Matemáticas AA · Aritmética, potencias y logaritmos

1.1 Notación científica

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La masa de un electrón es 9,11 × 10−31 kg; la masa del Sol, 1,99 × 1030 kg. Entre uno y otra median sesenta y un órdenes de magnitud. Escribir esos números con todas sus cifras decimales sería inviable —un electrón exigiría una coma seguida de treinta ceros antes del primer dígito— y compararlos a ojo, imposible. La notación científica resuelve los dos problemas de un golpe: fija una única manera correcta de escribir cualquier número real y reduce la comparación de tamaños a una mirada al exponente.

El subtema NM 1.1 abre el primer tema de Análisis y Enfoques porque es la convención silenciosa sobre la que se apoya el resto del curso. Cuando en el Tema 1.4 trabajes con interés compuesto, cuando en el Tema 5 aparezcan límites diminutos, o cuando el examen de Química te pida el número de Avogadro, lo único que cambia es el contexto: la forma a × 10k es siempre la misma. Dominarla ahora te ahorra errores durante dos años.

Representar números: la forma canónica

La forma canónica a × 10k

La guía oficial del IB describe la notación científica como el trabajo con números expresados en la forma a × 10k, donde el coeficiente a cumple 1 ≤ a < 10 y k es un número entero. Las dos condiciones, juntas, garantizan que la representación sea única: cualquier número real distinto de cero se escribe de una sola manera que las satisfaga las dos a la vez. Esa unicidad es lo que convierte la notación en un lenguaje común para toda la ciencia.

Forma canónica de notación científica

Un número está escrito en forma canónica cuando, y solo cuando, cumple las tres condiciones siguientes:

  • El coeficiente a es positivo y satisface 1 ≤ a < 10: una sola cifra distinta de cero antes de la coma decimal.
  • El exponente k es un número entero (positivo, negativo o cero).
  • El factor multiplicativo es exactamente una potencia de diez, 10k, y no otra base.

Por eso 4,2 × 106 está en forma canónica, mientras que 42 × 105 y 0,42 × 107 son el mismo número escrito de forma no canónica. En el IB, la respuesta final siempre se entrega en forma canónica.

Convertir un número a notación científica

Para llevar un número decimal a notación científica se localiza la coma y se cuenta cuántas posiciones hay que desplazarla hasta dejar una sola cifra distinta de cero a la izquierda. El número de posiciones desplazadas es el valor absoluto del exponente; la dirección del desplazamiento fija su signo.

  • Si el número es grande (≥ 10), la coma se mueve hacia la izquierda y el exponente es positivo. Por ejemplo, los 9 460 000 000 000 km que recorre la luz en un año se escriben 9,46 × 1012 km: la coma ha viajado doce posiciones a la izquierda.
  • Si el número es pequeño (entre 0 y 1), la coma se mueve hacia la derecha y el exponente es negativo. Por ejemplo, 0,00000000016 m (radio aproximado de un átomo de carbono) se escribe 1,6 × 10−10 m: la coma ha viajado diez posiciones a la derecha.
  • Si el número ya cumple 1 ≤ a < 10, el exponente es 0: 8,3 = 8,3 × 100.

Conviene reparar en por qué el exponente cuenta posiciones y no «ceros». Para un número como 9,46 × 1012 el coeficiente arrastra cifras significativas más allá del primer dígito, de modo que contar ceros llevaría a error. Lo robusto es contar siempre posiciones de la coma.

Orden de magnitud y comparación rápida

La gran ventaja pedagógica de la notación científica se nota al comparar cantidades. Para decidir cuál de dos números es mayor basta con mirar primero el exponente: el que tiene mayor k es siempre el más grande, siempre que ambos coeficientes estén en forma canónica. Solo cuando los exponentes coinciden hay que comparar coeficientes.

Comparemos la masa de la Tierra, 5,97 × 1024 kg, con la de Marte, 6,42 × 1023 kg. Como 24 > 23, la Tierra es más masiva sin necesidad de calcular nada. Si quieres saber cuántas veces más, divides: 5,97 ÷ 6,42 ≈ 0,930 y 1024 ÷ 1023 = 101, así que el cociente vale 0,930 × 101 = 9,30. La Tierra es algo más de nueve veces más masiva que Marte.

💡 Lee el exponente primero: dos números en forma canónica difieren en un orden de magnitud cuando sus exponentes se diferencian en 1, en dos órdenes cuando se diferencian en 2, y así sucesivamente. El cerebro humano procesa el exponente antes que el coeficiente; por eso la notación científica es la forma natural de las cantidades en ciencia.

Operar con notación científica

Producto y cociente: reglas y renormalización

Multiplicar y dividir números escritos como a × 10k es directo: se opera por separado con los coeficientes y con las potencias de 10, aplicando las propiedades elementales de los exponentes (que estudiarás en detalle en el subtema 1.5). Tras operar, conviene comprobar si el coeficiente resultante sigue cumpliendo 1 ≤ a < 10; cuando no, se renormaliza ajustando el exponente.

OperaciónReglaComentario
Producto (b × 10m) · (c × 10n) = (b · c) × 10m+n Se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes.
Cociente (b × 10m) ÷ (c × 10n) = (b ÷ c) × 10m−n Se dividen los coeficientes y se restan los exponentes.

Ejemplo 1 — producto sin renormalización. Calcula (3,1 × 106) · (2,0 × 109).

  1. Multiplica los coeficientes: 3,1 · 2,0 = 6,2.
  2. Suma los exponentes: 6 + 9 = 15.
  3. Resultado: 6,2 × 1015. Como 1 ≤ 6,2 < 10, ya está en forma canónica.

Ejemplo 2 — producto que exige renormalización. Calcula (7 × 104) · (8 × 105).

  1. Multiplica los coeficientes: 7 · 8 = 56.
  2. Suma los exponentes: 4 + 5 = 9.
  3. Resultado intermedio: 56 × 109. Pero 56 > 10, así que no es forma canónica.
  4. Renormaliza: 56 = 5,6 × 101, luego 56 × 109 = 5,6 × 101 × 109 = 5,6 × 1010.

Ejemplo 3 — cociente que exige renormalización. Calcula (2,4 × 107) ÷ (6,0 × 103).

  1. Divide los coeficientes: 2,4 ÷ 6,0 = 0,4.
  2. Resta los exponentes: 7 − 3 = 4.
  3. Resultado intermedio: 0,4 × 104. Pero 0,4 < 1, así que no es forma canónica.
  4. Renormaliza: 0,4 = 4 × 10−1, luego 0,4 × 104 = 4 × 10−1 × 104 = 4 × 103.

Ejemplo 4 — aplicación real. La luz viaja a 3,00 × 108 m/s. La Luna está a 3,84 × 108 m de la Tierra. ¿Cuánto tarda en llegarnos un destello de luz reflejado en su superficie?

  1. tiempo = distancia ÷ velocidad = (3,84 × 108) ÷ (3,00 × 108) s.
  2. Divide los coeficientes: 3,84 ÷ 3,00 = 1,28.
  3. Resta los exponentes: 8 − 8 = 0. Resultado: 1,28 × 100.
  4. El resultado ya es canónico: 1,28 s. La luz tarda algo más de un segundo en cubrir la distancia Tierra-Luna.

La calculadora y el examen: notación E

Cualquier calculadora gráfica admitida en el IB (TI-84, TI-Nspire, Casio fx-CG) acepta números en notación científica mediante la tecla EE, EXP o ×10x, según el modelo. La pantalla, sin embargo, los devuelve en una notación abreviada propia: 5.2E30 significa 5,2 × 1030, y 1.6E-19 significa 1,6 × 10−19. Esa notación, heredada también por las hojas de cálculo, no se acepta como respuesta válida en el examen: hay que traducirla siempre a la forma canónica antes de escribirla en la hoja.

Error frecuente

Copiar la respuesta de la calculadora tal cual (5.2E30, 3.4E-12) en la hoja del examen. Aunque sea numéricamente equivalente, los esquemas de calificación del IB la consideran incorrecta en formato y restan la marca de notación. La corrección es mecánica: 5.2E30 se escribe 5,2 × 1030; 3.4E-12 se escribe 3,4 × 10−12. Conviértela en un reflejo desde el primer día.

Magnitudes reales: una escalera de potencias de 10

La notación científica se vuelve indispensable cuando se intenta sostener en la cabeza la escala de las cantidades que aparecen en ciencia. La tabla siguiente recoge una selección que reaparecerá en otras asignaturas del Diploma y que conviene tener interiorizada.

CantidadValor canónicoAsignatura donde aparece
Masa de un electrón9,11 × 10−31 kgFísica
Carga elemental del electrón1,60 × 10−19 CFísica, Química
Diámetro de un átomo de hidrógeno≈ 1 × 10−10 mQuímica, Física
Número de Avogadro6,022 × 1023 mol−1Química
Distancia Tierra-Luna3,84 × 108 mFísica, Geografía
Masa de la Tierra5,97 × 1024 kgFísica, Geografía
Masa del Sol1,99 × 1030 kgFísica
Producto interior bruto mundial anual≈ 1,05 × 1014 $Economía, Gestión

Un ejercicio útil al cerrar el subtema es desarrollar alguna de esas cantidades en notación decimal completa. El número de Avogadro, 6,022 × 1023, se escribe como 602 200 000 000 000 000 000 000. La carga del electrón, 1,60 × 10−19 C, exige una coma decimal seguida de dieciocho ceros antes del primer 1. Una sola línea de notación científica condensa lo que en notación decimal no cabría en el espacio del examen, y esa economía es justamente su razón de ser.

Para el examen

En la Prueba 1 del IB las preguntas sobre 1.1 rara vez aparecen aisladas: el examinador las incrusta dentro de problemas más amplios y penaliza la respuesta si se entrega como 5.2E30 o como 42 × 105. Tres reflejos rinden marcas casi gratis: (i) escribe siempre la respuesta final en forma canónica (1 ≤ a < 10, k entero); (ii) usa la coma decimal española; (iii) cuando operes con la calculadora, anota los resultados intermedios sin redondear y deja el redondeo a tres cifras significativas para el último paso.