Cuenta una leyenda que el inventor del ajedrez pidió como recompensa un grano de trigo en la primera casilla del tablero, dos en la segunda, cuatro en la tercera, y así doblando hasta la casilla 64. Parece una petición modesta; en realidad supera la producción mundial de trigo de muchos años juntos. La razón es que esa lista —1, 2, 4, 8, 16…— es una progresión geométrica, y las progresiones geométricas no crecen sumando, sino multiplicando: por eso se disparan.
El subtema NM 1.3 es la pieza que conecta el álgebra de sucesiones con el mundo real de los porcentajes. Una bajada de sueldo, la propagación de una enfermedad, el crecimiento de una población o la depreciación de un coche tienen todos la misma estructura matemática: en cada periodo, la cantidad se multiplica por un factor fijo. Dominar las progresiones geométricas aquí es la antesala de las aplicaciones financieras (1.4), de las series infinitas (1.8) y de los modelos exponenciales del Tema 2.
La progresión geométrica y su término general
Qué hace geométrica a una sucesión
Una sucesión es una progresión geométrica cuando el cociente entre cada término y el anterior es siempre el mismo. A esa constante se le llama razón común y se denota r. Mientras una progresión aritmética suma siempre lo mismo, una geométrica multiplica siempre por lo mismo.
Para comprobar si una sucesión es geométrica, divide términos consecutivos y mira si obtienes siempre el mismo número. En 5, 15, 45, 135 los cocientes son 15 ÷ 5 = 3, 45 ÷ 15 = 3 y 135 ÷ 45 = 3: es geométrica con r = 3. En 5, 10, 15, 20 los cocientes son 2; 1,5; 1,33…: no coinciden, luego es aritmética, no geométrica.
Término general de una progresión geométrica
Si una progresión geométrica tiene primer término u1 y razón común r, su término n-ésimo es:
un = u1 · r(n − 1)
De nuevo aparece el exponente (n − 1) y no n: para llegar del primer término al término n hay que multiplicar por r exactamente (n − 1) veces. El primer término ya «está ahí», sin ninguna multiplicación.
Ejemplo 1 — hallar un término lejano. Una progresión geométrica empieza por 6 y tiene razón común 2. Halla el octavo término.
- Datos: u1 = 6, r = 2, n = 8.
- Sustituye: u8 = 6 · 2(8 − 1) = 6 · 27.
- Calcula la potencia: 27 = 128.
- Multiplica: u8 = 6 · 128 = 768.
La razón común como porcentaje
La razón común tiene una lectura muy útil en problemas reales. Un aumento del p % equivale a multiplicar por el factor de crecimiento r = 1 + p/100; una disminución del p % equivale a multiplicar por r = 1 − p/100. Por ejemplo, un crecimiento del 8 % anual da r = 1,08; una bajada del 15 % da r = 0,85.
| Valor de r | Comportamiento de la progresión |
|---|---|
| r > 1 | Crece cada vez más deprisa (subida porcentual). |
| r = 1 | Constante: todos los términos son iguales. |
| 0 < r < 1 | Decrece acercándose a 0 (bajada porcentual). |
| r < 0 | Alterna el signo de un término al siguiente. |
Ejemplo 2 — bajada de sueldo encubierta. Una empresa en dificultades recorta los salarios un 6 % cada año. Si un empleado cobra hoy 28 000 € anuales, ¿cuánto cobrará al cabo de 5 años?
- Una bajada del 6 % da razón común r = 1 − 0,06 = 0,94.
- El sueldo de hoy es el primer término, u1 = 28 000. El sueldo «al cabo de 5 años» es el sexto término, u6, porque el de hoy es el término 1.
- Sustituye: u6 = 28 000 · 0,94(6 − 1) = 28 000 · 0,945.
- Calcula 0,945 ≈ 0,733904. Multiplica: 28 000 · 0,733904 ≈ 20 549,31 €.
Trabajar hacia atrás: encontrar u₁ y r
Ejemplo 3 — dos términos conocidos. En una progresión geométrica de términos positivos, el segundo término vale 12 y el quinto vale 324. Halla r y u1.
- Escribe las condiciones: u2 = u1·r = 12 y u5 = u1·r4 = 324.
- Divide la segunda ecuación entre la primera para eliminar u1: (u1·r4) / (u1·r) = 324 / 12, es decir r3 = 27.
- Despeja: r = 3√27 = 3.
- Sustituye en u1·r = 12: u1·3 = 12, luego u1 = 4. Comprueba: u5 = 4·34 = 4·81 = 324 ✓.
Sumar una progresión: la serie geométrica
La fórmula de la suma
La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica se llama serie geométrica y se denota Sn. No se puede emparejar como en las aritméticas, pero hay un truco igual de elegante: si restas Sn de r·Sn, casi todos los términos se cancelan, y queda una fórmula cerrada.
Suma de los n primeros términos (r ≠ 1)
Sn = u1(rn − 1) / (r − 1)
Esta forma es la más cómoda cuando r > 1. Si r < 1, multiplicando arriba y abajo por −1 obtienes la versión equivalente Sn = u1(1 − rn) / (1 − r), que evita los signos negativos. La fórmula no vale para r = 1: en ese caso todos los términos son iguales y la suma es simplemente Sn = n·u1.
Ejemplo 4 — suma de una progresión creciente. Suma los 10 primeros términos de la progresión geométrica 3, 6, 12, 24, …
- Identifica: u1 = 3, r = 6 ÷ 3 = 2, n = 10.
- Como r > 1, usa Sn = u1(rn − 1) / (r − 1).
- Calcula rn: 210 = 1 024.
- Sustituye: S10 = 3·(1 024 − 1) / (2 − 1) = 3·1 023 / 1 = 3 069.
Ejemplo 5 — propagación de una enfermedad. En el seguimiento de un brote, el primer día se detecta 1 persona contagiada y se observa que cada día el número de nuevos contagios se multiplica por 1,5. ¿Cuántas personas se habrán contagiado en total durante los 12 primeros días?
- Los nuevos contagios de cada día forman una progresión geométrica: u1 = 1, r = 1,5.
- El total tras 12 días es la suma S12 de esa serie geométrica.
- Calcula 1,512 ≈ 129,746. Entonces rn − 1 ≈ 128,746.
- Sustituye: S12 = 1·(129,746 − 1) / (1,5 − 1) = 128,746 / 0,5 ≈ 257,5. Como las personas son enteras, el modelo predice unos 257 contagios acumulados.
Error frecuente
Aplicar la fórmula de la suma geométrica con r = 1, o usarla cuando la sucesión es en realidad aritmética. Si r = 1, el denominador r − 1 se anula y la división es imposible: en ese caso la suma es n·u1. Y antes de elegir la fórmula geométrica, comprueba que el cociente de términos consecutivos es constante; si lo que es constante es la diferencia, la sucesión es aritmética y debes usar las fórmulas de 1.2. Una mirada de diez segundos a los datos evita un planteamiento entero equivocado.
La notación de sumatoria en las series geométricas
Igual que las aritméticas, las series geométricas se escriben de forma compacta con Σ. Por ejemplo, Σr=16 5·2r−1 es la suma de los 6 primeros términos de la progresión geométrica de primer término 5 y razón 2. El reto típico del examen es identificar u1 y r dentro de la expresión: aquí, al sustituir r = 1 obtienes el primer sumando 5·20 = 5, así que u1 = 5, y la base de la potencia, 2, es la razón común.
Calculémosla: con u1 = 5, r = 2 y n = 6, S6 = 5·(26 − 1) / (2 − 1) = 5·(64 − 1) = 5·63 = 315. Puedes verificarlo sumando a mano: 5 + 10 + 20 + 40 + 80 + 160 = 315.
Aplicaciones: poblaciones, sueldos y la conexión con otros temas
Las progresiones geométricas modelan cualquier proceso de crecimiento o decrecimiento porcentual periodo a periodo. Una población que aumenta un porcentaje fijo cada año, una inversión que rinde un interés fijo, un medicamento que el cuerpo elimina en una fracción constante por hora: todos comparten la misma estructura geométrica.
| Situación real | Razón común r | Tipo |
|---|---|---|
| Población que crece un 2 % anual | 1,02 | Crecimiento |
| Coche que pierde un 18 % de valor al año | 0,82 | Decrecimiento (depreciación) |
| Inversión al 4 % de interés compuesto | 1,04 | Crecimiento |
| Fármaco del que el cuerpo elimina el 30 % por hora | 0,70 | Decrecimiento |
En la Prueba 1, las preguntas de 1.3 castigan dos descuidos. Primero, el desfase entre «al cabo de k años» y el número de término: dibuja una mini-tabla posición→valor si dudas. Segundo, el redondeo prematuro: la potencia rn arrastra muchos decimales, así que opera con todas las cifras de la calculadora y redondea solo el resultado final a tres cifras significativas. Cuando te den dos términos no consecutivos, divídelos siempre: el cociente deja una potencia limpia de r de la que sale la razón con una raíz. Y escribe la fórmula antes de sustituir: el examinador da marca por el método aunque la cuenta final falle.