1.5 Potencias y logaritmos en base 10 y base e

Una potencia es una manera abreviada de escribir un producto repetido: 2⁵ condensa 2·2·2·2·2. Pero la verdadera potencia de las potencias, valga el juego de palabras, aparece cuando se invierte la pregunta. No «¿cuánto vale 10 elevado a 4?», sino «¿a qué hay que elevar 10 para obtener 10 000?». Esa pregunta inversa tiene nombre propio: logaritmo. Potencia y logaritmo son las dos caras de la misma moneda, y aprender a pasar de una a otra es el corazón de este subtema.

El subtema NM 1.5 sienta dos bases que recorrerán todo el curso. Primero, las propiedades de las potencias con exponentes enteros, que aparecerán cada vez que manipules una expresión algebraica. Segundo, la idea de logaritmo en las dos bases que más se usan —base 10 y base e—, imprescindible para resolver ecuaciones exponenciales en el Tema 2 y para entender escalas reales como la de Richter, los decibelios o el pH. Aquí se introducen; en el subtema 1.7 se ampliarán sus propiedades.

Potencias con exponentes enteros

Las cinco propiedades fundamentales

Todas las manipulaciones con potencias de exponente entero se reducen a cinco reglas. No conviene memorizarlas como una lista suelta: cada una se entiende contando factores. Por ejemplo, a^m · aⁿ junta m factores con otros n, así que en total hay m + n factores. Comprender el porqué hace que las reglas no se olviden.

Aplicar las propiedades paso a paso

Ejemplo 1 — combinar producto y cociente. Simplifica (3⁵ · 3⁻²) ÷ 3⁴, dejando el resultado como una potencia de 3 y como número.

1. Producto del numerador: 3⁵ · 3⁻² = 3⁵⁺⁽⁻²⁾ = 3³.
2. Cociente con el denominador: 3³ ÷ 3⁴ = 3³⁻⁴ = 3⁻¹.
3. Exponente negativo: 3⁻¹ = 1/3¹ = 1/3.

Ejemplo 2 — potencia de un producto con potencia de potencia. Simplifica (2x³)⁴.

1. Reparte el exponente sobre cada factor: (2x³)⁴ = 2⁴ · (x³)⁴.
2. Evalúa 2⁴ = 16 y aplica potencia de potencia: (x³)⁴ = x^3·4 = x¹².
3. Resultado: 16x¹².

Ejemplo 3 — el exponente afecta solo a lo que toca. Reescribe 5y⁻² sin exponentes negativos y compáralo con (5y)⁻².

1. En 5y⁻² el exponente afecta solo a la y: 5y⁻² = 5 · (1/y²) = 5/y².
2. En (5y)⁻² el paréntesis hace que afecte a todo: (5y)⁻² = 1/(5y)² = 1/(25y²) = 1/(25y²).
3. Las dos expresiones son distintas: el paréntesis cambia el resultado por completo.

Logaritmos en base 10 y en base e

La definición: el logaritmo deshace la potencia

Imagina la pregunta «¿a qué exponente hay que elevar 10 para obtener 1000?». La respuesta es 3, porque 10³ = 1000. Ese exponente es, por definición, el logaritmo en base 10 de 1000. Generalizando: el logaritmo en base a de un número b es el exponente que hay que poner sobre a para obtener b.

Las dos bases que más se usan tienen abreviatura propia. El logaritmo decimal, en base 10, se escribe simplemente log x (sin indicar la base). El logaritmo natural, en base e con e ≈ 2,71828, se escribe ln x. Es decir, log_e x = ln x. La base e aparecerá de forma natural cuando estudies derivadas en el Tema 5; por ahora basta saber que es un número fijo, igual que π.

Evaluar logaritmos con la calculadora

La mayoría de logaritmos no son números «redondos» y se evalúan con medios tecnológicos. Tu calculadora gráfica trae las teclas log (base 10) y ln (base e). Aun así, conviene tener una intuición previa para detectar errores: como 10² = 100 y 10³ = 1000, log 500 debe estar entre 2 y 3; la calculadora confirma log 500 ≈ 2,699.

Ejemplo 4 — pasar de forma exponencial a logarítmica y evaluar. Resuelve 10^x = 7500 y comprueba el resultado.

1. La ecuación 10^x = 7500 equivale, por la definición, a x = log 7500.
2. Acota mentalmente: 10³ = 1000 y 10⁴ = 10 000, luego x está entre 3 y 4.
3. Con la calculadora: x = log 7500 ≈ 3,875 (tres cifras significativas).
4. Comprobación: 10^3,875 ≈ 7499, que coincide con 7500 salvo el redondeo. El resultado es coherente.

Para qué sirven: escalas logarítmicas reales

Los logaritmos no son una curiosidad de aula. Aparecen siempre que una magnitud abarca tantos órdenes de magnitud que medirla en escala lineal sería inmanejable. La idea común es la misma: la escala logarítmica convierte multiplicar por diez en sumar uno.

El caso del pH conecta directamente con el examen de Química: una disolución de pH 3 es diez veces más ácida que una de pH 4 y cien veces más ácida que una de pH 5. Esa traducción —de «restar un punto» a «multiplicar por diez»— es exactamente lo que hace un logaritmo, y se entiende mejor cuando se ha visto primero la relación a^x = b ⇔ log_a b = x.