaritmos en una base que sí tengas a mano.

💡 Fórmula de cambio de base: para bases a, b > 0 distintas de 1 y x > 0, se cumple log_a x = (log_b x) / (log_b a). En la práctica se elige b = 10 o b = e, las dos bases de la calculadora. Da igual cuál de las dos uses: el cociente sale el mismo.

Ejemplo 4 — cambio de base. Evalúa log₂ 50.

Aplicamos la fórmula con base 10: log₂ 50 = (log 50) / (log 2).
Con la calculadora: log 50 ≈ 1,699 y log 2 ≈ 0,301.
Dividimos: 1,699 / 0,301 ≈ 5,644.
Comprobación de coherencia: 2⁵ = 32 y 2⁶ = 64, así que log₂ 50 tiene que estar entre 5 y 6. El valor 5,644 encaja.

Resolver ecuaciones exponenciales

Una ecuación exponencial lleva la incógnita en un exponente. Cuando los dos lados pueden escribirse con la misma base, basta igualar exponentes. Cuando no, la herramienta general es logaritmar: aplicar un logaritmo a los dos lados y usar la propiedad log_a(x^m) = m·log_a x para «bajar» la incógnita del exponente.

Ejemplo 5 — ecuación exponencial resuelta con logaritmos. Resuelve 3^x = 50, dando la respuesta a tres cifras significativas.

Las bases no se igualan fácilmente (50 no es potencia exacta de 3), así que aplicamos logaritmo decimal a los dos lados: log(3^x) = log 50.
La propiedad de la potencia baja la x: x · log 3 = log 50.
Despejamos x dividiendo: x = (log 50) / (log 3).
Con la calculadora: x = 1,699 / 0,477 ≈ 3,56.
Comprobación: 3^3,56 ≈ 50,0. El resultado es correcto.

Situación	Estrategia	Ejemplo
Los dos lados tienen la misma base	Igualar los exponentes directamente	2^x = 32 = 2⁵ ⇒ x = 5
Los lados se pueden reescribir con base común	Reescribir y luego igualar exponentes	4^x = 8 ⇒ 2^2x = 2³ ⇒ x = 3/2
No hay base común razonable	Logaritmar los dos lados y despejar	3^x = 50 ⇒ x = (log 50)/(log 3)

Para el examen

Claves para 1.7: (i) ante una potencia de exponente racional, recuerda «denominador es índice de raíz, numerador es potencia», y haz primero la raíz para trabajar con números pequeños; (ii) antes de usar las propiedades de los logaritmos, descompón el número en factores conocidos —es el paso que el examinador espera ver—; (iii) para evaluar un logaritmo de base poco habitual, cambia de base a 10 o a e; (iv) en una ecuación exponencial, intenta primero igualar bases; si no salen, logaritma los dos lados. Comprueba siempre la respuesta sustituyéndola: en este subtema es rápido y caza errores de tecleo.