Matemáticas AA · Progresiones, series y teorema del binomio

1.2 Progresiones y series aritméticas

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Imagina que ahorras dinero para un viaje. El primer mes guardas 20 €, y cada mes siguiente añades 5 € más que el anterior: 20, 25, 30, 35… La regularidad de ese patrón es lo que permite responder, sin sumar mes a mes, a preguntas como «¿cuánto tendré al cabo de un año?» o «¿en qué mes superaré los 100 € mensuales?». Esa es exactamente la potencia de las progresiones aritméticas: detrás de un crecimiento constante hay una fórmula que lo describe entero.

El subtema NM 1.2 abre el estudio de las sucesiones porque la progresión aritmética es la más sencilla de todas y fija el vocabulario que se reutilizará en las geométricas (1.3) y en las series infinitas (1.8). Aquí aprenderás a localizar cualquier término sin construir la lista completa, a sumar bloques largos de un plumazo y a leer la notación de sumatoria, que es el idioma con el que el IB escribe las sumas en todo el curso.

La progresión aritmética y su término general

Qué hace aritmética a una sucesión

Una sucesión es simplemente una lista ordenada de números: a cada posición n = 1, 2, 3, … le corresponde un término un. Una sucesión es una progresión aritmética cuando la diferencia entre cada término y el anterior es siempre la misma. A esa constante se le llama diferencia común y se denota d.

La forma de comprobar si una sucesión es aritmética es directa: resta términos consecutivos y mira si obtienes siempre el mismo número. En 8, 14, 20, 26 las restas son 14 − 8 = 6, 20 − 14 = 6 y 26 − 20 = 6, así que es aritmética con d = 6. En 2, 4, 8, 16 las restas son 2, 4 y 8: no coinciden, luego no es aritmética (es geométrica, como verás en 1.3).

Término general de una progresión aritmética

Si una progresión aritmética tiene primer término u1 y diferencia común d, su término n-ésimo es:

un = u1 + (n − 1)d

La idea es sencilla: para llegar desde el primer término al término n hay que dar (n − 1) pasos, y cada paso suma d. Por eso aparece (n − 1) y no n: del término 1 al término 5 hay 4 saltos, no 5.

Ejemplo 1 — hallar un término lejano. Una progresión aritmética empieza por 7 y tiene diferencia común 4. Halla el término que ocupa la posición 30.

  1. Identifica los datos: u1 = 7, d = 4, n = 30.
  2. Sustituye en la fórmula: u30 = 7 + (30 − 1)·4.
  3. Opera el paréntesis y el producto: 30 − 1 = 29, y 29·4 = 116.
  4. Suma: u30 = 7 + 116 = 123.

Trabajar hacia atrás: encontrar u₁ y d

En muchos problemas no te dan el primer término ni la diferencia, sino dos términos cualesquiera. La estrategia es plantear la fórmula del término general para cada dato conocido y resolver el sistema de dos ecuaciones que resulta.

Ejemplo 2 — dos términos conocidos. En una progresión aritmética se sabe que el cuarto término vale 19 y el noveno vale 44. Halla u1, d y el término general.

  1. Escribe las dos condiciones con la fórmula: u4 = u1 + 3d = 19 y u9 = u1 + 8d = 44.
  2. Resta la primera ecuación de la segunda para eliminar u1: (u1 + 8d) − (u1 + 3d) = 44 − 19, es decir 5d = 25.
  3. Despeja: d = 25 ÷ 5 = 5.
  4. Sustituye d = 5 en u1 + 3d = 19: u1 + 15 = 19, luego u1 = 4.
  5. Término general: un = 4 + (n − 1)·5 = 5n − 1. Comprueba: u4 = 5·4 − 1 = 19 ✓ y u9 = 5·9 − 1 = 44 ✓.
💡 Lectura del término general: al desarrollar un = u1 + (n − 1)d siempre obtienes una expresión de la forma un = dn + c: una recta en función de n. El coeficiente de n es la diferencia común. Por eso, si representas los términos de una progresión aritmética, los puntos quedan perfectamente alineados.

Sumar una progresión: la serie aritmética

Las dos fórmulas de la suma

Sumar los términos de una progresión aritmética se llama formar una serie aritmética. La suma de los n primeros términos se denota Sn. Existe una forma ingeniosa de calcularla sin sumar uno a uno: emparejar el primer término con el último, el segundo con el penúltimo, etc. Cada pareja suma siempre lo mismo, u1 + un, y hay n/2 parejas. De ahí salen las dos fórmulas equivalentes:

Suma de los n primeros términos

Sn = (n/2)(u1 + un)

Esta versión es la más cómoda cuando conoces el último término que vas a sumar. Si no lo conoces, sustituye un = u1 + (n − 1)d y obtienes la versión equivalente:

Sn = (n/2)(2u1 + (n − 1)d)

Ambas dan el mismo resultado: usa la primera si tienes un, la segunda si tienes d.

Ejemplo 3 — suma con el último término conocido. Suma todos los números pares desde 2 hasta 100.

  1. La lista 2, 4, 6, …, 100 es aritmética con u1 = 2 y d = 2.
  2. Averigua cuántos términos hay. Plantea un = 100: 2 + (n − 1)·2 = 100.
  3. Resuelve: (n − 1)·2 = 98, luego n − 1 = 49 y n = 50. Hay 50 términos.
  4. Aplica Sn = (n/2)(u1 + un): S50 = (50/2)(2 + 100) = 25·102 = 2 550.

Ejemplo 4 — suma con la diferencia conocida. Un auditorio tiene 14 butacas en la primera fila y, en cada fila siguiente, 3 butacas más. Si hay 20 filas, ¿cuántas butacas tiene en total?

  1. El número de butacas por fila forma una progresión aritmética: u1 = 14, d = 3, n = 20.
  2. No conoces el último término, así que usa Sn = (n/2)(2u1 + (n − 1)d).
  3. Sustituye: S20 = (20/2)(2·14 + (20 − 1)·3) = 10·(28 + 57).
  4. Opera el paréntesis: 28 + 57 = 85. Multiplica: 10·85 = 850 butacas.

Error frecuente

Confundir el número de términos con el último valor. En el Ejemplo 3, el último término es 100, pero el número de términos es 50; quien escribe S = (100/2)(2 + 100) está usando n = 100 por error y obtiene un resultado disparatado. Antes de aplicar la fórmula de la suma, calcula siempre cuántos términos hay resolviendo un = (valor final). El n que aparece en Sn es la cantidad de sumandos, no el mayor de ellos.

La notación de sumatoria (Σ)

El IB escribe las series con el símbolo Σ (sigma mayúscula). La expresión Σr=1n ur se lee «suma de ur desde r = 1 hasta r = n»: el índice r recorre todos los enteros entre el límite inferior (debajo de Σ) y el superior (encima de Σ), y cada valor genera un sumando.

Por ejemplo, Σr=14 (3r + 1) significa sumar 3r + 1 para r = 1, 2, 3, 4: (3·1+1) + (3·2+1) + (3·3+1) + (3·4+1) = 4 + 7 + 10 + 13 = 34. Fíjate en que 4, 7, 10, 13 es una progresión aritmética de diferencia común 3, así que también podrías sumarla con Sn.

Elemento de Σr=1n urQué significa
ΣOrden de sumar todos los sumandos generados.
r (índice)Variable muda que toma valores enteros consecutivos.
r = 1 (límite inferior)Primer valor que toma el índice.
n (límite superior)Último valor que toma el índice.
ur (término general)Expresión que se evalúa para cada valor del índice.

Una aplicación real: el interés simple

El interés simple es el ejemplo financiero clásico de progresión aritmética. Si inviertes un capital C a un tipo de interés simple anual, cada año se añade siempre la misma cantidad de intereses (un porcentaje fijo del capital inicial, no del saldo acumulado). Los saldos al final de cada año forman, por tanto, una progresión aritmética cuya diferencia común es el interés anual.

Ejemplo 5 — interés simple a varios años. Inviertes 2 000 € a un interés simple del 3 % anual. ¿Cuánto dinero tendrás al cabo de 8 años?

  1. El interés de cada año es el 3 % de 2 000 €: 0,03 · 2 000 = 60 € fijos al año. Esa es la diferencia común d = 60.
  2. El saldo al final del año 1 es u1 = 2 000 + 60 = 2 060 €.
  3. El saldo al final del año 8 es el octavo término: u8 = 2 060 + (8 − 1)·60 = 2 060 + 420 = 2 480 €.
  4. Comprobación directa: capital inicial + 8 años de intereses = 2 000 + 8·60 = 2 000 + 480 = 2 480 € ✓.
💡 Conexión con 1.4: el interés simple crece de forma aritmética porque siempre se calcula sobre el capital inicial. En cambio, el interés compuesto reinvierte los intereses, así que cada año el incremento es mayor que el anterior: eso ya es una progresión geométrica. El contraste entre estos dos modelos es el corazón del subtema 1.4.

Cuando los datos reales no son perfectamente aritméticos

En la práctica, pocas situaciones forman una progresión aritmética exacta: las ventas de una tienda, la población de un pueblo o las temperaturas no crecen exactamente lo mismo cada periodo. Aun así, el modelo aritmético sigue siendo útil como aproximación: se estima una diferencia común promedio y se usa para hacer previsiones razonables.

Ejemplo 6 — diferencia común aproximada. Una pequeña editorial vendió 1 200 libros en su primer año y 5 040 en su décimo año. Si supones un crecimiento aproximadamente aritmético, estima cuántos libros vendió de media cada año y predice las ventas del año 15.

  1. Modela: u1 = 1 200 y u10 = 5 040. La fórmula da u10 = u1 + 9d.
  2. Plantea 1 200 + 9d = 5 040, luego 9d = 3 840 y d ≈ 426,67. El crecimiento medio es de unos 427 libros al año.
  3. Predice el año 15: u15 = 1 200 + (15 − 1)·426,67 ≈ 1 200 + 5 973,3 ≈ 7 173 libros.
  4. Recuerda que es una estimación: el modelo aritmético supone un incremento constante que la realidad solo cumple de forma aproximada.
Para el examen

En la Prueba 1 las preguntas de 1.2 piden casi siempre el mismo guion: (i) extraer u1 y d del enunciado o de dos términos dados, (ii) usar el término general para localizar un término o averiguar el número de términos, y (iii) cerrar con la suma. Tres reflejos que ganan marcas: escribe siempre la fórmula antes de sustituir (el examinador da marca por el método); cuando una serie venga en notación Σ, lee primero los límites para saber cuántos términos hay; y si la calculadora ofrece la función «sum» o el menú de sucesiones, úsala para verificar, pero deja escrito el desarrollo algebraico, que es lo que puntúa.